24. (本题12分)对凸四边形我们不妨约定:若四边形对角线垂直,叫作“垂对”四边形;若四边形对角线相等,叫作“等对”四边形.
(1)判断下列说法是否正确,正确的请在括号内打“√”,错误的打“×”.
①平行四边形一定不是“垂对”四边形. ()
②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形. ()
③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形. ()
(2)如图①,在四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC,AD,BC的垂直平分线恰好交于AB边上一点P,连接AC,BD,求证:四边形ABCD是“等对”四边形.
(3)如图②,在正方形ABCD中,点E、点M分别在边AB,BC上,点F在BC的延长线上,且四边形EMFD是“垂对”四边形,对角线EF,MD相交于点H,EF与边CD交于点N.若CF=AE,BE=3,CN=1,求CM的长.

24. (1)①× ②× ③√
(2)证明:连接PD,PC,如图.$\because PE$是AD的垂直平分线,PF是BC的垂直平分线,
$\therefore PA=PD,PC=PB$,
$\therefore ∠ PAD=∠ PDA,∠ PBC=∠ PCB$,
$\therefore ∠ DPB=2∠ PAD,∠ APC=2∠ PBC$.
$\because ∠ PAD=∠ PBC,\therefore ∠ APC=∠ DPB$,
$\therefore △ APC≌ △ DPB(\mathrm{SAS}),\therefore AC=BD$,即四边形ABCD是“等对”四边形.
(3)$\because$ 四边形ABCD是正方形,
$\therefore AD=CD,∠ A=∠ BCD=∠ ADC=90°$,
$\therefore ∠ DCF=90°,\therefore ∠ A=∠ DCF$.
在$△ ADE$和$△ CDF$中,$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠ A=∠ DCF, \\ AE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌ △ CDF(\mathrm{SAS})$.
$\therefore DE=DF,∠ ADE=∠ CDF,\therefore ∠ EDF=90°$.
根据题意知,$DH⊥ EF,\therefore DH=FH,∠ DHN=∠ FHM=90°,\therefore ∠ FMH+∠ MFH=90°$.
$\because ∠ DCF=90°,∠ DNH=∠ CNF$,
$\therefore ∠ MFH+∠ CNF=∠ MFH+∠ DNH=90°$,
$\therefore ∠ FMH=∠ DNH$.
在$△ FMH$和$△ DNH$中,
$\begin{cases} ∠ FMH=∠ DNH, \\ ∠ FHM=∠ DHN, \\ FH=DH, \end{cases} \therefore △ FMH≌ △ DNH(\mathrm{AAS})$,
$\therefore FM=DN,\therefore CM=FM-CF=DN-AE=CD-CN-AE=BE-CN=3-1=2$.

互动评价
评价 学习时间 作业质量 学习态度 学习效果 我的疑惑
自我评价 对题 错题 □好 □良好 □一般 □好 □良好 □一般
家长评价

解：
自我评价：
学习时间：本次数学自主学习累计用时90分钟
作业质量：对$\boldsymbol{17}$题，错$\boldsymbol{3}$题
学习态度：☑好 □良好 □一般
学习效果：☑良好 □好 □一般
我的疑惑：二次根式化简求值的隐含取值条件容易遗漏，复杂全等三角形证明题的辅助线构造思路不够灵活。
家长评价：
孩子本次假期数学自主练习完成认真，能独立思考解题，主动对照答案订正错题并梳理错因，学习态度端正，整体完成质量较好，后续可针对几何综合类题型多加练习巩固。