登录
三、解答题
10. 下表是某品牌网约车的收费标准.
例如:乘车里程为 20 km,行车时间 30 min,车费为:$12+2×(20-3)+0.4×(20-10)+0.6×(30-10)=62$(元).
请根据以上信息,回答问题.
(1) 小华家到影院的路程是 9 km,若乘该品牌网约车约需要 15 min,求小华应付车费多少元.
(2) 小华乘该品牌网约车外出,行车里程为$a(a＞10)\mathrm{km}$,行车时间为$b(b＞10)\mathrm{min}$,求小华应付车费多少元(用含$a,b$的代数式表示).
(3) 小华与小明都乘坐该品牌网约车到该市某景点游玩,行车里程分别为17 km,20 km,若汽车在市区内限速40 km/h,小华比小明乘车时间多用了 13 min,请通过计算说明谁付的车费多?
10. 下表是某品牌网约车的收费标准.
例如:乘车里程为 20 km,行车时间 30 min,车费为:$12+2×(20-3)+0.4×(20-10)+0.6×(30-10)=62$(元).
请根据以上信息,回答问题.
(1) 小华家到影院的路程是 9 km,若乘该品牌网约车约需要 15 min,求小华应付车费多少元.
(2) 小华乘该品牌网约车外出,行车里程为$a(a＞10)\mathrm{km}$,行车时间为$b(b＞10)\mathrm{min}$,求小华应付车费多少元(用含$a,b$的代数式表示).
(3) 小华与小明都乘坐该品牌网约车到该市某景点游玩,行车里程分别为17 km,20 km,若汽车在市区内限速40 km/h,小华比小明乘车时间多用了 13 min,请通过计算说明谁付的车费多?
答案
10. 解:(1) $12+2×(9-3)+0.6×(15-10)=27$(元),故小华应付车费 27 元.
(2) $12+2(a-3)+0.4(a-10)+0.6(b-10)=2.4a+0.6b-4$,故小华应付车费$(2.4a+0.6b-4)$元.
(3) $17÷40=\frac{17}{40}(\mathrm{h})＞10\ \mathrm{min}$,所以小华、小明乘车时间均超过 10 min. 设小华的乘车时间为 $b$ min,则小明的乘车时间为$(b-13)\mathrm{min}$.由(2)可得,小华的车费为 $2.4×17+0.6b-4=(36.8+0.6b)$元,小明的车费为 $2.4×20+0.6(b-13)-4=(36.2+0.6b)$元. 因为$36.8+0.6b-(36.2+0.6b)=0.6＞0$,所以$36.8+0.6b＞36.2+0.6b$.
答:小华付的车费多.
(2) $12+2(a-3)+0.4(a-10)+0.6(b-10)=2.4a+0.6b-4$,故小华应付车费$(2.4a+0.6b-4)$元.
(3) $17÷40=\frac{17}{40}(\mathrm{h})＞10\ \mathrm{min}$,所以小华、小明乘车时间均超过 10 min. 设小华的乘车时间为 $b$ min,则小明的乘车时间为$(b-13)\mathrm{min}$.由(2)可得,小华的车费为 $2.4×17+0.6b-4=(36.8+0.6b)$元,小明的车费为 $2.4×20+0.6(b-13)-4=(36.2+0.6b)$元. 因为$36.8+0.6b-(36.2+0.6b)=0.6＞0$,所以$36.8+0.6b＞36.2+0.6b$.
答:小华付的车费多.
