9. 如图,$△ ABC$是等边三角形,$F$是$AC$的中点,点$D$在线段$BC$上,连接$DF$,以$DF$为边在$DF$的右侧作等边三角形$DFE$,连接$EC$,若存在有理数$k$,使得
$\frac{kBC+EC}{CD}$
为定值$a$,则$k$和$a$的值分别是（）

A.$\dfrac{1}{2}\ \ 1$
B.$\dfrac{1}{3}\ \ 1$
C.$1\ \ \dfrac{3}{2}$
D.$2\ \ 3$

提示:如图,在$BC$上取点$G$,使得$CG=CF$,连接$FG$. 因为$△ ABC$是等边三角形,所以$∠ ACB=60°$. 因为$F$是$AC$的中点,所以$CF=CG=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}BC$,所以$△ FCG$是等边三角形,所以$∠ GFC=60°$,$FG=CF$. 因为$△ DFE$是等边三角形,所以$FD=FE$,$∠ DFE=60°$,所以$∠ DFG=∠ EFC$. 在$△ DFG$ 和 $△ EFC$ 中,$\begin{cases}FD=FE,\\∠ DFG=∠ EFC,\\FG=FC,\end{cases}$所以$△ DFG≌△ EFC$(SAS). 所以$DG=EC$,所以$CF+EC=CD$,所以$\dfrac{1}{2}BC+EC=CD$,所以$\dfrac{\dfrac{1}{2}BC+EC}{CD}=1$,所以$k=\dfrac{1}{2}$,$a=1$.

10. 如图,在$△ A B C$中,$A B=A C$,$∠ B A C=$$100°$,$D$为三角形内部一点且$∠ B D C=$$140°$,$E$为$B C$的中点,连接$A D, D E$,作$∠ F D C=∠ E D C$,且$D F=2 D E$,当$∠ A D B=$时,$△ D F C$为直角三角形.

提示:①当$∠ DFC=90°$时,如图1,延长$DE$到点$G$,使得$DG=2DE$,连接$CG$,$AF$. 因为$DF=2DE$,所以$DF=DG$. 在$△ DFC$ 和 $△ DGC$ 中,$\begin{cases}DF=DG,\\∠ FDC=∠ GDC,\\DC=DC,\end{cases}$所以$△ DFC≌△ DGC$(SAS),所以$CG=CF$,$∠ G=∠ DFC=90°$. 因为$E$为$BC$的中点,所以$BE=CE$. 在$△ BDE$ 和 $△ CGE$ 中,$\begin{cases}BE=CE,\\∠ BED=∠ CEG,\\DE=GE,\end{cases}$所以$△ BDE≌△ CGE$(SAS). 所以$∠ BDE=∠ G=90°$,$∠ DBE=∠ GCE$,$BD=CG$,所以$BD=CF$. 因为$∠ BDC=140°$,所以$∠ EDC=∠ BDC-∠ BDE=50°=∠ FDC$,$∠ DCF=∠ DCG=40°$,$∠ FCG=80°$. 因为$∠ BAC=100°$,$AB=AC$,所以$∠ ABC=∠ ACB=40°$,所以$∠ ABD+∠ DBE=40°$,$∠ ACF+∠ GCE=40°$. 因为$∠ DBE=∠ GCE$,所以$∠ ABD=∠ ACF$. 在$△ ABD$ 和 $△ ACF$ 中,$\begin{cases}AB=AC,\\∠ ABD=∠ ACF,\\BD=CF,\end{cases}$(SAS). 所以$∠ BAD=∠ CAF$,$AD=AF$,所以$∠ DAF=∠ BAC=100°$,所以$∠ ADF=\dfrac{180°-100°}{2}=40°$,所以$∠ ADB=360°-∠ BDC-∠ FDC-∠ ADF=360°-140°-50°-40°=130°$.②当$∠ FDC=90°$时,如图2,延长$DE$到点$G$,使得$DG=2DE$,连接$CG$,$AF$. 同①可得$∠ ADF=40°$,所以$∠ ADB=360°-∠ BDC-∠ FDC-∠ ADF=360°-140°-90°-40°=90°$. 综上所述,$∠ ADB$的度数为$130°$或$90°$.

