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1. 一家商店以每包$a$元的价格进了20包甲种茶叶，又以每包$b$元的价格进了30包乙种茶叶$(a＜b)$. 如果以每包$\dfrac{a+b}{2}$元的价格卖出这两种茶叶，那么卖完后，这家商店（
A.赚了
B.赔了
C.不赔不赚
D.不能确定赚或赔
B
）A.赚了
B.赔了
C.不赔不赚
D.不能确定赚或赔
答案
1. B
解析
【分析】
要判断商店卖完茶叶的盈亏情况，核心是比较总售价和总成本的大小：若总售价＞总成本则赚，总售价＜总成本则赔，二者相等则不赔不赚。解题思路如下：
1. 先计算进货的总成本：分别算出甲、乙两种茶叶的进货成本，相加得到总成本；
2. 再计算全部卖出后的总售价：先得到茶叶总数量，乘以统一的售价即可得到总售价；
3. 用总售价减去总成本得到利润的表达式，结合已知条件a＜b判断利润的正负，就能得出最终盈亏结论。
【解析】
第一步：计算进货总成本
购进20包甲茶叶，成本为20a元；购进30包乙茶叶，成本为30b元，因此总成本为：
总成本 = $20a + 30b$
第二步：计算全部售出的总售价
两种茶叶总数量为$20+30=50$包，每包售价为$\frac{a+b}{2}$元，因此总售价为：
总售价 = $50×\frac{a+b}{2}=25(a+b)=25a+25b$
第三步：计算利润并判断正负
利润 = 总售价 - 总成本 = $(25a+25b)-(20a+30b)$
去括号化简得：利润 = $25a+25b-20a-30b = 5a -5b =5(a-b)$
已知题目给出$a＜b$，因此$a-b＜0$，可得$5(a-b)＜0$，即利润为负数，说明这家商店赔了。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
列代数式，整式加减，不等式性质
【点评】
本题属于整式在实际经济问题中的基础应用题，采用作差法比较总成本和总售价的大小是解题的核心技巧，不需要代入具体数值即可通过已知的大小关系判断盈亏。部分同学容易忽略两种茶叶的进货数量不相等，误以为按两种进价的平均值售出就不赚不赔，是本题的常见易错点。
【难度系数】
0.6
要判断商店卖完茶叶的盈亏情况，核心是比较总售价和总成本的大小：若总售价＞总成本则赚，总售价＜总成本则赔，二者相等则不赔不赚。解题思路如下：
1. 先计算进货的总成本：分别算出甲、乙两种茶叶的进货成本，相加得到总成本；
2. 再计算全部卖出后的总售价：先得到茶叶总数量，乘以统一的售价即可得到总售价；
3. 用总售价减去总成本得到利润的表达式，结合已知条件a＜b判断利润的正负，就能得出最终盈亏结论。
【解析】
第一步：计算进货总成本
购进20包甲茶叶，成本为20a元；购进30包乙茶叶，成本为30b元，因此总成本为：
总成本 = $20a + 30b$
第二步：计算全部售出的总售价
两种茶叶总数量为$20+30=50$包，每包售价为$\frac{a+b}{2}$元，因此总售价为：
总售价 = $50×\frac{a+b}{2}=25(a+b)=25a+25b$
第三步：计算利润并判断正负
利润 = 总售价 - 总成本 = $(25a+25b)-(20a+30b)$
去括号化简得：利润 = $25a+25b-20a-30b = 5a -5b =5(a-b)$
已知题目给出$a＜b$，因此$a-b＜0$，可得$5(a-b)＜0$，即利润为负数，说明这家商店赔了。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
列代数式，整式加减，不等式性质
【点评】
本题属于整式在实际经济问题中的基础应用题，采用作差法比较总成本和总售价的大小是解题的核心技巧，不需要代入具体数值即可通过已知的大小关系判断盈亏。部分同学容易忽略两种茶叶的进货数量不相等，误以为按两种进价的平均值售出就不赚不赔，是本题的常见易错点。
【难度系数】
0.6
2. 已知 $a$ 表示一个两位数,$b$ 表示一个一位数,如果把 $b$ 放在 $a$ 的右边组成一个三位数,那么这个三位数可以表示为 （
A.$100b+a$
B.$10a+b$
C.$a+b$
D.$100a+b$
B
）A.$100b+a$
B.$10a+b$
C.$a+b$
D.$100a+b$
答案
2. B
解析
【分析】
我们可以从数位的变化规律入手思考：首先已知a是两位数，b是一位数，现在要把b放在a的右边组成三位数，相当于原本a的十位数字变成了新三位数的百位数字，原本a的个位数字变成了新三位数的十位数字，也就是a整体的数值扩大到原来的10倍，而b放在新三位数的个位，数值保持不变。我们也可以举具体的数值代入验证，比如假设a=25，b=4，把b放在a右边得到的三位数是254，对比几个选项的计算结果，就能快速选出正确答案，同时排除不符合的错误选项。
【解析】
解：
1. 分析数位变化：a是两位数，将b放在a的右侧组成三位数时，a的所有数位都向高位移动了1位，因此a的数值需要乘以10，得到10a；
2. 此时b位于新三位数的个位，直接将b相加即可得到该三位数的表达式：10a + b；
3. 验证排除错误选项：
选项A：100b+a对应的是把b放在a的左侧组成的三位数，不符合题意；
选项C：a+b是两数之和，结果远小于三位数，不符合要求；
选项D：100a+b得到的是四位数，不符合三位数的要求。
因此正确表达式为10a + b。
【答案】B
【知识点】
数位的意义，列代数式
【点评】
