8. 在四边形 $ABCD$ 中, $AC$ 平分 $∠ BAD,BC=$$DC,∠ B=70°$, 则 $∠ D$ 的度数是.

8. $110°$或 $70°$ 提示:如图,在线段 $AB$ 取一点 $E$,使得 $AD=AE$,连接 $CE$. 因为 $AC$ 平分$∠ BAD$,所以$∠ DAC=∠ EAC$. 在 $△ DAC$ 和 $△ EAC$ 中,$\begin{cases}AD=AE,\\∠ DAC=∠ EAC,\\AC=AC,\end{cases}$所以$△ DAC≌△ EAC(\mathrm{SAS})$,所以 $CE=CD$. 因为 $BC=DC$,所以 $CE=CB$,所以$∠ CEB=∠ B=70°$,所以$∠ CEA=∠ CDA=110°$. 当点 $D$ 位于点 $D'$ 时,因为 $CD=CD'$,所以$∠ CD'D=∠ CDD'=180°-∠ CDA=70°$. 综上所述,$∠ D$ 的度数是 $110°$ 或 $70°$.

9. 如果四边形中的一条对角线的长度是另一条对角线长度的两倍，那么称这个
四边形为“倍长对角线四边形”. 如图，四边形 $ABCD$ 是“倍长对角线四边形”,且$∠ BAD=∠ BCD=90°$, 则四边形 $ABCD$中最小内角$∠ ABC$的度数是.

9. $30°$ 提示:在 $BD$ 上取中点 $E$,连接 $AE$,$CE$.因为$∠ BAD=∠ BCD=90°$,所以 $AE=\dfrac{1}{2}BD$,$CE=\dfrac{1}{2}BD$. 又因为 $AC=\dfrac{1}{2}BD$,所以 $AE=AC=CE$,即$△ AEC$ 为等边三角形,所以$∠ AEC=60°$. 又因为 $AE=BE=CE$,所以$∠ ABE=∠ BAE=\dfrac{1}{2}∠ AED$,$∠ CBE=∠ BCE=\dfrac{1}{2}∠ CED$,所以$∠ ABC=∠ ABE+∠ CBE=\dfrac{1}{2}(∠ AED+∠ CED)=\dfrac{1}{2}∠ AEC=30°$.

10. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $AB=AC$,
$∠ ABC+∠ ADC=90°, BD=2CD$, 则
$∠ BAC-∠ BDC=$.

10. $60°$ 提示:如图,作$∠ DAF=∠ BAC$,且 $AF=AD$,连接 $CF$,$DF$,所以$△ DAB≌△ FAC(\mathrm{SAS})$,所以 $DB=FC$,$∠ ADB=∠ AFC$. 因为 $BD=2CD$,所以 $FC=2CD$. 因为$∠ DAF=∠ BAC$,所以$∠ ABC=\dfrac{1}{2}(180°-∠ BAC)=\dfrac{1}{2}(180°-∠ DAF)=∠ ADF$. 因为$∠ ABC+∠ ADC=90°$,所以$∠ ADF+∠ ADC=90°$,所以$∠ FDC=90°$. 易证$∠ CFD=30°$. 设$∠ ABC=∠ ACB=∠ ADF=∠ AFD=α$,所以$∠ BAC=180°-2α$. 因为$∠ AFC=∠ AFD-∠ CFD=α-30°$,所以$∠ ADB=∠ AFC=α-30°$,所以$∠ BDC=∠ FDC-∠ ADF-∠ ADB=90°-α-(α-30°)=120°-2α$,所以$∠ BAC-∠ BDC=180°-2α-(120°-2α)=60°$.

11. (1) 如图 1,$△ ABD$,$△ AEC$ 都是等边三角形,求证:$△ DAC≌△ BAE$.
(2) 如图 2,在(1)的条件下,设 $BE,DC$ 交于 $M$,连接 $AM$,求$\dfrac{MD+ME}{MB+MC+2MA}$的值.

