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17.(8分)计算:
(1)$2^{-1}+(π-3.14)^{0}+(-1)^{2018}$；
(2)$(a+1)(a-3)-(a-1)^{2}$。
(1)$2^{-1}+(π-3.14)^{0}+(-1)^{2018}$；
(2)$(a+1)(a-3)-(a-1)^{2}$。
答案
(1)原式=$\frac{1}{2}+1+1=\frac{5}{2}$。
(2)原式=$a^2-3a+a-3-(a^2-2a+1)=a^2-3a+a-3-a^2+2a-1=-4$。
(2)原式=$a^2-3a+a-3-(a^2-2a+1)=a^2-3a+a-3-a^2+2a-1=-4$。
解析
【分析】
本题考查指数运算与整式运算的基础计算，需掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方的运算法则，以及多项式乘法、完全平方公式的应用。第(1)小题先根据各运算法则计算每一项的值，再求和；第(2)小题先分别展开多项式乘法和完全平方，再去括号合并同类项即可。
【解析】
(1) 根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$2^{-1}=\frac{1}{2}$；根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，得$(π-3.14)^0=1$；根据乘方的意义，$(-1)$的偶次幂为1，得$(-1)^{2018}=1$。
原式=$\frac{1}{2}+1+1=\frac{5}{2}$。
(2) 先利用多项式乘多项式法则计算$(a+1)(a-3)=a^2 -3a +a -3=a^2 -2a -3$；再利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$计算$(a-1)^2=a^2 -2a +1$；去括号得：
原式=$a^2 -2a -3 - (a^2 -2a +1)=a^2 -2a -3 -a^2 +2a -1$；
合并同类项得：$(a^2 -a^2)+(-2a +2a)+(-3 -1)= -4$。
【答案】
(1)$\frac{5}{2}$；(2)$-4$
【知识点】
负整数指数幂、零指数幂、整式的混合运算
【点评】
本题为代数基础计算题，考查核心运算法则的应用，难度不大，需注意运算时符号的处理和公式的正确使用，是初中代数运算的重点内容。
【难度系数】
0.7
本题考查指数运算与整式运算的基础计算，需掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方的运算法则，以及多项式乘法、完全平方公式的应用。第(1)小题先根据各运算法则计算每一项的值，再求和；第(2)小题先分别展开多项式乘法和完全平方，再去括号合并同类项即可。
【解析】
(1) 根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$2^{-1}=\frac{1}{2}$；根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，得$(π-3.14)^0=1$；根据乘方的意义，$(-1)$的偶次幂为1，得$(-1)^{2018}=1$。
原式=$\frac{1}{2}+1+1=\frac{5}{2}$。
(2) 先利用多项式乘多项式法则计算$(a+1)(a-3)=a^2 -3a +a -3=a^2 -2a -3$；再利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$计算$(a-1)^2=a^2 -2a +1$；去括号得：
原式=$a^2 -2a -3 - (a^2 -2a +1)=a^2 -2a -3 -a^2 +2a -1$；
合并同类项得：$(a^2 -a^2)+(-2a +2a)+(-3 -1)= -4$。
【答案】
(1)$\frac{5}{2}$；(2)$-4$
【知识点】
负整数指数幂、零指数幂、整式的混合运算
【点评】
本题为代数基础计算题，考查核心运算法则的应用，难度不大，需注意运算时符号的处理和公式的正确使用，是初中代数运算的重点内容。
【难度系数】
0.7
18.(8分)解下列方程(组)：
(1)$\begin{cases}x + 3y = 5, \\2x - y = 3;\end{cases}$
(2)$\frac{x}{x - 1} - \frac{4}{x^2 - 1} = 1$。
(1)$\begin{cases}x + 3y = 5, \\2x - y = 3;\end{cases}$
(2)$\frac{x}{x - 1} - \frac{4}{x^2 - 1} = 1$。
答案
(1)$\begin{cases} x+3y=5,① \\ 2x-y=3,② \end{cases}$①+②×3得7x=14,解得x=2,将x=2代入①得2+3y=5,解得y=1,故原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=1。 \end{cases}$
(2)原方程去分母得x(x+1)-4=(x+1)(x-1),整理得x-4=-1,解得x=3,检验:当x=3时,(x+1)(x-1)≠0,故原方程的解为x=3。
(2)原方程去分母得x(x+1)-4=(x+1)(x-1),整理得x-4=-1,解得x=3,检验:当x=3时,(x+1)(x-1)≠0,故原方程的解为x=3。