本题考查用代数式表示多位数，易错点是混淆数位移动后数值的扩大倍数，不少同学会误选D，误以为两位数a要扩大100倍，解题时可以通过代入具体数值的方法快速验证，降低出错概率。
【难度系数】0.7
我们可以从数位的变化规律入手思考：首先已知a是两位数，b是一位数，现在要把b放在a的右边组成三位数，相当于原本a的十位数字变成了新三位数的百位数字，原本a的个位数字变成了新三位数的十位数字，也就是a整体的数值扩大到原来的10倍，而b放在新三位数的个位，数值保持不变。我们也可以举具体的数值代入验证，比如假设a=25，b=4，把b放在a右边得到的三位数是254，对比几个选项的计算结果，就能快速选出正确答案，同时排除不符合的错误选项。
【解析】
解：
1. 分析数位变化：a是两位数，将b放在a的右侧组成三位数时，a的所有数位都向高位移动了1位，因此a的数值需要乘以10，得到10a；
2. 此时b位于新三位数的个位，直接将b相加即可得到该三位数的表达式：10a + b；
3. 验证排除错误选项：
选项A：100b+a对应的是把b放在a的左侧组成的三位数，不符合题意；
选项C：a+b是两数之和，结果远小于三位数，不符合要求；
选项D：100a+b得到的是四位数，不符合三位数的要求。
因此正确表达式为10a + b。
【答案】B
【知识点】
数位的意义，列代数式
【点评】
本题考查用代数式表示多位数，易错点是混淆数位移动后数值的扩大倍数，不少同学会误选D，误以为两位数a要扩大100倍，解题时可以通过代入具体数值的方法快速验证，降低出错概率。
【难度系数】0.7
3. 现有下列关于代数式 $-m+1$ 的值的结论：①$-m+1$ 的值可能是正数；②$-m+1$ 的值一定比 $-m$ 大；③$-m+1$ 的值一定比 1 小；④$-m+1$ 的值随着 $m$ 的增大而减小. 其中所有正确结论的序号是（
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
C
）A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
答案
3. C 提示:当 $m=0$ 时,$-m+1=1＞0$,故①符合题意;因为 $-m+1-(-m)=1＞0$,所以 $-m+1＞-m$,故②符合题意;当 $m=0$ 时,$-m+1=1$,故③不符合题意;当 $m$ 的值增大时,$-m$ 的值减小,所以 $-m+1$ 的值减小,故④符合题意.
解析
【分析】
我们可以逐个对四个结论进行验证判断：首先判断①，只需找到一个m的取值让-m+1为正，就能证明该结论成立；判断②时，用作差法比较两个代数式的大小，计算两式的差的正负即可得出大小关系；判断③时，只需找到一个反例，让-m+1的值不小于1，就能推翻该结论；判断④时，分析m的变化对-m项的影响，进而推导整个代数式的变化趋势，最后汇总正确结论选出对应选项即可。
【解析】
我们逐一验证每个结论：
1. 验证结论①：当m=0时，$-m+1=1＞0$，说明$-m+1$的值可以是正数，①正确；
2. 验证结论②：作差可得 $(-m+1)-(-m) = -m+1+m =1＞0$，因此$-m+1 ＞ -m$，即$-m+1$的值一定比$-m$大，②正确；
3. 验证结论③：当m取负数，比如$m=-1$时，$-m+1=1+1=2＞1$，当$m=0$时，$-m+1=1$，说明$-m+1$的值不一定比1小，③错误；
4. 验证结论④：当m增大时，$-m$的值会随之减小，因此$-m+1$的值也会随着m的增大而减小，④正确。
综上，正确的结论是①②④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
代数式取值判断，作差比较大小，代数式增减性
【点评】
本题属于代数式基础性质的考察，使用举反例排除错误结论是这类题的常用解题技巧，解题时要避免主观认定结论成立，通过严谨的推导或赋值验证才能得到正确结果。
【难度系数】
0.8
我们可以逐个对四个结论进行验证判断：首先判断①，只需找到一个m的取值让-m+1为正，就能证明该结论成立；判断②时，用作差法比较两个代数式的大小，计算两式的差的正负即可得出大小关系；判断③时，只需找到一个反例，让-m+1的值不小于1，就能推翻该结论；判断④时，分析m的变化对-m项的影响，进而推导整个代数式的变化趋势，最后汇总正确结论选出对应选项即可。
【解析】
我们逐一验证每个结论：
1. 验证结论①：当m=0时，$-m+1=1＞0$，说明$-m+1$的值可以是正数，①正确；
2. 验证结论②：作差可得 $(-m+1)-(-m) = -m+1+m =1＞0$，因此$-m+1 ＞ -m$，即$-m+1$的值一定比$-m$大，②正确；
3. 验证结论③：当m取负数，比如$m=-1$时，$-m+1=1+1=2＞1$，当$m=0$时，$-m+1=1$，说明$-m+1$的值不一定比1小，③错误；
4. 验证结论④：当m增大时，$-m$的值会随之减小，因此$-m+1$的值也会随着m的增大而减小，④正确。
综上，正确的结论是①②④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
代数式取值判断，作差比较大小，代数式增减性
【点评】
本题属于代数式基础性质的考察，使用举反例排除错误结论是这类题的常用解题技巧，解题时要避免主观认定结论成立，通过严谨的推导或赋值验证才能得到正确结果。
【难度系数】
0.8
4. 如图,四边形$ABCD$、四边形$CFED$和四边形$HGJI$都是正方形,点$B,C,F$在同一直线上,$CD$为正方形$ABCD$与正方形$CFED$的公共边,$G$是边$CF$上的动点(不与点$C,F$重合).若$BH=HG$,$HC=1$,记阴影部分①的面积为$S_1$,阴影部分②的面积为$S_2$,阴影部分③的面积为$S_3$,则$S_1,S_2,S_3$的数量关系为（
