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10. 将连续的奇数 1,3,5,7,9,…排成如图所示的数表,记$P_{mn}$表示第$m$行第$n$个数,如$P_{23}=17$表示第 2 行第 3 个数是 17. 则$P_{44}=$
43
,$P_{mn}=$12m+2n−13
(用含$m$,$n$的代数式表示).答案
10. 43 $12m+2n-13$ 提示:观察表格数据可知,表格中相邻的上下两数相差12,左右两数相差2. 因为 $P_{34}=31$,所以 $P_{44}=P_{34}+12=31+12=43$. 因为 $P_{m1}=12m-11$,所以 $P_{mn}=12m-11+2(n-1)=12m+2n-13$.
解析
【分析】
我们先从观察数表的排列特征入手：首先数表里全是从1开始的连续奇数，每行固定有6个数。先看同一行的相邻数，连续奇数差为2，所以同行左右相邻数相差2；再看上下同列的数，上一行有6个数，相邻差2，所以下一行同位置的数比上一行同位置的数大2×6=12。先求P₄₄，已知第3行第4个数是31，第4行同列的数就比它大12，直接相加就能得到结果。接下来推导通用的Pₘₙ，先算出第m行第1个数的表达式，再根据同行相邻数差2，向右走n-1步就加2(n-1)，合并化简就能得到最终的代数式。
【解析】
1. 计算$P_{44}$：
观察数表可知，同列上下相邻的两个数相差12，已知第3行第4个数$P_{34}=31$，因此第4行第4个数为：
$P_{44}=31+12=43$
2. 推导$P_{mn}$的代数式：
先求第m行第1个数$P_{m1}$：
第1行第1个数是1，第2行第1个数是13=1+12×1，第3行第1个数是25=1+12×2，以此类推，第m行第1个数为：
$P_{m1}=1+12×(m-1)=12m-11$
同一行中，第n个数比第1个数大$2(n-1)$（同行相邻数差2，从第1个到第n个共间隔n-1个差值），因此：
$P_{mn}=P_{m1}+2(n-1)=12m-11+2n-2=12m+2n-13$
【答案】
43；$12m+2n-13$
【知识点】
数表规律探究，代数式表示数
【点评】
本题属于基础的数表规律探究题，解题核心是先通过观察确定同行、同列相邻数的差值，先推导每行首项的通用表达式，再叠加同行的位置增量即可得到结果，整体逻辑清晰，只要仔细观察数表排列特征就不容易出错。
【难度系数】
0.7
我们先从观察数表的排列特征入手：首先数表里全是从1开始的连续奇数，每行固定有6个数。先看同一行的相邻数，连续奇数差为2，所以同行左右相邻数相差2；再看上下同列的数，上一行有6个数，相邻差2，所以下一行同位置的数比上一行同位置的数大2×6=12。先求P₄₄，已知第3行第4个数是31，第4行同列的数就比它大12，直接相加就能得到结果。接下来推导通用的Pₘₙ，先算出第m行第1个数的表达式，再根据同行相邻数差2，向右走n-1步就加2(n-1)，合并化简就能得到最终的代数式。
【解析】
1. 计算$P_{44}$：
观察数表可知，同列上下相邻的两个数相差12，已知第3行第4个数$P_{34}=31$，因此第4行第4个数为：
$P_{44}=31+12=43$
2. 推导$P_{mn}$的代数式：
先求第m行第1个数$P_{m1}$：
第1行第1个数是1，第2行第1个数是13=1+12×1，第3行第1个数是25=1+12×2，以此类推，第m行第1个数为：
$P_{m1}=1+12×(m-1)=12m-11$
同一行中，第n个数比第1个数大$2(n-1)$（同行相邻数差2，从第1个到第n个共间隔n-1个差值），因此：
$P_{mn}=P_{m1}+2(n-1)=12m-11+2n-2=12m+2n-13$
【答案】
43；$12m+2n-13$
【知识点】
数表规律探究，代数式表示数
【点评】
本题属于基础的数表规律探究题，解题核心是先通过观察确定同行、同列相邻数的差值，先推导每行首项的通用表达式，再叠加同行的位置增量即可得到结果，整体逻辑清晰，只要仔细观察数表排列特征就不容易出错。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图,点 A,B,C,D 分别表示四个车站的位置.
(1) 用含 a,b 的代数式表示 A,C 两站之间的距离是
(2) 若已知 A,C 两站之间的距离是 12,求C,D 两站之间的距离.
11. 如图,点 A,B,C,D 分别表示四个车站的位置.
(1) 用含 a,b 的代数式表示 A,C 两站之间的距离是
3a−2b
.(2) 若已知 A,C 两站之间的距离是 12,求C,D 两站之间的距离.
