9. 在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中,$AB=A'B',AC=$$A'C',∠ C=60°,AD,A'D'$分别为边$BC$,$B'C'$上的高,且$AD=A'D'$,则$∠ C'$的度数为.

9. $60°$或 $120°$ 提示:分两种情况讨论:①当$∠C'$为锐角时,如图 1 所示,因为 $AD,A'D'$分别为边$BC,B'C'$上的高, 所以 $AD⊥ BC,A'D'⊥ B'C'$, 所以$∠ADC = ∠A'D'C' = 90°$, 易证 $\mathrm{Rt}\ △ ADC ≌\mathrm{Rt}△ A'D'C'$, 所以$∠C'=∠C=60°$;②当$∠A'C'B'$为钝角时,如图 2 所示,易证 $\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ A'C'D'$, 所以$∠A'C'D'=∠C=60°$, 所以$∠A'C'B'=120°$.

10. 如图,$∠ ACH$是$△ ABC$的外角,$CD$平分$∠ ACH$,且$CD$与$BA$的延长线交于点$D,E$是线段$CD$上一动点(点$E$不与点$C,D$重合).若$EA=2,EB=6$,令$CA+CB=n$,则$n$的取值范围是.

10. $4＜n＜8$ 提示:在 $CH$ 上截取 $CF=CA$, 连接 $EF$. 因为 $CD$ 平分$∠ACH$, 所以$∠ACE=∠FCE$.易证$△ ACE≌△ FCE$, 所以 $EF=EA=2$. 在$△ EBF$中,$EB-EF＜BF＜EB+EF$, 即 $6-2＜CF+CB＜6+2$, 所以 $4＜CA+CB＜8$, 即 $n$ 的取值范围是 $4＜n＜8$.

三、解答题
11. 在$△ ABC$和$△ DCE$中，
$CA = CB$，$CD = CE$，
$∠ CAB = ∠ CBA =$
$∠ CDE = ∠ CED = α.$
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(1) 如图1,延长$AD$,$EB$,相交于点$O$.
①求证:$BE = AD$;
②用含$α$的式子表示$∠ AOB$的度数:
.
(2) 如图2,当$α = 45°$时,连接$BD$,$AE$,作
$CM ⊥ AE$于点$M$,延长$MC$与$BD$交
于点$N$,求证:$N$是$BD$的中点.

11. (1) ①证明:因为 $CA=CB,CD=CE$,$∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=α$,所以$∠ACB=180°-2α$,$∠DCE=180°-2α$,所以$∠ACB=∠DCE$. 所以$∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB$, 所以$∠ACD=∠BCE$. 在$△ ACD$ 和$△ BCE$ 中,$\begin{cases}CA=CB,\\∠ACD=∠BCE,\\CD=CE,\end{cases}$所以$△ ACD≌△ BCE$, 所以 $BE=AD$.
② $2α$ 提示: 因为$△ ACD≌△ BCE$, 所以$∠CBE=∠CAD=α+∠BAO$. 因为$∠ABE=∠AOB+∠BAO$, 所以$∠CBE+α=∠AOB+∠BAO$, 所以$∠BAO+α+α=∠AOB+∠BAO$, 所以$∠AOB=2α$.
(2) 证明:过点 $B$ 作 $BP⊥ MN$, 交 $MN$ 的延长线于点 $P$, 过点 $D$ 作 $DQ⊥ MN$ 于点 $Q$.因为 $α=45°$, 所以$∠ACB=∠DCE=90°$, 所以$∠BCP=90°-∠ACM=∠CAM$. 在$△ CBP$和 $△ ACM$ 中,$\begin{cases}∠BPC=∠CMA,\\∠BCP=∠CAM,\\CB=AC,\end{cases}$所以$△ CBP≌△ ACM$, 所以 $MC=PB$. 同理,$MC=QD$, 所以 $QD=PB$. 在$△ BPN$ 和$△ DQN$ 中,$\begin{cases}∠BNP=∠DNQ,\\∠BPN=∠DQN,\\BP=DQ,\end{cases}$所以$△ BPN≌△ DQN$, 所以 $BN=DN$, 即 $N$ 是 $BD$ 的中点.

12. 已知$△ ABC$ 是等边三角形,$D$ 是$AB$ 所在直线左侧的一动点,且在边 $BC$ 的上方.
(1) 如图 1,$CD$ 平分$∠ ACB$,连接 $AD$,$BD$,$∠ DAC=90°$. 求证:$DB⊥ BC$.
(2) 如图 2,若$∠ BAD=∠ BCD$,$G$ 是 $BC$ 延长线上一点,连接 $DG$ 交 $AC$ 于点 $E$.
①求$∠ BDC$ 的度数.
②若 $E$ 为 $AC$ 的中点,$∠ ABD=∠ G$,探究线段 $EG$,$DE$,$AD$ 之间的数量关系.

12. (1) 证明:因为$△ ABC$ 是等边三角形, 所以 $AC=BC$. 因为 $CD$ 平分$∠ACB$, 所以$∠ACD=∠BCD$. 又因为 $CD=CD$, 所以$△ ACD≌△ BCD$（SAS）, 所以 $∠CBD=∠CAD=90°$, 即 $DB⊥ BC$.
(2) 解:①如图 1,在 $CD$ 上截取 $CF=AD$, 连接 $BF$. 因为$△ ABC$ 是等边三角形, 所以$BC=AB,∠ABC=60°$. 在$△ BCF$ 和$△ BAD$ 中,$\begin{cases}CB=AB,\\∠BCF=∠BAD,\\CF=AD,\end{cases}$所以$△ BCF≌△ BAD(\mathrm{SAS})$,所以 $BF=BD,∠CBF=∠ABD$, 所以$∠CBF+∠ABF = ∠ABD + ∠ABF$, 即 $∠DBF =∠ABC=60°$, 所以$△ BFD$ 为等边三角形, 所以$∠BDC=60°$.

②如图 2,在 $EG$ 上取点 $H$, 使 $EH=DE$, 连接 $CH$. 因为 $E$ 为 $AC$ 的中点, 所以 $AE=CE$. 在$△ AED$ 和$△ CEH$ 中,$\begin{cases}AE=CE,\\∠AED=∠CEH,\\DE=HE,\end{cases}$所以$△ AED≌△ CEH(\mathrm{SAS})$, 所以 $AD=CH$,$∠EAD=∠ECH$, 所以 $DA// CH$. 由①,知$△ BFD$ 为等边三角形,$△ BCF≌△ BAD$, 所以$∠BDF=∠DFB=60°$,$∠ADB=∠CFB$,$∠ABD=∠CBF$. 因为$∠CFB+∠DFB=180°$, 所以$∠ADB=∠CFB=120°$, 所以$∠ADF=∠ADB - ∠BDF = 60°$, 所以$∠ADF=∠DFB$, 所以 $DA// BF$, 所以 $FB// CH$, 所以$∠CBF=∠GCH$. 因为$∠ABD=∠CBF=∠G$, 所以$∠G=∠GCH$, 所以$CH=GH$, 所以 $AD=GH$, 所以 $EG=EH+GH=DE+AD$.