1. 如图，C,A,O,B 四点在同一条直线上，点D 在线段 OE 上，且 $OA=OD$，$AC=DE$，连接 CD,AE. 有两个结论：① $DC=AE$；② $∠ 2=∠ 1+∠ C$. 下列说法正确的是（）

A.①②均正确
B.①正确，②错误
C.①错误，②正确
D.①②均错误

1. A 提示: 因为 $OA=OD,AC=DE$, 所以$OA+AC=OD+DE$, 即 $OC=OE$. 易证 $△ AOE ≌△ DOC$, 所以 $DC=AE,∠C=∠E$. 因为 $∠2=∠1+∠E$, 所以 $∠2=∠1+∠C$, 故①②均正确.

2. 如图,在$△ OAB$和$△ OCD$中,$OA=OB$,$OC=OD$,$OA＞OC$,$∠ AOB=∠ COD=40^{\circ }$,连接$AC$,$BD$交于点$M$,连接$OM$.有下列结论:①$AC=BD$;②$∠ AMB=40^{\circ }$;③$OM$平分$∠ BOC$;④$MO$平分$∠ BMC$.其中正确的有（）

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

2. B 提示:易证$△ AOC≌△ BOD(\mathrm{SAS})$, 所以$∠OCA=∠ODB,∠OAC=∠OBD,AC=BD$, 故①正确; 因为 $∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD$, 所以$∠AMB=∠AOB=40°$, 故②正确; 过点 $O$ 分别作$OG⊥ MC$ 于点 $G$,$OH⊥ MB$ 于点 $H$, 易证$△ OCG≌△ ODH(\mathrm{AAS})$, 所以 $OG=OH$, 所以 $MO$ 平分$∠BMC$, 故④正确,③错误.

3. 如图, 在等腰直角三角形 $ABC$ 中,
$∠ BAC=90°,D,E$ 分别为边 $AB,AC$ 上的点, $AD=AE,AF⊥ BE$ 交 $BC$ 于点 $F$, 过点 $F$ 作 $FG⊥ CD$ 交 $BE$ 的延长线于点 $G$,交 $AC$ 于点 $M$. 现有以下结论: ①$△ ADC≌$ $△ AEB$; ②$∠ AEG=∠ CDB$; ③$△ EGM$ 是等腰三角形; ④$BG=AF+FG$. 其中恒成立的有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

3. D 提示:由条件易证$△ ADC≌△ AEB(\mathrm{SAS})$, 故①正确; 因为 $△ ADC≌△ AEB$, 所以 $∠ADC=∠AEB$, 所以 $∠AEG=∠CDB$, 故②正确; 因为 $∠BAC=90°$, 所以 $∠ACD+∠ADC=90°$, 因为$FG⊥ CD$, 所以 $∠ACD+∠CMF=90°$, 所以 $∠ADC=∠CMF$, 因为 $∠ADC=∠AEB=∠GEM,∠CMF=∠GME$, 所以 $∠GEM=∠GME$, 所以 $EG=MG$, 即$△ EGM$ 为等腰三角形, 故③正确; 过点 $B$ 作 $BN⊥ AB$, 交 $GF$ 的延长线于点 $N$, 因为 $BN⊥ AB,∠ABC=45°$, 所以 $∠NBF=45°=∠ABF$, 因为 $AC⊥ AB$, 所以 $BN// AC$, 所以 $∠N=∠GME=∠GEM=∠GBN$, 所以$BG=NG$, 因为 $∠CAF+∠BAF=90°,∠CAF+∠AEB=90°$, 所以 $∠BAF=∠AEB=∠GEM=∠GBN=∠N$, 又因为 $BF=BF,∠ABF=∠NBF$, 所以$△ ABF≌△ NBF(\mathrm{AAS})$, 所以 $AF=NF$, 因为 $NG=NF+FG$, 所以 $BG=AF+FG$, 故④正确.

4. 如图,在$△ ADE$和$△ ABC$中,$∠ E=∠ C$,$DE=BC,EA=CA$,过点$A$作$AF⊥ DE$,垂足为$F$,$DE$交$CB$的延长线于点$G$,连接$AG$. 若四边形$DGBA$的面积为$12$,$AF=4$,则$FG$的长是（）

A.$2$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$3$
D.$\dfrac{10}{3}$

4. C 提示:过点 $A$ 作 $AH⊥ BC$ 于点 $H$. 易证$△ ABC≌△ ADE$, 所以 $S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$. 所以 $\dfrac{1}{2}BC· AH=\dfrac{1}{2}DE· AF$, 所以 $AH=AF$. 因为 $AF⊥ DE$,$AH⊥ BC$, 所以 $∠AFG=∠AHG=90°$. 易证$\mathrm{Rt}△ AFG≌\mathrm{Rt}△ AHG$, $\mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ ABH$, 所以 $S_{\mathrm{四边形}DGBA}=S_{\mathrm{四边形}AFGH}=2S_{△ AFG}=12$. 所以 $S_{△ AFG}=6$.因为 $AF=4$, 所以 $\dfrac{1}{2}×4FG=6$, 解得 $FG=3$.