解析
【分析】
这是典型的分段计费实际应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：首先判断路程9km＜10km，因此不需要收取远途费，只需将起步费、3km到9km区间的里程费、时长15min超出10min部分的时长费三者相加，即可算出总车费。
2. 第(2)问：已知a＞10，b＞10，说明四个收费项全部满足计费条件，分别列出起步费、超出3km部分的里程费、超出10km部分的远途费、超出10min部分的时长费的表达式，合并同类项化简后就能得到总车费的代数式。
3. 第(3)问：先验证两人的乘车时长都超过10min，符合第(2)问的计费规则，设小华乘车时长为b分钟，用b表示出小明的乘车时长，分别代入第(2)问得到的车费公式，将两人车费作差比较，消去相同的含b的项，无需算出具体时长就能判断车费大小。
【解析】
(1) 拆分各计费项计算：
起步费为12元，
超出3km的里程为9-3=6km，对应里程费：$2×6=12$元，
超出10min的时长为15-10=5min，对应时长费：$0.6×5=3$元，
总车费$=12+12+3=27$元。
(2) 已知$a＞10$，$b＞10$，逐项列计费表达式：
起步费：12元，
超出3km部分的里程费：$2(a-3)$元，
超出10km部分的远途费：$0.4(a-10)$元，
超出10min部分的时长费：$0.6(b-10)$元，
总车费展开化简：
$\begin{aligned}&12 + 2(a-3) + 0.4(a-10) + 0.6(b-10)\\=&12 + 2a -6 + 0.4a -4 + 0.6b -6\\=&2.4a + 0.6b -4\end{aligned}$
即总车费为$(2.4a+0.6b-4)$元。
(3) 先验证时长条件：
按最高限速40km/h计算，小华行驶17km的最短用时为$\frac{17}{40}×60=25.5\ \mathrm{min}＞10\ \mathrm{min}$，小明行驶20km的最短用时为$\frac{20}{40}×60=30\ \mathrm{min}＞10\ \mathrm{min}$，两人时长均超过10min，符合第(2)问的计费规则。
设小华的乘车时间为$b\ \mathrm{min}$，则小明的乘车时间为$(b-13)\ \mathrm{min}$：
小华的车费：$2.4×17 + 0.6b -4 = 36.8 + 0.6b$元，
小明的车费：$2.4×20 + 0.6(b-13) -4 = 36.2 + 0.6b$元，
两车费作差：$(36.8 + 0.6b) - (36.2 + 0.6b) = 0.6＞0$，因此小华的车费更高。
【答案】
(1) 小华应付车费27元；
(2) 小华应付车费$(2.4a+0.6b-4)$元；
(3) 小华付的车费多。
【知识点】
分段计费，代数式化简，作差比较大小
【点评】
本题结合网约车计费的真实生活场景，考察对分段收费规则的理解应用，前两问侧重基础计费规则的套用，难度较低；第三问通过设置时长差，引导学生无需计算具体数值，利用代数作差消去公共变量即可完成大小比较，锻炼了学生用代数方法简化实际问题的思维，避免冗余计算。
【难度系数】
0.6
这是典型的分段计费实际应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：首先判断路程9km＜10km，因此不需要收取远途费，只需将起步费、3km到9km区间的里程费、时长15min超出10min部分的时长费三者相加，即可算出总车费。
2. 第(2)问：已知a＞10，b＞10，说明四个收费项全部满足计费条件，分别列出起步费、超出3km部分的里程费、超出10km部分的远途费、超出10min部分的时长费的表达式，合并同类项化简后就能得到总车费的代数式。
3. 第(3)问：先验证两人的乘车时长都超过10min，符合第(2)问的计费规则，设小华乘车时长为b分钟，用b表示出小明的乘车时长，分别代入第(2)问得到的车费公式，将两人车费作差比较，消去相同的含b的项，无需算出具体时长就能判断车费大小。
【解析】
(1) 拆分各计费项计算：
起步费为12元，
超出3km的里程为9-3=6km，对应里程费：$2×6=12$元，
超出10min的时长为15-10=5min，对应时长费：$0.6×5=3$元，
总车费$=12+12+3=27$元。
(2) 已知$a＞10$，$b＞10$，逐项列计费表达式：
起步费：12元，
超出3km部分的里程费：$2(a-3)$元，
超出10km部分的远途费：$0.4(a-10)$元，
超出10min部分的时长费：$0.6(b-10)$元，
总车费展开化简：
$\begin{aligned}&12 + 2(a-3) + 0.4(a-10) + 0.6(b-10)\\=&12 + 2a -6 + 0.4a -4 + 0.6b -6\\=&2.4a + 0.6b -4\end{aligned}$
即总车费为$(2.4a+0.6b-4)$元。
(3) 先验证时长条件：
按最高限速40km/h计算，小华行驶17km的最短用时为$\frac{17}{40}×60=25.5\ \mathrm{min}＞10\ \mathrm{min}$，小明行驶20km的最短用时为$\frac{20}{40}×60=30\ \mathrm{min}＞10\ \mathrm{min}$，两人时长均超过10min，符合第(2)问的计费规则。
设小华的乘车时间为$b\ \mathrm{min}$，则小明的乘车时间为$(b-13)\ \mathrm{min}$：
小华的车费：$2.4×17 + 0.6b -4 = 36.8 + 0.6b$元，
小明的车费：$2.4×20 + 0.6(b-13) -4 = 36.2 + 0.6b$元，
两车费作差：$(36.8 + 0.6b) - (36.2 + 0.6b) = 0.6＞0$，因此小华的车费更高。
【答案】
(1) 小华应付车费27元；
(2) 小华应付车费$(2.4a+0.6b-4)$元；
(3) 小华付的车费多。
【知识点】
分段计费，代数式化简，作差比较大小
【点评】
本题结合网约车计费的真实生活场景，考察对分段收费规则的理解应用，前两问侧重基础计费规则的套用，难度较低；第三问通过设置时长差，引导学生无需计算具体数值，利用代数作差消去公共变量即可完成大小比较，锻炼了学生用代数方法简化实际问题的思维，避免冗余计算。
【难度系数】
0.6
11. 若两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”. 如多项式 $M = 3x^2 - 4x + 7$ 与多项式 $N = -3x^2 + 4x - 4$，$M + N = 3$，$3$是单项式，则$M$与$N$互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为 3；又如多项式 $P = 3x^2 - 3x + 7$ 与多项式 $Q = -3x^2 + 4x - 4$，$P + Q = x + 3$，$x + 3$ 不是单项式，则 $P$与$Q$不是“孪生多项式”.
