1. 如图，$∠ BAC = 30°$，$AP$ 平分 $∠ BAC$，$GF$垂直平分线段$AP$，交$AC$于点$F$，$Q$为射线$AB$上一动点. 若$PQ$的最小值为3，则$AF$的长为（）

A.3
B.6
C.$3\sqrt{3}$
D.9

1. B

2. 如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC,DF ⊥ AB$于点$F$,$E$是线段$BC$的中点,若$S_{△ AEC}=6$,$DF=2$,$AC=7$,则$AB$的长是（）

A.$3.5$
B.$4$
C.$4.5$
D.$5$

2. D

3. 如图，$∠ EOF$ 内有一定点$P$，过点$P$的一条直线分别交射线$OE$于点$A$，射线$OF$于点$B$.当满足下列哪个条件时，$△ AOB$的面积一定最小（）


A.$OA=OB$
B.$OP$ 为 $△ AOB$ 的角平分线
C.$OP$ 为 $△ AOB$ 的高
D.$OP$ 为 $△ AOB$ 的中线

3. D 提示:当 P 是 AB 的中点,即 PA=PB时,$S_{△ AOB}$最小.理由如下：
如图,过点 P 作一条直线 CD 分别交 OE,OF 于点 C,D,且 PD＜PC,过点 A 作 AG//OF 交 CD 于点 G. 易证$△ APG ≌ △ BPD$,所以 $S_{△ APG}=S_{△ BPD}$,所以 $S_{四边形AODG}=S_{△ AOB}$. 因为 $S_{四边形AODG}＜S_{△ COD}$,所以 $S_{△ AOB}＜S_{△ COD}$(同理,当 PD＞PC 时,也可证明$S_{△ AOB}＜S_{△ COD}$),即当 P 是 AB 的中点时,$S_{△ AOB}$最小.

4. 现有下列3个命题:①有两边及其中一边上的高分别对应相等的两个三角形全等；②有两边及第三边上的高分别对应相等的两个三角形全等；③一边及其他两边上的高分别对应相等的两个三角形全等. 其中真命题有（）

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

4. A 提示:命题①的反例:如图1,在$△ ABC$和$△ AB'C$中,AC=AC,BC=B'C,高 AH=AH,但两个三角形不全等.
命题②的反例:如图2,在$△ ABC$和$△ ABC'$中,AB=AB,AC=AC',高 AH=AH,但两个三角形不全等.
命题③的反例:如图3,在$△ ABC$中,AD,BE分别是边 BC,AC 上的高,作$∠ BAF=∠ BAC$,$∠ BFA=90°$,延长 BC,FA 交于点 C',则在$△ ABC$和$△ ABC'$中,高 BF=BE,AD=AD,AB=AB,但$△ ABC$与$△ ABC'$不全等.

二、填空题
5. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB=AC=12\ \mathrm{cm}$, $∠ B=∠ C, BC=8\ \mathrm{cm}, D$ 为 $AB$ 的中点.
动点 $P$ 在线段 $BC$ 上以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度由点 $B$ 点向点 $C$ 匀速运动, 同时, 动点 $Q$ 在线段 $CA$ 上由点 $C$ 向点 $A$ 匀速运动. 若点$Q$ 的运动速度为 $v\ \mathrm{cm/s}$, 则当 $△ BPD$ 与 $△ CQP$ 全等时, $v$ 的值为.

5. 2或3 提示:设运动时间为 t s. 因为 AB=AC=12 cm,D 为 AB 的中点,所以 $BD=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{cm}$.
由题意,得 BP=2t cm,CP=(8-2t)cm,CQ=vt cm.
因为$∠ B=∠ C$,所以①当$△ BPD ≌ △ CQP$时,BP=CQ,BD=CP,所以 2t=vt,6=8-2t,解得 t=1,v=2;
②当$△ BPD ≌ △ CPQ$时,BP=CP,BD=CQ,所以2t=8-2t,6=vt,解得 t=2,v=3. 综上所述,当 v 的值为 2 或 3 时,$△ BPD$与$△ CQP$全等.

6. 如图,$BD$是$∠ ABC$的平分线,$DE ⊥ AB$于点$E$,$DF ⊥ BC$于点$F$,$S_{△ ABC}=36\ \mathrm{cm}^2$,$AB=18\ \mathrm{cm}$,$BC=12\ \mathrm{cm}$,则$DE$的长为$\mathrm{cm}$.

6. $\dfrac{12}{5}$ 提示: 因为 $DE ⊥ AB, DF ⊥ BC$, 所以DE=DF. 又因为 $S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}$, 所以 36=$\frac{1}{2} × 18DE+\frac{1}{2} × 12DF$,所以 $DE=\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}$.