5. 如图,直线$MN ⊥ PQ$,垂足为$O$,$A$是射线$OP$上一点,$OA=2$,以$OA$为边在$OP$右侧作$∠ AOF=24^{ \circ }$,且满足$OF=4$.若$B$是射线$ON$上的一个动点(不与点$O$重合),连接$AB$,作$△ AOB$的两个外角平分线交于点$C$,在点$B$运动过程中,当线段$CF$的长取最小值时,$∠ OFC$的度数为（）


A.$90^{ \circ }$
B.$69^{ \circ }$
C.$24^{ \circ }$
D.$66^{ \circ }$

5. B 提示:如图,过点 $C$ 作 $CE⊥ PQ$ 于点 $E$,$CG⊥ MN$ 于点 $G$,$CH⊥ AB$ 于点 $H$,连接 $OC$. 因为 $AC$平分$∠PAB$,$CE⊥ PQ$,$CH⊥ AB$, 所以 $CE=CH$,同理可得 $CG=CH$, 所以 $CE=CG$, 所以 $OC$ 平分$∠AOB$, 即点 $C$ 在$∠AOB$ 的平分线上, 所以$∠AOC=45°$. 因为$∠AOF=24°$, 所以$∠FOC=45°-∠AOF=21°$. 过点 $F$作 $FC'⊥ OC$ 于点 $C'$, 则 $C'F≤ CF$, 即 $CF$ 长的最小值为 $C'F$ 的长, 此时点 $C$ 与点 $C'$ 重合, 所以$∠FC'O=90°$, 所以$∠OFC'=90°-∠FOC'=69°$, 所以当线段 $CF$ 的长取最小值时,$∠OFC$ 的度数为 $69°$.

二、填空题
6. 从 $1,2,3,···,2\ 004$ 中任选 $k$ 个数,使所选的 $k$ 个数中,一定可以找到能构成三角形边长的三个数(三角形三边长互不相等),则满足条件的 $k$ 的最小值是.

6. 17 提示:(逆向思维法)先从 $1,2,3,\dots,2\ 004$ 中找出一组数,以该组数中任意 3 个数为边长均不构成三角形,且该组数的个数为最多. 根据三角形三边之间的关系,可得该组数为 $1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1\ 597$, 共 16 个数. 所以 $k$ 的最小值是 17.

7. 如图,在$△ ABC$中,过点$A$作$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$P$,$CM ⊥ AP$于点$N$.若$∠ CAB=30^{ \circ }$,$∠ B=55^{ \circ }$,则$∠ BPM=$.

7. $40°$ 提示:因为 $AP$ 是$∠BAC$ 的平分线, 所以$∠MAP=∠CAP=\dfrac{1}{2}∠CAB=15°$. 因为 $CM⊥ AP$, 所以$∠ANC=∠ANM=90°$, 所以$∠ACN=∠AMN=75°$. 因为 $∠B=55°$, 所以$∠PCM=∠AMN-∠B=20°$. 易证$△ ACN≌△ AMN$, 所以 $CN=MN$. 易证$△ PCN≌△ PMN$, 所以$∠PMC=∠PCM=20°$, 所以$∠BPM=∠PMC+∠PCM=40°$.

8. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=7\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$CD$为边$AB$上的高，点$E$从点$B$出发，在直线$BC$上以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动，过点$E$作$BC$的垂线，交直线$CD$于点$F$。当点$E$运动$\mathrm{s}$时，$CF=AB$。

8. 2 或 5 提示:易证$△ CEF≌△ ACB(\mathrm{AAS})$, 所以 $CE=AC=7\ \mathrm{cm}$. 如图,①当点 $E$ 在射线 $BC$ 上移动时,$BE=CE+BC=10\ \mathrm{cm}$, 所以点 $E$ 移动了$\dfrac{10}{2}=5(\mathrm{s})$;②当点 $E$ 在射线 $CB$ 上移动时,$BE'=CE'-BC=4\ \mathrm{cm}$, 所以点 $E$ 移动了$\dfrac{4}{2}=2(\mathrm{s})$.