答案
11. (1) $3a-2b$
(2) 解:$CD=(\dfrac{7}{2}a-2b-1)-(2a-b)=\dfrac{3}{2}a-b-1$. 因为 $3a-2b=12$,所以 $\dfrac{3}{2}a-b=6$,所以 $CD=6-1=5$,即 $C,D$ 两站之间的距离为5.
(2) 解:$CD=(\dfrac{7}{2}a-2b-1)-(2a-b)=\dfrac{3}{2}a-b-1$. 因为 $3a-2b=12$,所以 $\dfrac{3}{2}a-b=6$,所以 $CD=6-1=5$,即 $C,D$ 两站之间的距离为5.
解析
【分析】
这道题是结合线段长度计算的整式运算题，首先思考第一问：求A、C两站的距离，从图中可以看出AC是线段AB和线段BC的和，直接把AB、BC对应的代数式相加，合并同类项就能得到结果。第二问求C、D的距离，观察图形可知BD是从B到D的总长度，BC是从B到C的长度，所以CD=BD-BC，先把对应的代数式做减法化简，再结合第一问得到的AC=3a-2b=12的条件，观察化简后的CD表达式，发现可以把3a-2b整体除以2得到和CD部分项一致的式子，用整体代入的方法就能算出CD的长度，不需要单独求a、b的值，简化计算。
【解析】
(1) 计算A、C两站的距离：
AC = AB + BC
代入AB=a-b，BC=2a-b，得：
AC = (a-b) + (2a-b)
= a - b + 2a - b
= 3a - 2b
(2) 计算C、D两站的距离：
首先根据线段和差关系，CD = BD - BC
代入BD=$\frac{7}{2}a-2b-1$，BC=2a-b，得：
CD = $(\frac{7}{2}a-2b-1) - (2a-b)$
= $\frac{7}{2}a - 2b -1 -2a + b$
= $\frac{3}{2}a - b -1$
已知A、C两站距离为12，即3a-2b=12，等式两边同时除以2可得：
$\frac{3}{2}a - b = 6$
将$\frac{3}{2}a - b =6$代入CD的表达式：
CD = 6 - 1 = 5
【答案】
(1) $3a-2b$；(2) C,D两站之间的距离为5
【知识点】
线段的和差，整式加减，整体代入求值
【点评】
本题结合实际站点的线段长度场景，考查整式的加减运算，核心技巧是整体代入求值，不需要单独求解a、b的具体数值，通过对已知等式变形直接代入化简后的CD表达式，大幅简化运算，帮助学生理解整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
这道题是结合线段长度计算的整式运算题，首先思考第一问：求A、C两站的距离，从图中可以看出AC是线段AB和线段BC的和，直接把AB、BC对应的代数式相加，合并同类项就能得到结果。第二问求C、D的距离，观察图形可知BD是从B到D的总长度，BC是从B到C的长度，所以CD=BD-BC，先把对应的代数式做减法化简，再结合第一问得到的AC=3a-2b=12的条件，观察化简后的CD表达式，发现可以把3a-2b整体除以2得到和CD部分项一致的式子，用整体代入的方法就能算出CD的长度，不需要单独求a、b的值，简化计算。
【解析】
(1) 计算A、C两站的距离：
AC = AB + BC
代入AB=a-b，BC=2a-b，得：
AC = (a-b) + (2a-b)
= a - b + 2a - b
= 3a - 2b
(2) 计算C、D两站的距离：
首先根据线段和差关系，CD = BD - BC
代入BD=$\frac{7}{2}a-2b-1$，BC=2a-b，得：
CD = $(\frac{7}{2}a-2b-1) - (2a-b)$
= $\frac{7}{2}a - 2b -1 -2a + b$
= $\frac{3}{2}a - b -1$
已知A、C两站距离为12，即3a-2b=12，等式两边同时除以2可得：
$\frac{3}{2}a - b = 6$
将$\frac{3}{2}a - b =6$代入CD的表达式：
CD = 6 - 1 = 5
【答案】
(1) $3a-2b$；(2) C,D两站之间的距离为5
【知识点】
线段的和差，整式加减，整体代入求值
【点评】
本题结合实际站点的线段长度场景，考查整式的加减运算，核心技巧是整体代入求值，不需要单独求解a、b的具体数值，通过对已知等式变形直接代入化简后的CD表达式，大幅简化运算，帮助学生理解整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
12. 小敏和小华对一些四位数$\overline{abcd}$（$a,b,c,d$均为不超过9的正整数）进行了观察、猜想，请帮助他们一起完成探究.
(1) 这个四位数可用含 $a,b,c,d$ 的代数式表示为
(2) 小敏尝试将一些四位数倒排后，再与原数相加，发现和都为 11 的倍数.
如：$1\ 234+4\ 321=5\ 555=505×11$，
$4\ 258+8\ 524=12\ 782=1\ 162×11$.
