1. 如图所示,在平面直角坐标系中,长方形OABC的边OC,OA分别与x轴,y轴重合,已知点A(0,a),C(b,0),且a,b满足关系式$|8 - a| + (b + 6)^2 = 0$,若动点P从点A出发,沿着A−B−C的方向以每秒2个单位长度的速度运动到点C,设点P的运动时间为t.
(1)点B的坐标为;
(2)用含t的代数式表示线段BP的长;
(3)若点D的坐标为(0,2),则在点P的运动过程中,是否存在某一时刻使得$S_{△ BPD} = \frac{1}{4}S_{长方形ABCO}$,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

1.(1)$\because |8-a|+(b+6)^2=0$,
$|8-a|≥0,(b+6)^2≥0$
$\therefore a=8,b=-6$,
$\therefore A(0,8),C(-6,0)$,
$\because$ 四边形 ABCO 是矩形,
$\therefore B(-6,8)$.
(2)当$0≤ t＜3$时,$PB=6-2t$,
当$3≤ t≤7$时,$PB=2t-6$.
(3)解:存在。如图,当点 P 在线段 AB 上时,$\frac{1}{2}×(6-2t)×6=\frac{1}{4}×6×8$,解得$t=1$;
当点 P 在线段 BC 上时,$\frac{1}{2}×(2t-6)×6=\frac{1}{4}×6×8$,解得$t=5$.
综上所述,满足条件的 t 的值为 1 或 5。

2. 问题背景
(1)已知点$A(1,2),B(3,2),C(1,-1),D(-3,-3)$,在平面直角坐标系中描出这几个点,分别找到线段$AB,CD$的中点$P_1,P_2$,并写出点$P_1,P_2$的坐标；
探究发现
(2)根据(1)可发现:若线段的两个端点的坐标分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$,则线段中点的坐标为；
拓展应用
(3)利用上述规律解决下列问题.已知三个点$E(-1,2),F(3,1),G(1,4)$,第四个点$H(x,y)$与点$E,F,G$中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合,求点$H$的坐标.

2.(1)图略.$P_1(2,2),P_2(-1,-2)$.
(2)$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
所以线段 EF,FG,EG 的中点的坐标分别为$(1,\frac{3}{2}),(2,\frac{5}{2}),(0,3)$.
(3)分以下三种情况：
①若线段 HG 的中点与线段 EF 的中点重合，
则$\frac{x+1}{2}=1,\frac{y+4}{2}=\frac{3}{2}$，
解得$x=1,y=-1$,故$H(1,-1)$；
②若线段 EH 的中点与线段 FG 的中点重合，
则$\frac{-1+x}{2}=2,\frac{2+y}{2}=\frac{5}{2}$，
解得$x=5,y=3$,故$H(5,3)$；
③若线段 FH 的中点与线段 EG 的中点重合，
则$\frac{3+x}{2}=0,\frac{1+y}{2}=3$，
解得$x=-3,y=5$,故$H(-3,5)$.
综上所述,点 H 的坐标为$(1,-1),(5,3),(-3,5)$.