10. 如图,在$△ ABC$中,点$E$在边$BC$上,点$D$在边$BA$上,过点$E$作$EF ⊥ AB$于点$F$,$∠ B = ∠ 1 + ∠ 2$,$AE = CD$,$BF = \dfrac{4}{3}$,则$AD$的长为.

10. $\dfrac{8}{3}$ 提示:如图,在FA上取一点T,使得$FT=BF$,连接ET,在CB上取一点K,使得$CK=ET$,连接DK. 易知$EB=ET$,所以$∠ B=∠ ETB$. 因为$∠ ETB=∠ 1 + ∠ AET$,$∠ B = ∠ 1 + ∠ 2$,所以$∠ AET=∠ 2$. 因为$AE=DC$,$ET=CK$,所以$△ AET ≌ △ DCK$(SAS),所以$DK=AT$,$∠ ATE=∠ DKC$,所以$∠ ETB=∠ DKB$,所以$∠ B=∠ DKB$,所以$DB=DK$,所以$DB=AT$,所以$AD=AB-DB=AB-AT=BT$. 因为$BT=2BF=\frac{8}{3}$,所以$AD=\frac{8}{3}$.

11. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$在线段$AC$上,点$E$在线段$AB$的延长线上,$BE=CD$,连接$DE$交$BC$于点$F$,$∠ DFC=45°$,过点$F$作$FG ⊥ DE$交$AB$于点$G$,连接$CG$,若$△ ACG$的面积为$3$,且$AG:GB:BE=5:1:3$,则线段$AD$的长为.

11. $\dfrac{3}{2}$ 提示:如图,过点D作$DH // AB$交BC于点H,连接DG. 因为$AB=AC$,所以$∠ ABC=∠ ACB$. 因为$DH // AB$,所以$∠ HDF=∠ BEF$,$∠ DHC=∠ ABC$,所以$∠ DHC=∠ DCH$,所以$DH=DC$. 因为$BE=CD$,所以$BE=HD$. 又因为$∠ BFE=∠ HFD=45°$,所以$△ BEF ≌ △ HDF$(AAS),所以$EF=DF$. 因为$FG ⊥ DE$,所以FG垂直平分DE,所以$EG=DG$,所以$∠ E=∠ EDG$. 设$∠ E=∠ EDG=x$,则$∠ AGD=∠ E + ∠ EDG = 2x$,$∠ ABC = ∠ E + ∠ BFE=x+45°$,所以$∠ A=180°-2(x+45°)=90°-2x$,所以$∠ ADG=180°-∠ A-∠ AGD=180°-90°+2x-2x=90°$. 因为$AG:GB:BE=5:1:3$,所以可设$AG=5y$,$BG=y$,$BE=3y$,所以$AC=AB=AG+BG=6y$,$CD=DH=BE=3y$,$DG=EG=BE+BG=4y$,所以$AD=AC-CD=3y$. 因为$△ ACG$的面积为3,所以$\frac{1}{2} × 6y · 4y=3$,所以$y=\frac{1}{2}$ 或 $y=-\frac{1}{2}$(舍去),所以$AD=\frac{3}{2}$.

12. 在等边三角形$ABC$的两边$AB$,$AC$所在直线上分别有两点$M$,$N$,$D$为$△ ABC$外一点, 且$∠ MDN=60°$,$∠ BDC=120°$,$BD=DC$. 探究: 当点$M$,$N$分别在直线$AB$,$AC$上移动时,$BM$,$NC$,$MN$之间的数量关系及$△ AMN$的周长$Q$与等边三角形$ABC$的周长$L$的关系.
(1) 如图 1, 当点$M$,$N$在边$AB$,$AC$上,且$DM=DN$时,$BM$,$NC$,$MN$之间的数量关系是; 此时$\dfrac{Q}{L}=$.
(2) 如图 2, 当点$M$,$N$在边$AB$,$AC$上,且当$DM≠ DN$时, 猜想(1)中的两个结论还成立吗? 若成立, 请证明; 若不成立,请说明理由.
(3) 如图 3, 当点$M$,$N$分别在边$AB$,$CA$的延长线上时, 探索$BM$,$NC$,$MN$之间的数量关系如何? 并给出证明.

12. 解:(1) $BM+NC=MN$ $\frac{2}{3}$
提示:因为$DM=DN$,$∠ MDN=60°$,所以$△ MDN$是等边三角形,所以$MN=DM=DN$. 因为$△ ABC$是等边三角形,所以$∠ ABC=∠ ACB=∠ A=60°$,$AB=AC=BC$. 因为$BD=CD$,$∠ BDC=120°$,所以$∠ DBC=∠ DCB=30°$,所以$∠ MBD=∠ NCD=90°$. 因为$DM=DN$,$BD=CD$,所以$\mathrm{Rt}△ BDM ≌ \mathrm{Rt}△ CDN$,所以$∠ BDM=∠ CDN=30°$,$BM=CN$,所以$DM=2BM$,$DN=2CN$,所以$MN=2BM=2CN=BM+CN$,所以$AM=AN$,所以$△ AMN$是等边三角形,所以$AM=AN=MN$. 因为$AB=AM+BM$,所以$AM:AB=2:3$,所以$\frac{Q}{L}=\frac{2}{3}$.
(2) 结论仍然成立.证明如下:
如图1,在NC的延长线上截取$CM_1=BM$,连接$DM_1$. 同(1)可得$∠ MBD=∠ M_1CD=90°$.又因为$BD=CD$,$BM=CM_1$,所以$△ DBM ≌ △ DCM_1$,所以$DM=DM_1$,$∠ BDM=∠ CDM_1$. 因为$∠ MDN=60°$,$∠ BDC=120°$,所以$∠ M_1DN=∠ MDN=60°$. 易证$△ MDN ≌ △ M_1DN$,所以$MN=M_1N=M_1C+NC=BM+NC$,所以$△ AMN$的周长为$AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC$,所以$\frac{Q}{L}=\frac{2}{3}$.
(3) 数量关系为$MN=NC-BM$. 证明如下:
如图2,在CN上截取$CM_1=BM$,连接$DM_1$. 同(2)可证$△ DBM ≌ △ DCM_1$,所以$DM=DM_1$,$∠ MDB=∠ M_1DC$. 同(2)可证$∠ M_1DN=∠ MDN=60°$. 易证$△ MDN ≌ △ M_1DN$,所以$MN=M_1N$,所以$NC-BM=MN$.