1. 如图,$△ ABC$是等边三角形,$P$是边$BC$上任意一点,$PD ⊥ AB$,$PE ⊥ AC$,连接$DE$.记$△ ADE$的周长为$l_1$,四边形$BDEC$的周长为$l_2$,则$l_1$与$l_2$的大小关系是 （）

A.$l_1=l_2$
B.$l_1＞l_2$
C.$l_2＞l_1$
D.无法确定

1. A 提示:因为$△ ABC$是等边三角形,所以$AB=AC=BC$,$∠ B = ∠ C = 60°$,所以$∠ BPD = ∠ CPE = 30°$.所以在$\mathrm{Rt}△ BDP$和$\mathrm{Rt}△ CEP$中,$BP=2BD$,$CP=2CE$,所以$BD+CE=\dfrac{1}{2}BC$,所以$BD+CE+BC=\dfrac{3}{2}BC$,$l_2=\dfrac{3}{2}BC+DE$. 因为$AD+AE=AB+AC-BD-CE=AB+AC-\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{3}{2}BC$,所以$l_1=\dfrac{3}{2}BC+DE$. 所以$l_1=l_2$.

2. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$,
$∠ ABC=2∠ BAC$, $AD$ 平分 $∠ BAC$ 交
$BC$ 于点 $D$,$BE⊥ AD$,交 $AD$ 的延长线于
点 $E$. 若 $AB=12$,则 $△ ABE$ 的面积是
（）

A.$18$
B.$36$
C.$9\sqrt{3}$
D.$18\sqrt{3}$

2. A 提示:如图,延长 $BE$ 交 $AC$ 的延长线于点 $F$. 因为 $∠ ACB = 90°$,$∠ ABC = 2∠ BAC$,所以$∠ BAC = 30°$,所以 $BC = \dfrac{1}{2}AB = 6$. 因为 $AD$ 平分$∠ BAC$,$BE⊥ AD$,所以易证$△ AEF≌△ AEB(\mathrm{ASA})$,所以 $AF=AB=12$,所以 $S_{△ ABF}=\dfrac{1}{2}AF· BC=36$,所以 $S_{△ ABE}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABF}=18$.

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BCA=90°$,$D$为边$AC$上一动点,$O$为$BD$的中点,$DE ⊥ AB$,垂足为$E$,连接$OE$,$CO$,延长$CO$交$AB$于点$F$,设$∠ BAC=α$,则（）

A.$∠ EOF=\dfrac{3}{2}α$
B.$∠ EOF=2α$
C.$∠ EOF=180°-α$
D.$∠ EOF=180°-2α$

3. B 提示:设$∠ ABD=β$,则$∠ ODC=∠ A+∠ ABD=α+β$. 因为 $DE⊥ AB$,所以$∠ BED=90°$,所以$∠ BDE=90°-β$. 因为 $O$ 为 $BD$ 的中点,所以 $OE=\dfrac{1}{2}BD=OD$,所以$∠ OED=∠ ODE=90°-β$. 同理可得$OC=OD$,所以$∠ OCD=∠ ODC=α+β$. 所以$∠ EOD=180°-2(90°-β)=2β$,$∠ COD=180°-2(α+β)=180°-2α-2β$. 所以$∠ EOF=180°-∠ EOD-∠ COD=180°-2β-(180°-2α-2β)=2α$.

4. 如图,在等边三角形$ABC$中,$D,E$分别为边$AB,AC$上的动点,$BD=2AE$,连接$DE$,以$DE$为边在$△ ABC$内作等边三角形$DEF$,连接$CF$.当点$D$从点$A$向点$B$运动(不运动到点$B$)时,$∠ ECF$的大小变化情况是 （）

A.不变
B.变小
C.变大
D.先变大后变小

4. A 提示:在 $AC$ 上截取 $CN=AE$,连接 $FN$.因为 $AD=AB-BD$,$NE=AC-AE-CN=AC-2AE$,$BD=2AE$,所以 $AD=NE$. 因为 $∠ ADE=∠ DEN-∠ A=∠ DEF+∠ NEF-∠ A=∠ NEF$,所以易证$△ ADE≌△ NEF(\mathrm{SAS})$,所以 $AE=NF$,$∠ FNE=∠ A=60°$. 所以 $NF=CN$,所以$∠ NCF=∠ NFC$. 因为 $∠ FNE=∠ NCF+∠ NFC=60°$,所以$∠ NCF=30°$,即$∠ ECF=30°$,故$∠ ECF$的大小不变.

5. 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ B=30°$,$D$为$AB$的中点,$P$为线段$CD$上一点,$E$为$BC$的延长线上一点,且$PA=PE$.有下列结论: ① $∠ PAD + ∠ PEC = 30°$;②$△ PAE$为等边三角形; ③$PD=CE-CP$; ④$S_{\mathrm{四边形}AECP}=S_{△ ABC}$. 其中正确的结论是（）