A.$S_1+S_2=S_3$
B.$S_1+2S_2=S_3$
C.$2S_1-S_2=S_3$
D.$2S_1+S_2=2S_3$
A
）A.$S_1+S_2=S_3$
B.$S_1+2S_2=S_3$
C.$2S_1-S_2=S_3$
D.$2S_1+S_2=2S_3$
答案
4. A 提示:设 $BH = HG = x$,因为四边形$HGJI$ 是正方形,所以 $HI = GJ = HG = CK = x$. 因为$HC=1$,所以 $CG = x-1$,正方形 $ABCD$ 与正方形$CFED$ 的边长为 $x+1$,所以阴影部分①中,$S_1=\frac{1}{2}· AD· DK=\frac{1}{2}(x+1)(x+1-x)=\frac{x+1}{2}$,阴影部分②中,$S_2=\frac{1}{2}KJ· DK=\frac{1}{2}(x-1)(x+1-x)=\frac{x-1}{2}$,阴影部分③中,$S_3=\frac{1}{2}JG· GF=\frac{1}{2}x·[x+1-(x-1)]=x$,所以 $S_1+S_2=\frac{x+1}{2}+\frac{x-1}{2}=\frac{x+1+x-1}{2}=x=S_3$.
解析
【分析】
这道题要推导三个阴影面积的数量关系，我们可以用设参数代换的思路来解：1. 先根据已知条件BH=HG，HC=1，设BH=HG=x，就可以用x表示出所有正方形的边长、相关线段的长度；2. 分别利用三角形面积公式，把S₁、S₂、S₃都用含x的代数式表示出来；3. 对三个代数式做运算对比，不需要求出x的具体值，就能直接得到三者的等量关系。
【解析】
解：设$BH = HG = x$，
已知$HC=1$，因此$BC = BH + HC = x + 1$，
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD=DC=BC=x+1$；
又因为四边形$HGJI$是正方形，所以$HG=GJ=CK=x$，
因此$DK = DC - CK = (x+1) - x = 1$，$CG = HG - HC = x - 1$。
1. 计算$S_1$：
$S_1$为阴影三角形的面积，底为$AD$，高为$DK$，因此：
$S_1 = \frac{1}{2} × AD × DK = \frac{1}{2} × (x+1) × 1 = \frac{x+1}{2}$
2. 计算$S_2$：
$S_2$为阴影小三角形的面积，底为$KJ$，$KJ=CG=x-1$，高为$DK$，因此：
$S_2 = \frac{1}{2} × KJ × DK = \frac{1}{2} × (x-1) × 1 = \frac{x-1}{2}$
3. 计算$S_3$：
$S_3$为阴影三角形的面积，底为$GJ=x$，正方形$CFED$边长为$x+1$，因此$GF = CF - CG = (x+1) - (x-1) = 2$，可得：
$S_3 = \frac{1}{2} × GJ × GF = \frac{1}{2} × x × 2 = x$
对$S_1$和$S_2$求和可得：
$S_1 + S_2 = \frac{x+1}{2} + \frac{x-1}{2} = x = S_3$
因此三者的数量关系为$S_1+S_2=S_3$。
【答案】
A.$S_1+S_2=S_3$
【知识点】
正方形性质，三角形面积计算，代数代换
【点评】
本题采用设参数的几何代数化思路，将所有未知边长统一用同一个变量表示，无需计算参数的具体取值，通过代数运算直接消去参数得到面积关系，简化了几何推导过程，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.6
这道题要推导三个阴影面积的数量关系，我们可以用设参数代换的思路来解：1. 先根据已知条件BH=HG，HC=1，设BH=HG=x，就可以用x表示出所有正方形的边长、相关线段的长度；2. 分别利用三角形面积公式，把S₁、S₂、S₃都用含x的代数式表示出来；3. 对三个代数式做运算对比，不需要求出x的具体值，就能直接得到三者的等量关系。
【解析】
解：设$BH = HG = x$，
已知$HC=1$，因此$BC = BH + HC = x + 1$，
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD=DC=BC=x+1$；
又因为四边形$HGJI$是正方形，所以$HG=GJ=CK=x$，
因此$DK = DC - CK = (x+1) - x = 1$，$CG = HG - HC = x - 1$。
1. 计算$S_1$：
$S_1$为阴影三角形的面积，底为$AD$，高为$DK$，因此：
$S_1 = \frac{1}{2} × AD × DK = \frac{1}{2} × (x+1) × 1 = \frac{x+1}{2}$
2. 计算$S_2$：
$S_2$为阴影小三角形的面积，底为$KJ$，$KJ=CG=x-1$，高为$DK$，因此：
$S_2 = \frac{1}{2} × KJ × DK = \frac{1}{2} × (x-1) × 1 = \frac{x-1}{2}$
3. 计算$S_3$：
$S_3$为阴影三角形的面积，底为$GJ=x$，正方形$CFED$边长为$x+1$，因此$GF = CF - CG = (x+1) - (x-1) = 2$，可得：