(1) 分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”. 如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由.
①$5x^2 - 3$ 与 $5x^2 + 2$；
②$ab^2 + a^2b + 1$ 与 $-2a^2b - ab^2 - 1$.
(2) 若 $A = 2x^2 - 2x + 3m$ 与 $B = nx^2 + 4x + 1$ 互为“孪生多项式”，$m$ 和 $n$ 为常数，求 $m + n$ 的值.
(3) 在第(2)问的条件下，若多项式 $C = ax^2 + bx + c$（$a,b,c$ 为常数且 $a + b + c = 10$）与多项式$(A-B)$互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与 $x$ 无关，直接写出满足条件的多项式 $C$.
(1) 分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”. 如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由.
①$5x^2 - 3$ 与 $5x^2 + 2$；
②$ab^2 + a^2b + 1$ 与 $-2a^2b - ab^2 - 1$.
(2) 若 $A = 2x^2 - 2x + 3m$ 与 $B = nx^2 + 4x + 1$ 互为“孪生多项式”，$m$ 和 $n$ 为常数，求 $m + n$ 的值.
(3) 在第(2)问的条件下，若多项式 $C = ax^2 + bx + c$（$a,b,c$ 为常数且 $a + b + c = 10$）与多项式$(A-B)$互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与 $x$ 无关，直接写出满足条件的多项式 $C$.
答案
11. 解:(1) ①组多项式不互为“孪生多项式”.理由如下:因为$(5x^2-3)+(5x^2+2)=5x^2-3+5x^2+2=10x^2-1$,$10x^2-1$ 不是单项式,所以①组多项式不互为“孪生多项式”.
②组多项式互为“孪生多项式”. 因为$(ab^2+a^2b+1)+(-2a^2b-ab^2-1)=ab^2+a^2b+1-2a^2b-ab^2-1=-a^2b$,$-a^2b$ 是单项式,所以②组多项式互为“孪生多项式”,它们的“孪生式”为$-a^2b$.
(2) 因为 $A=2x^2-2x+3m$ 与 $B=nx^2+4x+1$ 互为“孪生多项式”,所以 $A+B=2x^2-2x+3m+nx^2+4x+1=(n+2)x^2+2x+(3m+1)$为单项式,所以 $n+2=0,3m+1=0$.所以 $m=-\frac{1}{3},n=-2$,所以 $m+n=-\frac{7}{3}$.
(3) $C=-4x^2+6x+8$. 提示:因为 $m=-\frac{1}{3},n=-2$,所以 $A=2x^2-2x+3m=2x^2-2x-1$,$B=nx^2+4x+1=-2x^2+4x+1$,所以 $A-B=(2x^2-2x-1)-(-2x^2+4x+1)=4x^2-6x-2$. 因为 $C=ax^2+bx+c$ 与多项式$(A-B)$互为“孪生多项式”,它们的“孪生式”的取值与 $x$ 无关,所以$(A-B)+C=4x^2-6x-2+ax^2+bx+c=(a+4)x^2+(b-6)x+(c-2)$为单项式,且该单项式为常数,所以 $a+4=0,b-6=0$,所以 $a=-4,b=6$,因为 $a+b+c=10$,所以 $c=8$,所以$C=-4x^2+6x+8$.
