1. 如图，$ \triangle ABC $中，$ BD ⊥ AB $，$ BD $，$ AC $相交于点$ D $，$ AD = \frac{4}{7}AC $，$ AB = 2 $，$ \angle ABC = 150^{\circ} $，则$ \triangle DBC $的面积是()


A.$ \frac{3\sqrt{3}}{14} $
B.$ \frac{9\sqrt{3}}{14} $
C.$ \frac{3\sqrt{3}}{7} $
D.$ \frac{6\sqrt{3}}{7} $

A

以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，A(0,0)，B(2,0)。∵BD⊥AB，设D(2,t)(t＞0)。
由AD = $\frac{4}{7}$AC，设C(x,y)，则$\overrightarrow{AD}=(2,t)=\frac{4}{7}\overrightarrow{AC}=\frac{4}{7}(x,y)$，解得$x=\frac{7}{2}$，$y=\frac{7t}{4}$，故C$(\frac{7}{2},\frac{7t}{4})$。
$\overrightarrow{BA}=(-2,0)$，$\overrightarrow{BC}=(\frac{3}{2},\frac{7t}{4})$，∠ABC=150°，由余弦定理：
$\cos150°=\frac{\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{-3}{2×\frac{1}{4}\sqrt{36+49t^2}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$t=\frac{2\sqrt{3}}{7}$。
△DBC面积：以BD为底（BD=t=$\frac{2\sqrt{3}}{7}$），高为C到BD（x=2）的距离$\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}$，面积$S=\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{7}×\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$。

2. 如图，矩形$ ABCD $的周长是20 cm，以$ AB $，$ AD $为边向外作正方形$ ABEF $和正方形$ ADGH $. 若正方形$ ABEF $和$ ADGH $的面积之和为68 $ \mathrm{cm}^{2} $，那么矩形$ ABCD $的面积是()


A.21 $ \mathrm{cm}^{2} $
B.16 $ \mathrm{cm}^{2} $
C.24 $ \mathrm{cm}^{2} $
D.9 $ \mathrm{cm}^{2} $

B

设矩形$ABCD$的边$AB=x\ \mathrm{cm}$，$AD=y\ \mathrm{cm}$。
由矩形周长为$20\ \mathrm{cm}$，得$2(x+y)=20$，即$x+y=10$。
正方形$ABEF$面积为$x^2$，正方形$ADGH$面积为$y^2$，由面积之和为$68\ \mathrm{cm}^2$，得$x^2+y^2=68$。
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，将$x+y=10$，$x^2+y^2=68$代入，得$10^2=68+2xy$，即$100=68+2xy$，解得$xy=16$。
故矩形$ABCD$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$。

3. 在$ \triangle ABC $和$ \triangle DEF $中，$ AB = 2DE $，$ AC = 2DF $，$ \angle A = \angle D $. 如果$ \triangle ABC $的周长是16，面积是12，那么$ \triangle DEF $的周长、面积分别为()

A.8，3
B.8，6
C.4，3
D.4，6

A

在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，所以△ABC∽△DEF，相似比为2:1。因为相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，△ABC周长为16，面积为12，所以△DEF周长为16÷2=8，面积为12÷4=3。

4. 六一儿童节前，苗苗来到超市发现某种玩具原价为100元，经过两次降价，现售价为81元. 假设两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为.

$10\%$

设每次降价的百分率为$x$，则经过两次降价后的售价为$100(1 - x)^{2}$。
根据题意，得$100(1 - x)^{2} = 81$，
即$(1 - x)^{2} = 0.81$。
开方得：$1 - x = \pm0.9$，
解得$x_{1} = 0.1 = 10\%$，$x_{2} = 1.9$（不合题意，舍去）。
所以每次降价的百分率为$10\%$。

5. 已知$ x = -1 $是一元二次方程 $ ax^{2} + bx - 10 = 0 $的一个解，且$ a \neq -b $，则 $ \frac{a^{2} - b^{2}}{2a + 2b} $的值为.

5

已知 $ x = -1 $ 是方程 $ ax^2 + bx - 10 = 0 $ 的一个解，将 $ x = -1 $ 代入方程得：
$a(-1)^2 + b(-1) - 10 = 0$
即：$ a - b - 10 = 0 $，可得：$ a - b = 10 $。
题目要求计算 $ \frac{a^2 - b^2}{2a + 2b} $，利用平方差公式将分子分解得：
$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $，
因此，原式为：
$ \frac{a^2 - b^2}{2a + 2b} = \frac{(a + b)(a - b)}{2(a + b)} $，
由于 $ a \neq -b $，可以约去 $ a + b $，得到：
$ \frac{a - b}{2} $，
将 $ a - b = 10 $ 代入，得：
$ \frac{10}{2} = 5 $。

6. 如图，在$ □ ABCD $中，$ \angle BAD $的平分线$ AE $交$ BC $的延长线于点$ E $，交$ CD $于点$ F $，$ AB = 5 $，$ BC = 2 $. 求$ CF $的长.

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AB=CD=5，AD=BC=2。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE。
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB（内错角相等），
∴∠BAE=∠AEB，
∴△ABE为等腰三角形，AB=BE=5。
∵BE=BC+CE，BC=2，
∴CE=BE-BC=5-2=3。
∵AB//CD，
∴△ADF∽△ECF（两直线平行，对应三角形相似），
∴AD/CE=DF/CF。
设CF=x，则DF=CD-CF=5-x，
∴2/3=(5-x)/x，
2x=3(5-x)，
2x=15-3x，
5x=15，
x=3。
∴CF=3。