$S_3 = \frac{1}{2} × GJ × GF = \frac{1}{2} × x × 2 = x$
对$S_1$和$S_2$求和可得：
$S_1 + S_2 = \frac{x+1}{2} + \frac{x-1}{2} = x = S_3$
因此三者的数量关系为$S_1+S_2=S_3$。
【答案】
A.$S_1+S_2=S_3$
【知识点】
正方形性质，三角形面积计算，代数代换
【点评】
本题采用设参数的几何代数化思路，将所有未知边长统一用同一个变量表示，无需计算参数的具体取值，通过代数运算直接消去参数得到面积关系，简化了几何推导过程，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.6
5. 如果整式 A 与整式 B 的和为一个常数 a，那么我们称 A,B 为常数 a 的“和谐整式”. 例如:$x-6$和$-x+7$为数 1 的“和谐整式”. 若关于 x 的整式 $9x^{2}-mx+6$与$-3(3x^{2}-x+m)$为常数 k 的“和谐整式”(其中 m 为常数),则 k 的值为 （
A.3
B.$-3$
C.5
D.15
B
）A.3
B.$-3$
C.5
D.15
答案
5. B 提示:因为关于 x 的整式 $9x^{2}-mx+6$与$-3(3x^{2}-x+m)$为常数 k 的“和谐整式”,所以$9x^{2}-mx+6-3(3x^{2}-x+m)=k$,即$(3-m)x+6-3m=k$,无论 x 取何值都成立,则 $3-m=0$,解得 $m=3$.所以 $k=6-3m=6-3×3=-3$.
解析
【分析】
首先先读懂题目给出的“和谐整式”定义：两个整式的和为常数k，说明相加后所有含x的变量项的系数都为0，最终仅剩下常数k。解题思路如下：第一步根据定义，把题干给出的两个整式相加得到和的表达式；第二步对该表达式去括号、合并同类项，会发现二次项直接抵消，仅剩一次项和常数项；第三步因为最终结果是常数，因此含x的一次项系数必须等于0，由此解出参数m的值；第四步把求出的m代入剩余的常数部分，就能算出k的数值。
【解析】
解：根据“和谐整式”的定义，两个整式的和为常数k，因此列等式：
$(9x^2 - mx + 6) + [-3(3x^2 - x + m)] = k$
对左侧式子去括号：
$9x^2 - mx + 6 -9x^2 + 3x -3m = k$
合并同类项化简：
$(3 - m)x + 6 - 3m = k$
由于k是常数，说明式子中含x的项的系数必须为0，即：
$3 - m = 0$
解得 $m=3$。
将$m=3$代入常数项部分计算k：
$k = 6 - 3m = 6 - 3×3 = -3$
【答案】
B
【知识点】
整式的加减运算；新定义题型
【点评】
本题是结合新定义的整式加减基础题，核心利用“和为常数则所有含变量的项系数为0”的性质解题，易错点是去括号时符号处理出错，只要准确理解新定义规则，按步骤合并同类项先求参数m，再代入计算k即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
首先先读懂题目给出的“和谐整式”定义：两个整式的和为常数k，说明相加后所有含x的变量项的系数都为0，最终仅剩下常数k。解题思路如下：第一步根据定义，把题干给出的两个整式相加得到和的表达式；第二步对该表达式去括号、合并同类项，会发现二次项直接抵消，仅剩一次项和常数项；第三步因为最终结果是常数，因此含x的一次项系数必须等于0，由此解出参数m的值；第四步把求出的m代入剩余的常数部分，就能算出k的数值。
【解析】
解：根据“和谐整式”的定义，两个整式的和为常数k，因此列等式：
$(9x^2 - mx + 6) + [-3(3x^2 - x + m)] = k$
对左侧式子去括号：
$9x^2 - mx + 6 -9x^2 + 3x -3m = k$
合并同类项化简：
$(3 - m)x + 6 - 3m = k$
由于k是常数，说明式子中含x的项的系数必须为0，即：
$3 - m = 0$
解得 $m=3$。
将$m=3$代入常数项部分计算k：
$k = 6 - 3m = 6 - 3×3 = -3$
【答案】
B
【知识点】
整式的加减运算；新定义题型
【点评】
本题是结合新定义的整式加减基础题，核心利用“和为常数则所有含变量的项系数为0”的性质解题，易错点是去括号时符号处理出错，只要准确理解新定义规则，按步骤合并同类项先求参数m，再代入计算k即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
二、填空题
6. 已知代数式 $ax^{3}+3x^{2}+cx-2$, 当 $x=3$ 时,代数式的值为 2 025,则当 $x=-3$ 时,代数式的值为
6. 已知代数式 $ax^{3}+3x^{2}+cx-2$, 当 $x=3$ 时,代数式的值为 2 025,则当 $x=-3$ 时,代数式的值为
-1 975
.答案
6. -1 975 提示:因为当 $x=3$ 时,代数式的值为 2 025,所以 $a×3^{3}+3×3^{2}+c×3-2=27a+27+3c-2=27a+3c+25=2 025$,所以 $27a+3c=2 000$. 当$x=-3$ 时,$ax^{3}+3x^{2}+cx-2=a×(-3)^{3}+3×(-3)^{2}+c×(-3)-2=-27a+27-3c-2=-27a-3c+25$. 因为 $27a+3c=2 000$,所以$-27a-3c=-2 000$,所以原式$=-2 000+25=-1 975$.