②组多项式互为“孪生多项式”. 因为$(ab^2+a^2b+1)+(-2a^2b-ab^2-1)=ab^2+a^2b+1-2a^2b-ab^2-1=-a^2b$,$-a^2b$ 是单项式,所以②组多项式互为“孪生多项式”,它们的“孪生式”为$-a^2b$.
(2) 因为 $A=2x^2-2x+3m$ 与 $B=nx^2+4x+1$ 互为“孪生多项式”,所以 $A+B=2x^2-2x+3m+nx^2+4x+1=(n+2)x^2+2x+(3m+1)$为单项式,所以 $n+2=0,3m+1=0$.所以 $m=-\frac{1}{3},n=-2$,所以 $m+n=-\frac{7}{3}$.
(3) $C=-4x^2+6x+8$. 提示:因为 $m=-\frac{1}{3},n=-2$,所以 $A=2x^2-2x+3m=2x^2-2x-1$,$B=nx^2+4x+1=-2x^2+4x+1$,所以 $A-B=(2x^2-2x-1)-(-2x^2+4x+1)=4x^2-6x-2$. 因为 $C=ax^2+bx+c$ 与多项式$(A-B)$互为“孪生多项式”,它们的“孪生式”的取值与 $x$ 无关,所以$(A-B)+C=4x^2-6x-2+ax^2+bx+c=(a+4)x^2+(b-6)x+(c-2)$为单项式,且该单项式为常数,所以 $a+4=0,b-6=0$,所以 $a=-4,b=6$,因为 $a+b+c=10$,所以 $c=8$,所以$C=-4x^2+6x+8$.
解析
【分析】
这是一道整式加减背景下的新定义题型，解题核心是先准确理解“孪生多项式”的定义：两个多项式相加的结果为单项式，二者就互为孪生多项式，相加得到的单项式就是孪生式。解题思路分步推进：1. 第(1)问直接把每组的两个多项式相加，合并同类项后判断结果是否为单项式，符合定义就给出孪生式，不符合就说明理由；2. 第(2)问先把A和B相加合并同类项，得到的和必须是单项式，观察合并后的式子，一次项系数是2不可能为0，因此只能让二次项系数、常数项的系数都为0，剩余的一次项就是单项式，据此求出m、n的值，再计算m+n；3. 第(3)问先代入第(2)问求出的m、n算出A和B，再计算A-B，结合“孪生式取值与x无关”的条件，说明相加后的结果是常数（所有含x的项系数都为0），先求出a、b，再代入a+b+c=10算出c，就能得到多项式C。
【解析】
(1) ① 计算两组多项式的和：
$(5x^2 - 3) + (5x^2 + 2) = 5x^2 - 3 + 5x^2 + 2 = 10x^2 - 1$
$10x^2 - 1$含有两项，不是单项式，因此这组多项式不互为“孪生多项式”。
② 计算两组多项式的和：
$(ab^2 + a^2b + 1) + (-2a^2b - ab^2 - 1) = ab^2 + a^2b + 1 - 2a^2b - ab^2 - 1 = -a^2b$
$-a^2b$是数字与字母的乘积，属于单项式，因此这组多项式互为“孪生多项式”。
(2) 先计算A+B并合并同类项：
$A+B = (2x^2 - 2x + 3m) + (nx^2 + 4x + 1) = (2+n)x^2 + 2x + (3m+1)$
因为A、B互为孪生多项式，因此上述结果为单项式，由于一次项系数为2≠0，要让结果为单项式，必须让二次项系数、常数项的系数都为0：
即 $\begin{cases}n+2=0 \\ 3m+1=0\end{cases}$
解得：$n=-2$，$m=-\frac{1}{3}$
因此 $m+n = -\frac{1}{3} + (-2) = -\frac{7}{3}$
(3) 代入$m=-\frac{1}{3}$，$n=-2$，得：
$A=2x^2 - 2x + 3×(-\frac{1}{3}) = 2x^2 - 2x -1$
$B=-2x^2 +4x +1$
计算$A-B$：
$A-B=(2x^2 -2x -1) - (-2x^2 +4x +1) = 4x^2 -6x -2$
已知C与A-B互为孪生多项式，且孪生式与x无关，说明二者相加的结果是常数，所有含x的项系数为0：
$(A-B)+C = (4x^2 -6x -2) + (ax^2 +bx +c) = (a+4)x^2 + (b-6)x + (c-2)$
令含x的项系数为0：
