三、解答题
10. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$D$是$CB$延长线上的一点,$E$是线段$AB$上一点,连接$DE$.已知$AC=DE$,$BC=BE$.
(1) 求证:$AB=DB$.
(2) $BF$平分$∠ ABC$交$AC$于点$F$,$G$是线段$FB$延长线上的一点,连接$DG$,$H$是线段$DG$上一点,连接$AH$交$BD$于点$K$,连接$KG$.当$KB$平分$∠ AKG$时,求证:$AK=DG+KG$.

10. 证明:(1) 在$\mathrm{Rt}△ ACB$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEB$中,$\begin{cases} AC=DE, \\ BC=BE, \end{cases}$所以 $\mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ DEB$,所以 AB=DB.
(2) 作 BM 平分$∠ ABD$ 交 AK 于点 M.
因为 BF 平分$∠ ABC$,BM 平分$∠ ABD$,KB 平分$∠ AKG$,$∠ ABC=∠ ABD=90°$,所以$∠ CBF=∠ ABF=45°$,$∠ ABM=∠ MBK=45°$,$∠ MKB=∠ GKB$. 因为$∠ GBK=∠ CBF=45°$,所以$∠ MBK=∠ GBK$. 在$△ BMK$ 和$△ BGK$ 中,$\begin{cases} ∠ MBK=∠ GBK, \\ BK=BK, \\ ∠ MKB=∠ GKB, \end{cases}$所以$△ BMK ≌ △ BGK$,所以 BM=BG,KM=KG.
在$△ ABM$ 和$△ DBG$ 中,$\begin{cases} AB=DB, \\ ∠ ABM=∠ DBG, \\ BM=BG, \end{cases}$所以$△ ABM ≌ △ DBG$,所以 AM=DG. 因为AK=AM+KM,所以 AK=DG+KG.

11. 定义:若一条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形,则我们把这条线段叫作这个三角形的“双等腰线”;若两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,则我们把这两条线段叫作这个三角形的“三等腰线”. 如图 1,$BE$ 是$△ ABD$ 的“双等腰线”,$AD,BE$ 是$△ ABC$ 的“三等腰线”.

(1) 请在下面三幅图中,分别画出$△ ABC$的“双等腰线”,并做必要的标注或说明.
①$∠ C=90°$; ②$∠ B=70°$,$∠ A=35°$;
③$∠ B=81°$,$∠ A=27°$.

(2) 如果一个等腰三角形有“双等腰线”,那么它的底角度数是.
(3) 如图 3,在$△ ABC$ 中,$∠ C=\dfrac{3}{2}∠ B$,$∠ B＜45°$. 画出$△ ABC$ 所有可能的“三等腰线”,使得对$∠ B$ 取值范围内的任意值都成立,并做必要的标注或说明.(每种可能用一个图单独表示,如果图不够用可以自己补充)

11. 解:(1) ①取线段 AB 的中点 D,连接 CD,则 CD 为$△ ABC$的“双等腰线”(图略).
②如图所示.

③如图所示.

(2) $45°$或$36°$或$72°$或$(\dfrac{540}{7})°$ 提示:如图1、图2、图3、图4所示.




(3) 两种,如图所示.