11. (1) 证明:因为$△ ABD$ 和$△ AEC$ 都是等边三角形,所以$∠ CAE=∠ DAB=60°$,所以$∠ BAE=60°+∠ BAC=∠ DAC$. 在 $△ BAE$ 和 $△ DAC$ 中,$\begin{cases}BA=DA,\\∠ BAE=∠ DAC,\\AE=AC,\end{cases}$所以$△ BAE≌△ DAC(\mathrm{SAS})$.
(2) 解:在 $DC$ 上截取 $GD=MB$,连接 $AG$. 由 (1),得 $△ BAE≌△ DAC$,所以$∠ ADG=∠ ABM$. 在 $△ ADG$ 和 $△ ABM$ 中,$\begin{cases}AD=AB,\\∠ ADG=∠ ABM,\\GD=MB,\end{cases}$$∠ DAG=∠ BAM$,$GA=MA$. 因为$∠ DAG+∠ BAG=60°$,所以$∠ BAM+∠ BAG=60°$,即$∠ MAG=60°$,所以$△ MAG$ 为等边三角形. 所以$∠ MAG+∠ CAM=∠ CAM+∠ CAE$,即$∠ CAG=∠ EAM$. 在 $△ CAG$ 和 $△ EAM$ 中,$\begin{cases}GA=MA,\\∠ CAG=∠ EAM,\\AC=AE,\end{cases}$所以 $△ CAG≌△ EAM(\mathrm{SAS})$,所以 $CG=ME$,所以 $MD+ME=DG+MG+MC+MG=MB+MC+2MA$,所以$\dfrac{MD+ME}{MB+MC+2MA}=1$.

12. 【问题情境】在等边三角形$ABC$中，$O$是$BC$的中点，$D$是射线$CB$上一点(不与点$C$，$B$重合)，连接$AD$，作等边三角形$ADE$(点$E$和点$C$在边$AD$的同侧)，连接$EO$并延长交直线$AB$于点$F$.
【特例分析】
(1) 如图1，当点$D$与点$O$重合时，发现“$BD=BF$”，请证明.
【拓展探究】
(2) 当点$D$在线段$BO$上(不与端点重合)时，在图2中补全图形，并证明$BD=BF$.
【推广应用】
(3) 当点$D$在射线$CB$上运动时(点$D$不与点$O$重合)，请直接写出线段$AB$，$BF$，$OD$之间的数量关系.

12. (1) 证明:因为$△ ABC$ 是等边三角形,$O$ 是 $BC$ 的中点,所以$∠ ABC=60°$,$∠ ADB=90°$. 因为$△ ADE$ 是等边三角形,所以$∠ ADE=60°$,所以$∠ BDF=180°-∠ ADB-∠ ADE=30°$,所以$∠ F=∠ ABC-∠ BDF=30°$,所以$∠ F=∠ BDF$,所以 $BD=BF$.
(2) 解:补全图形,如图 1 所示. 证明如下:
如图 1,连接 $EC$. 因为$△ ABC$ 和$△ ADE$ 是等边三角形,所以$∠ BAC=∠ DAE=60°$,$AB=AC$,$AD=AE$,所以$∠ BAD=60°-∠ DAC=∠ CAE$,所以 $△ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$,所以 $BD=CE$,$∠ ACE=∠ ABD=60°$,所以$∠ FBC=180°-∠ ABC=120°=∠ ACB+∠ ACE=∠ BCE$. 因为 $O$ 是 $BC$ 的中点,所以 $BO=CO$. 又因为$∠ BOF=∠ COE$,所以$△ BOF≌△ COE$,所以 $BF=CE$,所以 $BD=BF$.

(3) 解:当点 $D$ 在线段 $OC$ 上时,$AB=2(BF-OD)$;当点 $D$ 在线段 $OB$ 上时,$AB=2(BF+OD)$;当点 $D$ 在线段 $CB$ 的延长线上时,$AB=2(OD-BF)$. 提示:分三种情况:①当点 $D$ 在线段 $OC$ 上时,如图 2,连接 $CE$. 因为$△ ABC$ 是等边三角形,所以 $AB=BC$. 因为 $O$ 是 $BC$ 的中点,所以 $AB=2OB$. 同(2)可得 $BD=CE=BF$. 因为 $OB=BD-OD$,所以 $OB=BF-OD$,所以 $AB=2(BF-OD)$.
②当点 $D$ 在线段 $OB$ 上时,同理可得 $AB=2BO$,$BF=BD$. 因为 $OB=BD+OD$,所以 $OB=BF+OD$,所以 $AB=2(BF+OD)$. ③当点 $D$ 在线段 $CB$ 的延长线上时,如图 3,连接 $CE$. 同理可得 $AB=2BO$,$BF=BD$. 因为 $OB=OD-BD$,所以 $OB=OD-BF$,所以 $AB=2(OD-BF)$.