请仿照小敏的做法再举一个具体例子：
上述结论对于一般的$(\overline{abcd}+\overline{dcba})$也成立吗？请说明理由.
(3) 小华认为如果一个四位数的四个数字之和为9的倍数，那么这个四位数也为9的倍数.
如：$3\ 231=359×9,4\ 455=495×9$，
$6\ 948=772×9$.
请仿照小华的做法再举一个具体例子：
上述结论对于一般的$\overline{abcd}(a+b+c+d=9k,k$ 是整数)也成立吗？请说明理由.
(1) 这个四位数可用含 $a,b,c,d$ 的代数式表示为
1 000a+100b+10c+d
.(2) 小敏尝试将一些四位数倒排后，再与原数相加，发现和都为 11 的倍数.
如：$1\ 234+4\ 321=5\ 555=505×11$，
$4\ 258+8\ 524=12\ 782=1\ 162×11$.
请仿照小敏的做法再举一个具体例子：
2 345+5 432=7 777=707×11(答案不唯一)
.上述结论对于一般的$(\overline{abcd}+\overline{dcba})$也成立吗？请说明理由.
(3) 小华认为如果一个四位数的四个数字之和为9的倍数，那么这个四位数也为9的倍数.
如：$3\ 231=359×9,4\ 455=495×9$，
$6\ 948=772×9$.
请仿照小华的做法再举一个具体例子：
2 547=283×9(答案不唯一)
.上述结论对于一般的$\overline{abcd}(a+b+c+d=9k,k$ 是整数)也成立吗？请说明理由.
答案
12. 解:(1) $1\ 000a+100b+10c+d$
(2) $2\ 345+5\ 432=7\ 777=707×11$(答案不唯一)
成立.理由如下:
因为 $\overline{abcd}+\overline{dcba}=(1\ 000a+100b+10c+d)+(1\ 000d+100c+10b+a)=1\ 001a+110b+110c+1\ 001d=11(91a+91d+10b+10c)$,而 $91a+91d+10b+10c$ 是正整数,所以 $(\overline{abcd}+\overline{dcba})$ 为11的倍数.
(3) $2\ 547=283×9$(答案不唯一)
成立.理由如下:
因为 $\overline{abcd}=1\ 000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+9k=9(111a+11b+c+k)$,而 $111a+11b+c+k$ 是正整数,所以 $\overline{abcd}$ 为9的倍数.
(2) $2\ 345+5\ 432=7\ 777=707×11$(答案不唯一)
成立.理由如下:
因为 $\overline{abcd}+\overline{dcba}=(1\ 000a+100b+10c+d)+(1\ 000d+100c+10b+a)=1\ 001a+110b+110c+1\ 001d=11(91a+91d+10b+10c)$,而 $91a+91d+10b+10c$ 是正整数,所以 $(\overline{abcd}+\overline{dcba})$ 为11的倍数.
(3) $2\ 547=283×9$(答案不唯一)
成立.理由如下:
因为 $\overline{abcd}=1\ 000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+9k=9(111a+11b+c+k)$,而 $111a+11b+c+k$ 是正整数,所以 $\overline{abcd}$ 为9的倍数.
解析
【分析】
这道题是结合数位意义的整式探究题，解题思路可以分三步梳理：
1. 第(1)问根据数位的计数规则，千位上的数字a代表a个1000，百位b代表b个100，十位c代表c个10，个位d就是d个1，直接把各数位的计数和相加就能得到四位数的代数式。
2. 第(2)问首先举例子，随便选一个四位数，把它倒排得到新四位数，相加验证和是11的倍数即可；要证明一般结论，先把原四位数和倒排后的四位数都用数位代数式展开，合并同类项后提取公因式11，就能说明和是11与正整数的乘积，也就是11的倍数。
3. 第(3)问举例子时，先选四个数字之和是9的倍数的四位数，验证它本身能被9整除即可；证明一般结论时，把四位数的代数式拆成所有数位系数减1之后的部分（也就是999a+99b+9c，这部分显然是9的倍数）加上a+b+c+d，结合已知a+b+c+d=9k，整体提取公因式9，就能证明这个四位数是9的倍数。
【解析】
解：
(1) 根据数位的计数意义，千位数字a对应1000a，百位数字b对应100b，十位数字c对应10c，个位数字d对应d，因此四位数$\overline{abcd}$的代数式表示为$1000a+100b+10c+d$。
(2) 举例：任选一个四位数，例如2345，倒排后为5432，相加得$2345+5432=7777=707×11$，符合要求（答案不唯一）。
结论成立，理由如下：
将$\overline{abcd}$和$\overline{dcba}$分别展开：
$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$，$\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a$
两式相加得：
$\overline{abcd}+\overline{dcba}=(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a)$
$=1001a+110b+110c+1001d$
$=11×91a + 11×10b + 11×10c +11×91d$