解析
【分析】
这道题无法直接求出参数a、c的具体数值，因此采用整体代入的思路解题：第一步先将x=3代入已知代数式，结合此时代数式的值为2025，整理后得到27a+3c的整体数值；第二步再将x=-3代入代数式，对代入后的式子变形，构造出包含-(27a+3c)的部分，最后把第一步得到的整体值代入变形后的式子，就能直接算出x=-3时代数式的结果，不需要单独求解a和c。
【解析】
1. 代入x=3计算整体关系式
当x=3时，将其代入代数式$ax^{3}+3x^{2}+cx-2$，由题意得：
$a× 3^3 + 3× 3^2 + c× 3 - 2 = 2025$
整理计算得：
$27a + 27 + 3c - 2 = 2025$
化简后移项可得：$27a + 3c = 2000$。
2. 代入x=-3并变形式子
当x=-3时，将其代入代数式$ax^{3}+3x^{2}+cx-2$：
原式$=a× (-3)^3 + 3× (-3)^2 + c× (-3) - 2$
计算幂次后整理：
$= -27a + 27 - 3c - 2$
提取负号构造整体：
$= -(27a + 3c) + 25$
3. 代入整体值计算结果
把$27a+3c=2000$代入上式，得：
原式$= -2000 + 25 = -1975$
【答案】
-1975
【知识点】
代数式求值；整体代入法；整式运算
【点评】
本题是典型的“设而不求”类代数式求值题，核心考察整体代换的解题技巧，不需要单独求解未知参数a、c的具体值，通过已知条件构造整体关系式即可快速得到结果，解题时需要注意负数的奇次幂符号变化，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.6
这道题无法直接求出参数a、c的具体数值，因此采用整体代入的思路解题：第一步先将x=3代入已知代数式，结合此时代数式的值为2025，整理后得到27a+3c的整体数值；第二步再将x=-3代入代数式，对代入后的式子变形，构造出包含-(27a+3c)的部分，最后把第一步得到的整体值代入变形后的式子，就能直接算出x=-3时代数式的结果，不需要单独求解a和c。
【解析】
1. 代入x=3计算整体关系式
当x=3时，将其代入代数式$ax^{3}+3x^{2}+cx-2$，由题意得：
$a× 3^3 + 3× 3^2 + c× 3 - 2 = 2025$
整理计算得：
$27a + 27 + 3c - 2 = 2025$
化简后移项可得：$27a + 3c = 2000$。
2. 代入x=-3并变形式子
当x=-3时，将其代入代数式$ax^{3}+3x^{2}+cx-2$：
原式$=a× (-3)^3 + 3× (-3)^2 + c× (-3) - 2$
计算幂次后整理：
$= -27a + 27 - 3c - 2$
提取负号构造整体：
$= -(27a + 3c) + 25$
3. 代入整体值计算结果
把$27a+3c=2000$代入上式，得：
原式$= -2000 + 25 = -1975$
【答案】
-1975
【知识点】
代数式求值；整体代入法；整式运算
【点评】
本题是典型的“设而不求”类代数式求值题，核心考察整体代换的解题技巧，不需要单独求解未知参数a、c的具体值，通过已知条件构造整体关系式即可快速得到结果，解题时需要注意负数的奇次幂符号变化，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.6
7. 若$ab＜0,ac＞0,a+c＞0,|a|＜|c|＜|b|,$
则$|a+b|+|a-c|-|c+b|=$
则$|a+b|+|a-c|-|c+b|=$
-2a+2c
.答案
7. $-2a+2c$ 提示:因为 $ac＞0,a+c＞0$,所以 $c＞0,a＞0$. 又因为 $ab＜0,|a|＜|c|＜|b|$,所以 $b＜0,a＜c＜-b$. 所以 $a+b＜0,a-c＜0,c+b＜0$. 所以原式$=-(a+b)-(a-c)+(c+b)=-a-b-a+c+c+b=-2a+2c$.
