6. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2\sqrt{3}x - k = 0$有两个相等的实数根，则$k$的值为.

$ - 3$

对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$），当判别式 $\Delta = b^{2}-4ac = 0$ 时，方程有两个相等的实数根。
在方程 $x^{2}-2\sqrt{3}x - k = 0$ 中，$a = 1$，$b = -2\sqrt{3}$，$c = -k$，则 $\Delta = (-2\sqrt{3})^{2}-4×1×(-k)=0$，即 $12 + 4k = 0$，解得 $k = -3$。

7. 若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(\tan30^{\circ},\sin60^{\circ})$，则$k=$.

$\frac{1}{2}$

先计算点的坐标，$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以点为$(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{2})$。将点代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=xy=\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

8. 若函数$y = 4x$与$y=\frac{1}{x}$的图象有一个交点是$(\frac{1}{2},2)$，则另一个交点的坐标是.

【解析】：联立方程$4x = \frac{1}{x}$，两边同乘$x$得$4x^2 = 1$，即$x^2 = \frac{1}{4}$，解得$x = \frac{1}{2}$或$x = -\frac{1}{2}$。当$x = -\frac{1}{2}$时，$y = 4×(-\frac{1}{2}) = -2$，所以另一个交点坐标为$(-\frac{1}{2}, -2)$。
【答案】：$(-\frac{1}{2}, -2)$

联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y = 4x\\y=\frac{1}{x}\end{cases}$
将$y = 4x$代入$y=\frac{1}{x}$中，得到$4x=\frac{1}{x}$，即$4x^{2}=1$，$x^{2}=\frac{1}{4}$，解得$x=\pm\frac{1}{2}$。
当$x = \frac{1}{2}$时，$y = 4×\frac{1}{2}=2$；当$x=-\frac{1}{2}$时，$y = 4×(-\frac{1}{2})=-2$。
已知一个交点是$(\frac{1}{2},2)$，则另一个交点坐标是$(-\frac{1}{2}, - 2)$。

9. 一副直角三角板如图放置，点$C$在$FD$的延长线上，$AB// CF$，$\angle F=\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle E = 45^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，$AC = 10$.试求$CD$的长.

1. 首先，过点$B$作$BM⊥ FD$于点$M$：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，$AC = 10$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A - \angle ACB=180^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$。
由$\tan A=\frac{BC}{AC}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}=\frac{BC}{10}$，$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}=\frac{AC}{AB}$。
解得$BC = 10\sqrt{3}$，$AB = 20$。
因为$AB// CF$，$BM⊥ FD$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle BCM=\angle ABC = 30^{\circ}$（两直线平行，内错角相等），$\angle BMD=\angle BMF = 90^{\circ}$。
2. 然后，在$Rt\triangle BCM$中：
根据$\sin\angle BCM=\frac{BM}{BC}$，$\cos\angle BCM=\frac{CM}{BC}$，$\angle BCM = 30^{\circ}$，$BC = 10\sqrt{3}$。
则$BM=\frac{1}{2}BC = 5\sqrt{3}$，$CM=\cos30^{\circ}× BC=\frac{\sqrt{3}}{2}×10\sqrt{3}=15$。
3. 接着，在$Rt\triangle BMD$中：
因为$\angle F = 90^{\circ}$，$\angle E = 45^{\circ}$，所以$\angle EDF = 45^{\circ}$，又因为$AB// CF$，所以$\angle BDM=\angle EDF = 45^{\circ}$。
那么$\angle MBD = 45^{\circ}$，所以$\triangle BMD$是等腰直角三角形，即$BM = MD$。
已知$BM = 5\sqrt{3}$，所以$MD = 5\sqrt{3}$。
4. 最后，求$CD$的长：
根据$CD=CM - MD$。
把$CM = 15$，$MD = 5\sqrt{3}$代入得$CD = 15 - 5\sqrt{3}$。
所以$CD$的长为$15 - 5\sqrt{3}$。

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 2\angle C$，$BD$平分$\angle ABC$.
求证：$AB· BC = AC· CD$.

证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC/2。
∵∠ABC=2∠C，
∴∠DBC=∠C，
∴DB=DC（等角对等边）。
在△ABD和△ACB中，
∠A=∠A（公共角），
∠ABD=∠C（已证），
∴△ABD∽△ACB（两角对应相等，两三角形相似）。
∴AB/AC=BD/BC（相似三角形对应边成比例），
∴AB·BC=AC·BD。
∵DB=DC，
∴AB·BC=AC·CD。

二、能力
1. 如图，在平行四边形$ABCD$中，点$E$在$AD$上，连接$CE$并延长与$BA$的延长线交于点$F$.若$AE = 2ED$，$CD = 3\ \mathrm{cm}$，则$AF$的长为()

A.$5\ \mathrm{cm}$
B.$6\ \mathrm{cm}$
C.$7\ \mathrm{cm}$
D.$8\ \mathrm{cm}$

B

由于四边形 $ABCD$ 是平行四边形，因此 $AB // CD$。
三角形 $AFE$ 与三角形 $CDE$ 相似，所以有：
$\frac{AE}{DE} = \frac{AF}{CD}$，
题目给出 $AE = 2ED$，即 $\frac{AE}{DE} = 2$，所以：
$\frac{AF}{CD} = 2$，
已知 $CD = 3 \ \mathrm{cm}$，所以：
$AF = 2 × 3 = 6 \ \mathrm{cm}$。