$=11(91a+91d+10b+10c)$
因为a,b,c,d都是正整数，所以$91a+91d+10b+10c$是正整数，因此$\overline{abcd}+\overline{dcba}$是11的倍数，结论成立。
(3) 举例：选四个数字之和为9的倍数的四位数，例如2547，数字和2+5+4+7=18是9的倍数，且$2547=283×9$，符合要求（答案不唯一）。
结论成立，理由如下：
将$\overline{abcd}$的代数式拆分变形：
$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$
$=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d$
$=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)$
$=9(111a+11b+c)+9k$
$=9(111a+11b+c+k)$
因为a,b,c,k都是正整数，所以$111a+11b+c+k$是正整数，因此$\overline{abcd}$是9的倍数，结论成立。
【答案】
(1) $1\ 000a+100b+10c+d$
(2) 示例：$2\ 345+5\ 432=7\ 777=707×11$（答案不唯一）；成立，理由见上述解析
(3) 示例：$2\ 547=283×9$（答案不唯一）；成立，理由见上述解析
【知识点】
数位的代数表示，整式因式分解，数的整除判定
【点评】
本题属于整式应用的探究类题型，从特殊实例出发引导学生猜想数的整除规律，再通过代数变形完成一般化证明，既巩固了多位数的数位表示方法，也锻炼了学生从特殊到一般的逻辑推理能力，开放举例的设置能帮助学生直观感知整除性质的特点，是代数运算和初等数论基础结合的典型习题。
【难度系数】
0.6
这道题是结合数位意义的整式探究题，解题思路可以分三步梳理：
1. 第(1)问根据数位的计数规则，千位上的数字a代表a个1000，百位b代表b个100，十位c代表c个10，个位d就是d个1，直接把各数位的计数和相加就能得到四位数的代数式。
2. 第(2)问首先举例子，随便选一个四位数，把它倒排得到新四位数，相加验证和是11的倍数即可；要证明一般结论，先把原四位数和倒排后的四位数都用数位代数式展开，合并同类项后提取公因式11，就能说明和是11与正整数的乘积，也就是11的倍数。
3. 第(3)问举例子时，先选四个数字之和是9的倍数的四位数，验证它本身能被9整除即可；证明一般结论时，把四位数的代数式拆成所有数位系数减1之后的部分（也就是999a+99b+9c，这部分显然是9的倍数）加上a+b+c+d，结合已知a+b+c+d=9k，整体提取公因式9，就能证明这个四位数是9的倍数。
【解析】
解：
(1) 根据数位的计数意义，千位数字a对应1000a，百位数字b对应100b，十位数字c对应10c，个位数字d对应d，因此四位数$\overline{abcd}$的代数式表示为$1000a+100b+10c+d$。
(2) 举例：任选一个四位数，例如2345，倒排后为5432，相加得$2345+5432=7777=707×11$，符合要求（答案不唯一）。
结论成立，理由如下：
将$\overline{abcd}$和$\overline{dcba}$分别展开：
$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$，$\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a$
两式相加得：
$\overline{abcd}+\overline{dcba}=(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a)$
$=1001a+110b+110c+1001d$
$=11×91a + 11×10b + 11×10c +11×91d$
$=11(91a+91d+10b+10c)$
因为a,b,c,d都是正整数，所以$91a+91d+10b+10c$是正整数，因此$\overline{abcd}+\overline{dcba}$是11的倍数，结论成立。
(3) 举例：选四个数字之和为9的倍数的四位数，例如2547，数字和2+5+4+7=18是9的倍数，且$2547=283×9$，符合要求（答案不唯一）。
结论成立，理由如下：
将$\overline{abcd}$的代数式拆分变形：
$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$
$=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d$
$=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)$
$=9(111a+11b+c)+9k$
$=9(111a+11b+c+k)$
因为a,b,c,k都是正整数，所以$111a+11b+c+k$是正整数，因此$\overline{abcd}$是9的倍数，结论成立。
【答案】
(1) $1\ 000a+100b+10c+d$
(2) 示例：$2\ 345+5\ 432=7\ 777=707×11$（答案不唯一）；成立，理由见上述解析
(3) 示例：$2\ 547=283×9$（答案不唯一）；成立，理由见上述解析
【知识点】
数位的代数表示，整式因式分解，数的整除判定
【点评】
本题属于整式应用的探究类题型，从特殊实例出发引导学生猜想数的整除规律，再通过代数变形完成一般化证明，既巩固了多位数的数位表示方法，也锻炼了学生从特殊到一般的逻辑推理能力，开放举例的设置能帮助学生直观感知整除性质的特点，是代数运算和初等数论基础结合的典型习题。
【难度系数】
0.6