A.①②③④
B.①②
C.①②④
D.③④

5. C 提示:连接 $BP$. 因为 $AC=BC$,$∠ ABC=30°$,$D$ 是 $AB$ 的中点,所以$∠ CAB=∠ ABC=30°$,$AD=BD$,$CD⊥ AB$,所以 $CD$ 是 $AB$ 的垂直平分线,所以 $PA=PB$,又因为 $PA=PE$,所以 $PA=PB=PE$,所以$∠ PAD=∠ PBA$,$∠ PEB=∠ PBE$,所以$∠ PAD+∠ PEC=∠ PBA+∠ PBE=∠ ABC=30°$,故①正确;因为 $PA=PE$,所以$∠ PAE=∠ PEA$,因为$∠ ABC=∠ PAD+∠ PEC=30°$,所以$∠ PAE+∠ PEA=180°-∠ ABC-∠ PAD-∠ PEC=120°$,所以$∠ APE=60°$,所以$△ PAE$ 是等边三角形,故②正确;延长 $PD$ 至点$P'$,使 $P'D=PD$,连接 $AP'$,则 $AP=AP'$,$∠ PAD=∠ P'AD$,因为$△ PAE$ 是等边三角形,所以 $AE=AP$,所以 $AE=AP'$,因为$∠ CAD=∠ CAP+∠ PAD=30°$,所以 $2∠ CAP+2∠ PAD=60°$,所以$∠ CAP+∠ PAD+∠ P'AD=60°-∠ CAP$,即$∠ P'AC=∠ EAC$,因为 $AC=AC$,所以$△ P'AC≌△ EAC$,所以 $CE=CP'=CP+PD+P'D=CP+2PD$,所以 $PD=\dfrac{CE-CP}{2}$,故③错误;过点 $A$ 作 $AF⊥ BE$ 于点 $F$,在 $CB$ 上截取 $CG=CP$,连接 $PG$,因为 $CG=CP$,$∠ BCD=60°$,所以$△ CPG$ 是等边三角形,所以$∠ CGP=∠ PCG=60°$,所以$∠ ECP=∠ BGP=120°$,且 $PE=PB$,$∠ PEB=∠ PBE$,所以$△ PCE≌△ PGB$,所以 $CE=GB$,所以 $AC=BC=GB+CG=CE+CP$,因为$∠ ABC=30°$,$AF⊥ BE$,所以 $AF=\dfrac{1}{2}AB=AD$,所以 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AF=\dfrac{1}{2}(CE+CP)· AF=\dfrac{1}{2}CE· AF+\dfrac{1}{2}CP· AD=S_{\mathrm{四边形}AECP}$,故④正确.

6. (南京市校级期中) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ABC=45°, CD ⊥ AB$ 于点 $D, BE$ 平分 $∠ ABC$, 且 $BE ⊥ AC$ 于点 $E$, 与 $CD$ 相交于点 $F,H$ 是边 $BC$ 的中点, 连接 $DH$ 与 $BE$ 相交于点 $G$. 给出下列结论: ① $BF=AC$; ② $CE=\dfrac{1}{2}BF$; ③ $DG=FG$; ④ $BD+DF=BC$. 其中正确的有(填序号).

6. ①②④ 提示:因为 $CD⊥ AB$,$BE⊥ AC$,所以$∠ BDC=∠ ADC=∠ AEB=90°$,所以$∠ A=∠ DFB$,因为$∠ ABC=45°$,所以$△ BDC$ 为等腰直角三角形,所以 $BD=CD$,所以$△ BDF≌△ CDA(\mathrm{AAS})$,所以 $BF=AC$,故①正确;因为 $BE$ 平分$∠ ABC$,且 $BE⊥ AC$ 于点 $E$,所以$∠ ABE=∠ CBE$,$∠ AEB=∠ CEB=90°$,所以$△ ABE≌△ CBE(\mathrm{ASA})$,所以 $AE=CE=\dfrac{1}{2}AC$,因为 $BF=AC$,所以 $CE=\dfrac{1}{2}BF$,故②正确;可知$∠ DBG=\dfrac{1}{2}∠ ABC=22.5°$,$∠ BDG=\dfrac{1}{2}∠ BDC=45°$,所以$∠ DGF=67.5°$,$∠ DFG=90°-∠ DBG=67.5°$,所以$∠ DGF=∠ DFG=67.5°$,所以 $DG=DF$,因为$∠ GDF=\dfrac{1}{2}∠ BDC=45°$,所以 $DG≠ GF$,故③错误;因为$△ BDF≌△ CDA$,所以 $DF=DA$,所以 $BD+DF=BD+DA=AB$,因为$△ ABE≌△ CBE$,所以 $AB=CB$,所以 $BD+DF=BC$,故④正确.

7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$,点$E$在$BA$的延长线上,$DB=DE$.若$BC=7$,$AE=2$,则线段$AD$的长为.

7. 5 提示:在 $BC$ 上截取 $BF=AE$,连接 $DF$.因为 $DB=DE$,所以$∠ E=∠ DBE$. 因为 $BD$ 平分$∠ ABC$,所以$∠ ABD=∠ DBF$,所以$∠ E=∠ DBF$,所以$△ DEA≌△ DBF(\mathrm{SAS})$,所以 $DF=DA$,$∠ EAD=∠ BFD$,所以$∠ ABC=∠ EAD-∠ C=∠ BFD-∠ C=∠ CDF$. 因为 $AB=AC$,所以$∠ ABC=∠ C$,所以$∠ CDF=∠ ABC=∠ C$,所以 $CF=DF$,所以 $AD=CF$.因为 $BC=7$,$AE=2$,所以 $AD=CF=BC-BF=5$.