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22.(本题9分)如图所示,已知直线$y=x+3$的图象与$x$轴、$y$轴交于$A,B$两点,直线$l$经过原点,与线段$AB$交于点$C$,把$△ AOB$的面积分为$2:1$的两部分.求直线$l$的函数表达式.
答案
22.【解析】$\because$ 直线$y=x+3$的图象与$x$轴、$y$轴交于A,B两点,
$\therefore$ 点A的坐标为$(-3,0)$,点B的坐标为$(0,3)$.
$\therefore |OA|=3,|OB|=3$.
$\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}· |OA|· |OB|=\dfrac{1}{2}×3×3=\dfrac{9}{2}$.
设直线$l$的函数表达式为$y=kx(k≠0)$.
$\because$ 直线$l$把$△ AOB$的面积分为$2:1$的两部分,直线$l$与线段AB交于点C,
$\therefore$ 分两种情况来讨论:
①当$S_{△ AOC}:S_{△ BOC}=2:1$时,设点C的坐标为$(x_1,y_1)$.
又$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{9}{2}$,
$\therefore S_{△ AOC}=\dfrac{9}{2}×\dfrac{2}{3}=3$,
即$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}· |OA|· |y_1|=\dfrac{1}{2}×3×|y_1|=3$.
$\therefore y_1=\pm2$. 由图示可知取$y_1=2$.
又点C在线段AB上,
$\therefore 2=x_1+3,\therefore x_1=-1$.
$\therefore$ 点C的坐标为$(-1,2)$.
把点C的坐标$(-1,2)$代入$y=kx$中,得$2=-1· k$,
$\therefore k=-2$.
$\therefore$ 直线$l$的函数表达式为$y=-2x$.
②当$S_{△ AOC}:S_{△ BOC}=1:2$时,设点C的坐标为$(x_2,y_2)$.
又$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{9}{2}$,
$\therefore S_{△ AOC}=\dfrac{9}{2}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{2}$,
即$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}· |OA|· |y_2|=\dfrac{1}{2}×3×|y_2|=\dfrac{3}{2}$,
$\therefore y_2=\pm1$,由图示可知取$y_2=1$.
又点C在线段AB上,
$\therefore 1=x_2+3,\therefore x_2=-2$.
$\therefore$ 点C的坐标为$(-2,1)$.
把点C的坐标$(-2,1)$代入$y=kx$中,得$1=-2k$,
$\therefore k=-\dfrac{1}{2}$.
$\therefore$ 直线$l$的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x$.
综上所述,直线$l$的函数表达式为$y=-2x$或$y=-\dfrac{1}{2}x$.
$\therefore$ 点A的坐标为$(-3,0)$,点B的坐标为$(0,3)$.
$\therefore |OA|=3,|OB|=3$.
$\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}· |OA|· |OB|=\dfrac{1}{2}×3×3=\dfrac{9}{2}$.
设直线$l$的函数表达式为$y=kx(k≠0)$.
$\because$ 直线$l$把$△ AOB$的面积分为$2:1$的两部分,直线$l$与线段AB交于点C,
$\therefore$ 分两种情况来讨论:
①当$S_{△ AOC}:S_{△ BOC}=2:1$时,设点C的坐标为$(x_1,y_1)$.
又$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{9}{2}$,
$\therefore S_{△ AOC}=\dfrac{9}{2}×\dfrac{2}{3}=3$,
即$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}· |OA|· |y_1|=\dfrac{1}{2}×3×|y_1|=3$.
$\therefore y_1=\pm2$. 由图示可知取$y_1=2$.
又点C在线段AB上,
$\therefore 2=x_1+3,\therefore x_1=-1$.
$\therefore$ 点C的坐标为$(-1,2)$.
把点C的坐标$(-1,2)$代入$y=kx$中,得$2=-1· k$,
$\therefore k=-2$.
$\therefore$ 直线$l$的函数表达式为$y=-2x$.
②当$S_{△ AOC}:S_{△ BOC}=1:2$时,设点C的坐标为$(x_2,y_2)$.
又$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{9}{2}$,
$\therefore S_{△ AOC}=\dfrac{9}{2}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{2}$,
即$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}· |OA|· |y_2|=\dfrac{1}{2}×3×|y_2|=\dfrac{3}{2}$,
$\therefore y_2=\pm1$,由图示可知取$y_2=1$.
又点C在线段AB上,
$\therefore 1=x_2+3,\therefore x_2=-2$.
$\therefore$ 点C的坐标为$(-2,1)$.
把点C的坐标$(-2,1)$代入$y=kx$中,得$1=-2k$,
$\therefore k=-\dfrac{1}{2}$.
$\therefore$ 直线$l$的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x$.
综上所述,直线$l$的函数表达式为$y=-2x$或$y=-\dfrac{1}{2}x$.
23.(本题12分)一文具店购进甲、乙两种品牌的书包共80个，其进价与售价情况如下表所示.设购进甲品牌书包x个，销售完这80个书包所获得的总利润是y元.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)该文具店是否能获得利润1406元？请说明理由.
(3)若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
(1)求y与x的函数关系式；
(2)该文具店是否能获得利润1406元？请说明理由.
(3)若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
答案
23. (1)甲品牌每个书包的利润为$80-60=20$元,乙品牌每个书包的利润为$72-56=16$元,购进乙品牌书包$(80-x)$个,因此,$y=20x+16(80-x)=4x+1280(0≤ x≤80$,且$x$为整数).
(2)令$y=1406$,代入关系式得$4x+1280=1406$,解得$x=31.5$,$x$不是整数,不符合书包数量为正整数的实际情况,因此不能获得1406元利润.
(3)根据题意得约束条件:$x≤\dfrac{1}{2}(80-x)$,解得$x≤\dfrac{80}{3}\approx26.67$,因此$x$最大取26. 函数$y=4x+1280$中,$k=4＞0$,$y$随$x$增大而增大,因此当$x=26$时利润最大,即甲品牌书包进货26个,乙品牌书包进货$80-26=54$(个);最大利润为$y=4×26+1280=1384$(元).
(2)令$y=1406$,代入关系式得$4x+1280=1406$,解得$x=31.5$,$x$不是整数,不符合书包数量为正整数的实际情况,因此不能获得1406元利润.
(3)根据题意得约束条件:$x≤\dfrac{1}{2}(80-x)$,解得$x≤\dfrac{80}{3}\approx26.67$,因此$x$最大取26. 函数$y=4x+1280$中,$k=4＞0$,$y$随$x$增大而增大,因此当$x=26$时利润最大,即甲品牌书包进货26个,乙品牌书包进货$80-26=54$(个);最大利润为$y=4×26+1280=1384$(元).