$a+4=0$，$b-6=0$，解得$a=-4$，$b=6$
又已知$a+b+c=10$，代入得$-4+6+c=10$，解得$c=8$
因此多项式C为$-4x^2 +6x +8$
【答案】
(1) ① 不互为“孪生多项式”，理由见解析；② 互为“孪生多项式”，孪生式为$-a^2b$；(2) $m+n=-\frac{7}{3}$；(3) $C=-4x^2+6x+8$
【知识点】
新定义运算，合并同类项，单项式定义
【点评】
本题属于整式加减的创新题型，核心考点是合并同类项的运算规则，解题的关键是准确理解新定义，结合“单项式仅含一项”“结果与x无关则所有含x项的系数为0”的性质，通过对应项系数为0列等式求解，需要注意不要遗漏隐含条件，避免计算错误。
【难度系数】
0.4
这是一道整式加减背景下的新定义题型，解题核心是先准确理解“孪生多项式”的定义：两个多项式相加的结果为单项式，二者就互为孪生多项式，相加得到的单项式就是孪生式。解题思路分步推进：1. 第(1)问直接把每组的两个多项式相加，合并同类项后判断结果是否为单项式，符合定义就给出孪生式，不符合就说明理由；2. 第(2)问先把A和B相加合并同类项，得到的和必须是单项式，观察合并后的式子，一次项系数是2不可能为0，因此只能让二次项系数、常数项的系数都为0，剩余的一次项就是单项式，据此求出m、n的值，再计算m+n；3. 第(3)问先代入第(2)问求出的m、n算出A和B，再计算A-B，结合“孪生式取值与x无关”的条件，说明相加后的结果是常数（所有含x的项系数都为0），先求出a、b，再代入a+b+c=10算出c，就能得到多项式C。
【解析】
(1) ① 计算两组多项式的和：
$(5x^2 - 3) + (5x^2 + 2) = 5x^2 - 3 + 5x^2 + 2 = 10x^2 - 1$
$10x^2 - 1$含有两项，不是单项式，因此这组多项式不互为“孪生多项式”。
② 计算两组多项式的和：
$(ab^2 + a^2b + 1) + (-2a^2b - ab^2 - 1) = ab^2 + a^2b + 1 - 2a^2b - ab^2 - 1 = -a^2b$
$-a^2b$是数字与字母的乘积，属于单项式，因此这组多项式互为“孪生多项式”。
(2) 先计算A+B并合并同类项：
$A+B = (2x^2 - 2x + 3m) + (nx^2 + 4x + 1) = (2+n)x^2 + 2x + (3m+1)$
因为A、B互为孪生多项式，因此上述结果为单项式，由于一次项系数为2≠0，要让结果为单项式，必须让二次项系数、常数项的系数都为0：
即 $\begin{cases}n+2=0 \\ 3m+1=0\end{cases}$
解得：$n=-2$，$m=-\frac{1}{3}$
因此 $m+n = -\frac{1}{3} + (-2) = -\frac{7}{3}$
(3) 代入$m=-\frac{1}{3}$，$n=-2$，得：
$A=2x^2 - 2x + 3×(-\frac{1}{3}) = 2x^2 - 2x -1$
$B=-2x^2 +4x +1$
计算$A-B$：
$A-B=(2x^2 -2x -1) - (-2x^2 +4x +1) = 4x^2 -6x -2$
已知C与A-B互为孪生多项式，且孪生式与x无关，说明二者相加的结果是常数，所有含x的项系数为0：
$(A-B)+C = (4x^2 -6x -2) + (ax^2 +bx +c) = (a+4)x^2 + (b-6)x + (c-2)$
令含x的项系数为0：
$a+4=0$，$b-6=0$，解得$a=-4$，$b=6$
又已知$a+b+c=10$，代入得$-4+6+c=10$，解得$c=8$
因此多项式C为$-4x^2 +6x +8$
【答案】
(1) ① 不互为“孪生多项式”，理由见解析；② 互为“孪生多项式”，孪生式为$-a^2b$；(2) $m+n=-\frac{7}{3}$；(3) $C=-4x^2+6x+8$
【知识点】
新定义运算，合并同类项，单项式定义
【点评】
本题属于整式加减的创新题型，核心考点是合并同类项的运算规则，解题的关键是准确理解新定义，结合“单项式仅含一项”“结果与x无关则所有含x项的系数为0”的性质，通过对应项系数为0列等式求解，需要注意不要遗漏隐含条件，避免计算错误。
【难度系数】
0.4