解析
【分析】
这道题是含绝对值的代数式化简问题，解题的核心思路是先根据已知条件逐步确定a、b、c三个数的正负性和大小关系，再判断每个绝对值内部代数式的正负，最后利用绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项得到结果。首先从条件ac＞0和a+c＞0入手：两数乘积为正则两数同号，同号两数相加为正说明两个数都为正数，就能得到a＞0、c＞0；再结合ab＜0，乘积为异号，就能推出b＜0。接下来结合绝对值的大小关系|a|＜|c|＜|b|，因为b是负数，它的绝对值等于它的相反数，因此可以得到a＜c＜-b的大小关系，据此就能逐一判断a+b、a-c、c+b这三个式子的正负，完成去绝对值的操作。
【解析】
解：
1. 判定a、c的符号：
由ac＞0可知a与c同号，又已知a+c＞0，两个同号数的和为正，因此可得a＞0，c＞0。
2. 判定b的符号：
已知ab＜0，说明a、b异号，结合a＞0，可得b＜0。
3. 确定三数的大小关系：
已知|a|＜|c|＜|b|，因为b＜0，所以|b|=-b，因此可得大小关系：a ＜ c ＜ -b。
4. 判断绝对值内代数式的正负：
因为a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，异号两数相加取绝对值大的符号，因此a+b＜0；
由a＜c，移项可得a-c＜0；
因为c＞0，b＜0，且|c|＜|b|，异号两数相加取绝对值大的符号，因此c+b＜0。
5. 去绝对值并化简：
根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，对原式去绝对值：
$\begin{aligned}|a+b|+|a-c|-|c+b|&= -(a+b) - (a - c) + (c + b)\\&=-a - b -a + c + c + b\\&=-2a + 2c\end{aligned}$
【答案】
$-2a+2c$
【知识点】
绝对值化简，有理数符号判定，整式加减
【点评】
本题是有理数章节绝对值化简的经典题型，解题的关键是先通过给定的乘积和和的条件推导三个字母的正负，再结合绝对值的大小关系判断异号两数相加的结果符号，不少同学容易在判断a+b、c+b的符号时出错，去绝对值时要注意整体添加括号，避免符号错误。
【难度系数】
0.5
这道题是含绝对值的代数式化简问题，解题的核心思路是先根据已知条件逐步确定a、b、c三个数的正负性和大小关系，再判断每个绝对值内部代数式的正负，最后利用绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项得到结果。首先从条件ac＞0和a+c＞0入手：两数乘积为正则两数同号，同号两数相加为正说明两个数都为正数，就能得到a＞0、c＞0；再结合ab＜0，乘积为异号，就能推出b＜0。接下来结合绝对值的大小关系|a|＜|c|＜|b|，因为b是负数，它的绝对值等于它的相反数，因此可以得到a＜c＜-b的大小关系，据此就能逐一判断a+b、a-c、c+b这三个式子的正负，完成去绝对值的操作。
【解析】
解：
1. 判定a、c的符号：
由ac＞0可知a与c同号，又已知a+c＞0，两个同号数的和为正，因此可得a＞0，c＞0。
2. 判定b的符号：
已知ab＜0，说明a、b异号，结合a＞0，可得b＜0。
3. 确定三数的大小关系：
已知|a|＜|c|＜|b|，因为b＜0，所以|b|=-b，因此可得大小关系：a ＜ c ＜ -b。
4. 判断绝对值内代数式的正负：
因为a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，异号两数相加取绝对值大的符号，因此a+b＜0；
由a＜c，移项可得a-c＜0；
因为c＞0，b＜0，且|c|＜|b|，异号两数相加取绝对值大的符号，因此c+b＜0。
5. 去绝对值并化简：
根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，对原式去绝对值：
$\begin{aligned}|a+b|+|a-c|-|c+b|&= -(a+b) - (a - c) + (c + b)\\&=-a - b -a + c + c + b\\&=-2a + 2c\end{aligned}$
【答案】
$-2a+2c$
【知识点】
绝对值化简，有理数符号判定，整式加减
【点评】
本题是有理数章节绝对值化简的经典题型，解题的关键是先通过给定的乘积和和的条件推导三个字母的正负，再结合绝对值的大小关系判断异号两数相加的结果符号，不少同学容易在判断a+b、c+b的符号时出错，去绝对值时要注意整体添加括号，避免符号错误。
【难度系数】
0.5
8. 已知 $a_1,a_2,a_3,\dots,a_n$ 是从 1 或 0 中取值的一列数(1 和 0 都至少有一个),若 $(a_1+2)^2+(a_2+2)^2+(a_3+2)^2+\dots+(a_n+2)^2=$81,则这列数的个数 $n$ 为
14 或 19
.答案
8. 14 或 19 提示:根据题意,得$(1+2)^2=9$,$(0+2)^2=4$. 又因为 81 是奇数,奇数+偶数=奇数,奇数×奇数=奇数,且数列中 1 和 0 都至少有 1 个,所以这列数中 1 的个数为奇数且小于 9. ①若数列中有 1 个 1,则 $81-9=72,72÷4=18$,所以 $n=18+1=19$;②若数列中有 3 个 1,则 $81-3×9=54$,因为54 不是 4 的倍数,所以不合题意,舍去;③若数列中有 5 个 1,则 $81-5×9=36,36÷4=9$,所以 $n=9+5=14$;④若数列中有 7 个 1,则 $81-7×9=18$,因为18 不是 4 的倍数,所以不合题意,舍去. 综上所述,个数 $n$ 的值为 14 或 19.