7. 如图,$AE$是$∠ CAM$的平分线,点$B$在射线$AM$上,$DE$垂直平分$BC$,交$AE$于点$E$,过点$E$作$EF ⊥ AM$于点$F$. 若$∠ ACB=28^{ \circ }$,$∠ EBD=25^{ \circ }$,则$∠ AED=\_\_\_\_\_\_°$.

7. 37 提示:连接 CE,过点 E 作 EN⊥AC 于点N. 因为 DE 垂直平分 BC,所以$∠ EDB=90°,CE=BE$,所以$∠ ECB=∠ EBD=25°$,所以$∠ BEC=180°-∠ EBD-∠ ECB=130°$,$∠ ACE=∠ ACB+∠ ECB=53°$. 因为 EN⊥AC,EF⊥AM,AE 平分$∠ CAM$,所以EN=EF. 又因为 CE=BE, 所以 $\mathrm{Rt}△ ENC ≌ \mathrm{Rt}△ EFB(\mathrm{HL})$,所以$∠ EBF=∠ ACE=53°$,$∠ BEF=∠ CEN$. 所以$∠ BEF+∠ BEN=∠ CEN+∠ BEN$,即$∠ NEF=∠ BEC=130°$,所以$∠ CAM=360°-∠ ANE-∠ AFE-∠ NEF=50°$,所以$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ CAM=25°$.
因为$∠ EBF=∠ BAE+∠ AEB=53°$,所以$∠ AEB=28°$,所以$∠ AED=90°-∠ EBD-∠ AEB=37°$.

8. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=$$100°$,$BD$平分$∠ ABC$,$P$,$Q$分别为边$BD$,$BC$上一点,且$BP=CQ$,当$AB$的长为$4$时,则$AP+AQ$的最小值为.

8. 4 提示:如图,作 CE//BD,使得 CE=AB,连接 EQ,则$∠ CBD=∠ ECQ$. 因为 AB=AC,$∠ BAC=100°$,所以$∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=40°$.
因为 BD 平分$∠ ABC$,所以$∠ ABP=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=20°$,所以$∠ ECQ=∠ ABP=20°$. 在$△ ABP$和$△ ECQ$中,$\begin{cases} AB=EC, \\ ∠ ABP=∠ ECQ, \\ BP=CQ, \end{cases}$所以$△ ABP ≌ △ ECQ(\mathrm{SAS})$,所以 AP=QE,所以 AP+AQ=QE+AQ,所以当 A,Q,E 三点共线时,AP+AQ 取得最小值,最小值为 AE 的长. 又因为$∠ ACE=∠ ACB+∠ ECQ=40°+20°=60°$,CE=AB,AB=AC,所以 AC=CE,所以$△ ACE$是等边三角形,所以 AE=AC=4,即 AP+AQ 的最小值为4.

9. 在$△ ABC$中,$AB=AC,∠ BAC=100°$,点$D$在边$BC$上,$△ ABD$和$△ AFD$关于直线$AD$对称,$∠ FAC$的平分线交$BC$于点$G$,连接$FG$.

(1) $∠ DFG$的度数为.
(2) 设$∠ BAD=θ$,当$θ$为时,$△ DFG$为等腰三角形.

9. (1) $80°$ 提示:因为 AB=AC,$∠ BAC=100°$,所以$∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°$. 根据轴对称的性质,可知$∠ AFD=∠ B=40°$,AB=AF,所以AC=AF. 因为 AG 是$∠ FAC$的平分线,所以$∠ FAG=∠ CAG$. 在$△ AFG$和$△ ACG$中,$\begin{cases} AF=AC, \\ ∠ FAG=∠ CAG, \\ AG=AG, \end{cases}$所以$△ AFG ≌ △ ACG(\mathrm{SAS})$,所以$∠ AFG=∠ C=40°$,所以$∠ DFG=∠ AFD+∠ AFG=40°+40°=80°$.
(2) $10°$或$40°$或$25°$ 提示:由轴对称的性质,可得$∠ ADF=∠ ADB$. 因为$∠ ADB=180°-∠ B-∠ BAD=140°-θ$,所以$∠ ADF=140°-θ$,$∠ ADG=180°-∠ ADB=180°-(140°-θ)=40°+θ$,所以$∠ FDG=∠ ADF-∠ ADG=140°-θ-(40°+θ)=100°-2θ$. 分情况讨论:①当 FG=DG 时,$∠ FDG=∠ DFG=80°$,所以$100°-2θ=80°$,解得$θ=10°$;②当 DF=DG 时,$∠ DGF=∠ DFG=80°$,所以$∠ FDG=180°-∠ DFG-∠ DGF=180°-80°-80°=20°$,所以$100°-2θ=20°$,解得$θ=40°$;③当 FG=DF 时,$∠ FDG=∠ DGF=\frac{180°-∠ DFG}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$,所以$100°-2θ=50°$,解得$θ=25°$. 综上所述,当$θ$为$10°$或$40°$或$25°$时,$△ DFG$为等腰三角形.