11. 已知在$△ ABC$中,$AB=AC$,射线$BM$,$BN$在$∠ ABC$内部,分别交线段$AC$于点$G,H$.
(1) 如图 1,若$∠ ABC=60°$,$∠ MBN=$$30°$,过点$A$作$AE ⊥ BN$于点$D$,分别交$BC$,$BM$于点$E$,$F$.
①求证:$AE=BG$;
②若$AD=BF$,连接$CF$,求$∠ CFE$的度数.
(2) 如图 2,$E$为边$BC$上一点,$AE$交$BM$于点$F$,连接$CF$.若$∠ BFE=∠ BAC=$$2∠ CFE$,求$\dfrac{S_{△ ACF}}{S_{△ ABF}}$的值.

(1) ① 证明: 因为 $AB = AC$,$∠ ABC=60°$,所以$△ ABC$ 为等边三角形,所以 $∠ BAC = ∠ ACB = 60°$,$AB = CA$. 因为 $AD⊥ BN$,$∠ MBN=30°$,所以$∠ BFD=60°$,所以$∠ ABF+∠ BAF=60°$. 又因为$∠ BAF+∠ EAC=60°$,所以$∠ EAC=∠ GBA$. 在$△ GBA$ 和 $△ EAC$ 中,$\begin{cases}∠ GBA=∠ EAC,\\AB=CA,\\∠ GAB=∠ ECA,\end{cases}$所以$△ GBA≌△ EAC$(ASA),所以$AE=BG$.
②解:如图1,取$BF$的中点$K$,连接$AK$. 由①,得$△ GBA≌△ EAC$,$∠ BFD=60°$. 因为$AD⊥ BN$,所以$∠ ADB=90°$,因为$∠ DBF=30°$,所以$BF=2DF$. 因为$AD=BF$,所以$AD=2DF$,所以$AF=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}BF=FK$,所以$△ FAK$ 是等腰三角形,所以$∠ FAK=∠ FKA$. 因为$∠ BFD=∠ FAK+∠ FKA=2∠ AKF$,$∠ BFD=60°$,所以$∠ AKF=\dfrac{1}{2}∠ BFD=30°$. 因为$△ GBA≌△ EAC$,所以$AG=CE$,$BG=AE$,$∠ AGB=∠ AEC$,所以$KG=BG-BK=AE-AF=FE$. 在$△ GAK$ 和 $△ ECF$ 中,$\begin{cases}AG=CE,\\∠ AGK=∠ CEF,\\KG=FE,\end{cases}$所以$△ GAK≌△ ECF$(SAS),所以$∠ CFE=∠ AKF$,所以$∠ CFE=∠ AKF=30°$.

(2) 解:如图2,在$BF$上取点$N$,使得$BN=AF$,连接$AN$. 因为$∠ BFE=∠ BAF+∠ ABF$,$∠ BFE=∠ BAC$,所以$∠ BAF+∠ EAC=∠ BAF+∠ ABF$,所以$∠ EAC=∠ FBA$. 在$△ BAN$ 和 $△ ACF$ 中,$\begin{cases}BA=AC,\\∠ ABN=∠ CAF,\\BN=AF,\end{cases}$所以$△ BAN≌△ ACF$(SAS),所以$S_{△ BAN}=S_{△ ACF}$,$∠ ANB=∠ CFA$. 所以$∠ ANF=∠ CFE$. 因为$∠ BFE=2∠ CFE$,所以$∠ BFE=2∠ ANF$. 因为$∠ BFE=2∠ ANF=∠ ANF+∠ NAF$,所以$∠ ANF=∠ NAF$,所以$△ FAN$是等腰三角形,所以$AF=FN$,所以$BN=AF=FN$,所以$S_{△ ABN}=S_{△ AFN}$. 因为$S_{△ ABF}=S_{△ ABN}+S_{△ AFN}=2S_{△ ABN}=2S_{△ ACF}$,所以$\dfrac{S_{△ ACF}}{S_{△ ABF}}=\dfrac{1}{2}$.