解析
【分析】
首先，已知数列的每个元素只能取0或1，我们可以先分别计算当元素为1、元素为0时对应的$(a_i+2)^2$的取值，将原平方和等式转化为只含1的个数、0的个数的二元一次不定方程。接下来利用奇偶性分析缩小未知数的取值范围，再结合正整数的要求筛选出所有符合条件的解，最后总个数n就是1的个数加0的个数，同时要注意题目要求1和0都至少有一个，排除不符合隐含条件的解即可。
【解析】
解：因为数列中每个数$a_i$只能取1或0：
当$a_i=1$时，$(a_i+2)^2=(1+2)^2=9$；
当$a_i=0$时，$(a_i+2)^2=(0+2)^2=4$。
设这列数中取值为1的数共有$x$个，取值为0的数共有$y$个，由题意可知$x≥1$，$y≥1$，且$x,y$均为正整数，代入平方和等式得：
$9x + 4y = 81$
由于$4y$是偶数，总和81是奇数，因此$9x$必须为奇数，可得$x$是奇数；同时$9x＜81$，即$x＜9$，因此$x$的可能取值为1、3、5、7：
1. 当$x=1$时，代入得$9×1 +4y=81$，解得$y=18$，符合$y≥1$的要求，此时$n=x+y=1+18=19$；
2. 当$x=3$时，代入得$9×3 +4y=81$，解得$4y=54$，$y=13.5$，不是正整数，舍去；
3. 当$x=5$时，代入得$9×5 +4y=81$，解得$y=9$，符合$y≥1$的要求，此时$n=x+y=5+9=14$；
4. 当$x=7$时，代入得$9×7 +4y=81$，解得$4y=18$，$y=4.5$，不是正整数，舍去。
综上，符合条件的n为14或19。
【答案】
14 或 19
【知识点】
不定方程整数解，奇偶性应用，有理数乘方
【点评】
本题的核心是将陌生的平方和问题转化为熟悉的二元一次不定方程求解，利用奇偶性快速缩小x的取值范围，避免无意义的枚举，解题时要注意题目给出的“1和0都至少有一个”的限制条件，不要漏解也不要错取非整数解。
【难度系数】
0.4
首先，已知数列的每个元素只能取0或1，我们可以先分别计算当元素为1、元素为0时对应的$(a_i+2)^2$的取值，将原平方和等式转化为只含1的个数、0的个数的二元一次不定方程。接下来利用奇偶性分析缩小未知数的取值范围，再结合正整数的要求筛选出所有符合条件的解，最后总个数n就是1的个数加0的个数，同时要注意题目要求1和0都至少有一个，排除不符合隐含条件的解即可。
【解析】
解：因为数列中每个数$a_i$只能取1或0：
当$a_i=1$时，$(a_i+2)^2=(1+2)^2=9$；
当$a_i=0$时，$(a_i+2)^2=(0+2)^2=4$。
设这列数中取值为1的数共有$x$个，取值为0的数共有$y$个，由题意可知$x≥1$，$y≥1$，且$x,y$均为正整数，代入平方和等式得：
$9x + 4y = 81$
由于$4y$是偶数，总和81是奇数，因此$9x$必须为奇数，可得$x$是奇数；同时$9x＜81$，即$x＜9$，因此$x$的可能取值为1、3、5、7：
1. 当$x=1$时，代入得$9×1 +4y=81$，解得$y=18$，符合$y≥1$的要求，此时$n=x+y=1+18=19$；
2. 当$x=3$时，代入得$9×3 +4y=81$，解得$4y=54$，$y=13.5$，不是正整数，舍去；
3. 当$x=5$时，代入得$9×5 +4y=81$，解得$y=9$，符合$y≥1$的要求，此时$n=x+y=5+9=14$；
4. 当$x=7$时，代入得$9×7 +4y=81$，解得$4y=18$，$y=4.5$，不是正整数，舍去。
综上，符合条件的n为14或19。
【答案】
14 或 19
【知识点】
不定方程整数解，奇偶性应用，有理数乘方
【点评】
本题的核心是将陌生的平方和问题转化为熟悉的二元一次不定方程求解，利用奇偶性快速缩小x的取值范围，避免无意义的枚举，解题时要注意题目给出的“1和0都至少有一个”的限制条件，不要漏解也不要错取非整数解。
【难度系数】
0.4
9. 从古至今,密码的使用在
很多方面都发挥着极其
重要的作用.有一种密码
的明文(真实文),其中的
字母按计算机键盘顺序与26个自然数对
应(见下表).
设明文的任一字母对应的自然数为$x$,译
为密文字母后对应的自然数为$x'$.例如,
有一种译码方法按照以下变换实现:$x \to$
$x'$,其中$x'$是$3x+28$被26除所得的余数
与1之和($1 ≤ x ≤ 26$).当$x=1$时,$x'=6$,
即明文$Q$译为密文$Y$;当$x=10$时,$x'=$
7,即明文$P$译为密文$U$.现有某变换,将
明文字母对应的自然数$x$变换为密文字
母相应的自然数$x':x \to x'$,$x'$为$3x+b$被
26 除所得余数与 1 之和($1 ≤ x ≤ 26,1 ≤$
$b ≤ 26$). 已知运用此变换,明文$H$译为密
文$T$,则明文$DAY$译成密文是
很多方面都发挥着极其
重要的作用.有一种密码
的明文(真实文),其中的
字母按计算机键盘顺序与26个自然数对
应(见下表).
