一、基础
1. 下列四组图形中，一定相似的是()
A.正方形与矩形
B.正方形与菱形
C.菱形与菱形
D.正五边形与正五边形

D

2. 已知$m$，$n$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-3x+a=0$的两个解，若$(m - 1)·(n - 1)=-6$，则$a$的值为()

A.$-10$
B.$4$
C.$-4$
D.$10$

C

∵m，n是方程$x^{2}-3x+a=0$的两个解，∴由韦达定理得$m + n = 3$，$mn = a$。
∵$(m - 1)(n - 1) = -6$，展开得$mn - m - n + 1 = -6$，将$m + n = 3$，$mn = a$代入，得$a - 3 + 1 = -6$，解得$a = -4$。

3. 已知$\triangle ABC$是等腰三角形，$BC = 8$，$AB$，$AC$的长是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-10x + k = 0$的两个实数根，则()

A.$k = 16$
B.$k = 25$
C.$k = -16$或$k = -25$
D.$k = 16$或$k = 25$

D

本题可分两种情况进行讨论：
情况一：当$BC$为腰长时，$AB = BC = 8$或$AC = BC = 8$。
把$x = 8$代入方程$x^{2}-10x + k = 0$，可得$8^{2}-10× 8 + k = 0$，即$64 - 80 + k = 0$，解得$k = 16$。
此时方程为$x^{2}-10x + 16 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x - 8)=0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 8$，符合三角形三边关系。
情况二：当$BC$为底边时，$AB = AC$，此时一元二次方程$x^{2}-10x + k = 0$有两个相等的实数根。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta = b^{2}-4ac$，当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$x^{2}-10x + k = 0$中，$a = 1$，$b = -10$，$c = k$，则$\Delta = (-10)^{2}-4k = 0$，即$100 - 4k = 0$，解得$k = 25$。
此时方程为$x^{2}-10x + 25 = 0$，因式分解得$(x - 5)^{2}=0$，解得$x_1 = x_2 = 5$，符合三角形三边关系。
综上，$k = 16$或$k = 25$。

4. 在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$.若斜边上的高为$h$，$\sin A=\frac{3}{5}$，则$AB$的长为()

A.$\frac{5}{4}h$
B.$\frac{5}{3}h$
C.$\frac{25}{12}h$
D.$\frac{12}{25}h$

C

在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=BC/AB=3/5，设BC=3k，AB=5k。由勾股定理得AC=√(AB²-BC²)=√[(5k)²-(3k)²]=4k。
直角三角形面积S=AC·BC/2=AB·h/2，即AC·BC=AB·h。
代入得4k·3k=5k·h，化简12k²=5kh，解得k=5h/12。
AB=5k=5×(5h/12)=25h/12。

5. 已知反比例函数$y=\frac{2}{x}$，当$x\leqslant3$时，$y$的取值范围是()

A.$y\leqslant\frac{2}{3}$
B.$y\geqslant\frac{2}{3}$
C.$y\geqslant\frac{2}{3}$或$y\lt0$
D.$0\lt y\leqslant\frac{2}{3}$

C

对于反比例函数$y = \frac{2}{x}$（$k=2＞0$），图像在一、三象限，在各象限内$y$随$x$增大而减小。
当$0 ＜ x \leq 3$时，$y = \frac{2}{x}$在第一象限，$x=3$时$y=\frac{2}{3}$，$x$趋近于0时$y$趋近于$+\infty$，故$y \geq \frac{2}{3}$；
当$x ＜ 0$时，$y = \frac{2}{x}$在第三象限，$y$为负数，即$y ＜ 0$。
综上，$y$的取值范围是$y \geq \frac{2}{3}$或$y ＜ 0$。