7. 如图，一根长 $ 6\sqrt{3} \mathrm{ m} $的木棒$ AB $，斜靠在与地面$ OM $垂直的墙$ ON $上，与地面的倾斜角$ \angle ABO $为$ 60^{\circ} $. 当木棒$ A $端沿墙下滑至点$ A' $时，$ B $端沿地面向右滑行至点$ B' $.
（1）求$ OB $的长.

（2）当 $ AA' = 1 \mathrm{ m} $时，求$ BB' $的长.

（1）
在$Rt\triangle AOB$中，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle ABO = 60^{\circ}$，$AB = 6\sqrt{3}\mathrm{m}$，
根据三角函数关系$\cos\angle ABO=\frac{OB}{AB}$，
则$OB = AB\cos\angle ABO = 6\sqrt{3}×\cos60^{\circ}=6\sqrt{3}×\frac{1}{2}= 3\sqrt{3}\mathrm{m}$。
（2）
在$Rt\triangle AOB$中，$\sin\angle ABO=\frac{OA}{AB}$，
所以$OA = AB\sin\angle ABO = 6\sqrt{3}×\sin60^{\circ}=6\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=9\mathrm{m}$，
因为$AA' = 1\mathrm{m}$，所以$OA'=(9 - 1)=8\mathrm{m}$，
在$Rt\triangle A'OB'$中，$\angle A'OB' = 90^{\circ}$，
根据勾股定理$A'B'^{2}=OA'^{2}+OB'^{2}$，
已知$A'B' = AB = 6\sqrt{3}\mathrm{m}$，$OA' = 8\mathrm{m}$，
则$OB'=\sqrt{A'B'^{2}-OA'^{2}}=\sqrt{(6\sqrt{3})^{2}-8^{2}}=\sqrt{108 - 64}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}\mathrm{m}$，
所以$BB'=OB'-OB=(2\sqrt{11}-3\sqrt{3})\mathrm{m}$。

某项工程需要砂石料 $ 2 × 10^{6} \mathrm{ m}^{3} $，阳光公司承担了该工程运送砂石料的任务.
（1）在这项任务中平均每天的工作量 $ v(\mathrm{m}^{3}/\mathrm{天}) $与完成任务所需要的时间$ t $（天）之间具有怎样的函数关系？请写出这个函数关系式.
（2）阳光公司计划投入A型卡车200辆，每天一共可以运送砂石料 $ 2 × 10^{4} \mathrm{ m}^{3} $，则完成全部运送任务需要多少天？如果工作了25天后，由于工程进度的需要，公司准备再投入A型卡车120辆. 在保持每辆车每天工作量不变的前提下，是否能提前28天完成任务？

（1）由题意知，工作总量为$2×10^{6}\ \mathrm{m}^3$，根据$工作总量=工作效率×时间$，可得$v× t=2×10^{6}$，故函数关系为反比例函数，函数关系式为$v=\dfrac{2×10^{6}}{t}$。
（2）①完成全部任务需要的时间：$t=\dfrac{2×10^{6}}{2×10^{4}}=100$（天）。
②每辆A型卡车每天工作量：$\dfrac{2×10^{4}}{200}=100\ \mathrm{m}^3/\mathrm{辆/天}$。
工作25天后剩余砂石料：$2×10^{6}-25×2×10^{4}=1.5×10^{6}\ \mathrm{m}^3$。
投入120辆后总车辆数：$200+120=320$辆，每天工作量：$320×100=3.2×10^{4}\ \mathrm{m}^3/\mathrm{天}$。
剩余任务所需时间：$\dfrac{1.5×10^{6}}{3.2×10^{4}}=46.875$天。
总用时：$25+46.875=71.875$天，提前天数：$100-71.875=28.125$天。
因为$28.125＞28$，所以能提前28天完成任务。
（1）$v=\dfrac{2×10^{6}}{t}$；（2）100天；能。