设明文的任一字母对应的自然数为$x$,译
为密文字母后对应的自然数为$x'$.例如,
有一种译码方法按照以下变换实现:$x \to$
$x'$,其中$x'$是$3x+28$被26除所得的余数
与1之和($1 ≤ x ≤ 26$).当$x=1$时,$x'=6$,
即明文$Q$译为密文$Y$;当$x=10$时,$x'=$
7,即明文$P$译为密文$U$.现有某变换,将
明文字母对应的自然数$x$变换为密文字
母相应的自然数$x':x \to x'$,$x'$为$3x+b$被
26 除所得余数与 1 之和($1 ≤ x ≤ 26,1 ≤$
$b ≤ 26$). 已知运用此变换,明文$H$译为密
文$T$,则明文$DAY$译成密文是
CHQ
.答案
9. CHQ 提示:因为字母 H 对应的自然数为16,字母 T 对应的自然数为 5,所以由条件得 $3×16+b$被 26 除后的余数为 4. 又因为 $1≤b≤26$,所以 $b=8$. 当$x=13$ 时,$3x+8=47,47÷26=1……21,x'=21+1=22$,即明文 D 的密文是 C;当 $x=11$ 时,$3x+8=41$,$41÷26=1……15,x'=15+1=16$,即明文 A 的密文是H;当 $x=6$ 时,$3x+8=26,26÷26=1,x'=0+1=1$,即明文 Y 的密文是 Q. 综上所述,明文 DAY 译成密文是 CHQ.
解析
【分析】
解题思路分三步推进：第一步先明确题目给出的变换规则：密文对应的自然数x'等于3x+b被26除所得的余数加1，其中x是明文对应的自然数。第二步利用已知条件“明文H译为密文T”，先找到H、T各自对应的自然数，代入变换规则求出未知参数b的取值。第三步分别查出明文D、A、Y对应的自然数，代入参数确定后的变换公式，算出每个明文对应的密文自然数，再转换为对应字母，拼接得到最终密文，整个过程核心是先求参数b，再逐个计算，注意余数的定义不要出错。
【解析】
1. 求参数b：
根据字母和自然数的对应规则，明文H对应的自然数x=16，密文T对应的自然数x'=5。
代入变换规则x'=(3x+b被26除的余数)+1，可得：
5 = (3×16 + b 被26除的余数) + 1，即3×16 + b 被26除的余数为4。
计算得3×16=48，因此48 + b = 26k + 4（k为正整数），结合1≤b≤26的条件，取k=2时，b=26×2 +4 -48=8，符合取值要求，即b=8。
2. 逐个计算明文对应的密文：
① 明文D对应的自然数x=13：
3x+8=3×13+8=47，47除以26商1余21，因此x'=21+1=22，对应字母C。
② 明文A对应的自然数x=11：
3x+8=3×11+8=41，41除以26商1余15，因此x'=15+1=16，对应字母H。
③ 明文Y对应的自然数x=6：
3x+8=3×6+8=26，26除以26商1余0，因此x'=0+1=1，对应字母Q。
3. 拼接三个密文字母，得到DAY对应的密文为CHQ。
【答案】
CHQ
【知识点】
余数的应用，带余除法
【点评】
本题是结合密码场景的趣味应用题，考察带余除法的实际运用，解题关键是先通过给定的明密文对应关系求出未知参数b，再逐一计算每个明文字母对应的密文，解题时要注意不要混淆字母和对应自然数的映射关系，避免余数计算出错。
【难度系数】
0.6
解题思路分三步推进：第一步先明确题目给出的变换规则：密文对应的自然数x'等于3x+b被26除所得的余数加1，其中x是明文对应的自然数。第二步利用已知条件“明文H译为密文T”，先找到H、T各自对应的自然数，代入变换规则求出未知参数b的取值。第三步分别查出明文D、A、Y对应的自然数，代入参数确定后的变换公式，算出每个明文对应的密文自然数，再转换为对应字母，拼接得到最终密文，整个过程核心是先求参数b，再逐个计算，注意余数的定义不要出错。
【解析】
1. 求参数b：
根据字母和自然数的对应规则，明文H对应的自然数x=16，密文T对应的自然数x'=5。
代入变换规则x'=(3x+b被26除的余数)+1，可得：
5 = (3×16 + b 被26除的余数) + 1，即3×16 + b 被26除的余数为4。
计算得3×16=48，因此48 + b = 26k + 4（k为正整数），结合1≤b≤26的条件，取k=2时，b=26×2 +4 -48=8，符合取值要求，即b=8。
2. 逐个计算明文对应的密文：
① 明文D对应的自然数x=13：
3x+8=3×13+8=47，47除以26商1余21，因此x'=21+1=22，对应字母C。
② 明文A对应的自然数x=11：
3x+8=3×11+8=41，41除以26商1余15，因此x'=15+1=16，对应字母H。
③ 明文Y对应的自然数x=6：
3x+8=3×6+8=26，26除以26商1余0，因此x'=0+1=1，对应字母Q。
3. 拼接三个密文字母，得到DAY对应的密文为CHQ。
【答案】
CHQ
【知识点】
余数的应用，带余除法
【点评】
本题是结合密码场景的趣味应用题，考察带余除法的实际运用，解题关键是先通过给定的明密文对应关系求出未知参数b，再逐一计算每个明文字母对应的密文，解题时要注意不要混淆字母和对应自然数的映射关系，避免余数计算出错。
【难度系数】
0.6