解析
【分析】
第(1)题是二元一次方程组，采用加减消元法求解：观察方程组中y的系数，将第二个方程乘以3后与第一个方程相加，可消去未知数y，先求出x的值，再代入原方程求出y的值；第(2)题是分式方程，需先确定最简公分母，去分母转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分式分母为0，排除增根。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases}x + 3y = 5,① \\2x - y = 3;②\end{cases}$
将方程②两边乘3得：$6x - 3y = 9$，记为方程③；
①+③得：$7x = 14$，解得$x = 2$；
把$x = 2$代入①得：$2 + 3y = 5$，解得$y = 1$；
故原方程组的解为$\begin{cases} x = 2, \\ y = 1。\end{cases}$
(2) 对于分式方程$\frac{x}{x - 1} - \frac{4}{x^2 - 1} = 1$，
最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同乘该公分母去分母得：
$x(x+1) - 4 = (x+1)(x-1)$；
整理得：$x^2 + x - 4 = x^2 - 1$，移项合并得$x = 3$；
检验：当$x=3$时，$(x+1)(x-1)=8≠0$，故$x=3$是原方程的解；
故原方程的解为$x=3$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=1。\end{cases}$
(2)$x=3$。
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题考查二元一次方程组与分式方程的基础解法，属于常规题型。解二元一次方程组需选对消元法，计算时注意系数变化；解分式方程必须检验，这是避免增根的关键易错点。
【难度系数】
0.6
第(1)题是二元一次方程组，采用加减消元法求解：观察方程组中y的系数，将第二个方程乘以3后与第一个方程相加，可消去未知数y，先求出x的值，再代入原方程求出y的值；第(2)题是分式方程，需先确定最简公分母，去分母转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分式分母为0，排除增根。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases}x + 3y = 5,① \\2x - y = 3;②\end{cases}$
将方程②两边乘3得：$6x - 3y = 9$，记为方程③；
①+③得：$7x = 14$，解得$x = 2$；
把$x = 2$代入①得：$2 + 3y = 5$，解得$y = 1$；
故原方程组的解为$\begin{cases} x = 2, \\ y = 1。\end{cases}$
(2) 对于分式方程$\frac{x}{x - 1} - \frac{4}{x^2 - 1} = 1$，
最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同乘该公分母去分母得：
$x(x+1) - 4 = (x+1)(x-1)$；
整理得：$x^2 + x - 4 = x^2 - 1$，移项合并得$x = 3$；
检验：当$x=3$时，$(x+1)(x-1)=8≠0$，故$x=3$是原方程的解；
故原方程的解为$x=3$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=1。\end{cases}$
(2)$x=3$。
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题考查二元一次方程组与分式方程的基础解法，属于常规题型。解二元一次方程组需选对消元法，计算时注意系数变化；解分式方程必须检验，这是避免增根的关键易错点。
【难度系数】
0.6
19.(8分)先化简:$(1-\dfrac{1}{a+2})÷\dfrac{a^2-1}{(a+2)^2}$,再从$-2,-1,0,1$中选一个数代入求值。
答案
原式=$(\frac{a+2}{a+2}-\frac{1}{a+2})·\frac{(a+2)^2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a+1}{a+2}·\frac{(a+2)^2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a+2}{a-1}$,因为a+2≠0,a+1≠0,a-1≠0,所以a≠-2,-1,1,所以当a=0时,原式=-2。
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先计算括号内的分式减法，通过通分合并分子；再将除法转化为乘法，对分子分母的多项式因式分解后进行约分，得到最简分式；接着根据分式有意义的条件，确定a的取值范围，排除使原式分母为0的数；最后从给定的数中选取符合条件的a值代入最简式计算结果。
【解析】
原式$=(\dfrac{a+2}{a+2}-\dfrac{1}{a+2})÷\dfrac{a^2-1}{(a+2)^2}$
$=\dfrac{a+2-1}{a+2}×\dfrac{(a+2)^2}{(a+1)(a-1)}$（注：$a^2-1=(a+1)(a-1)$）
$=\dfrac{a+1}{a+2}×\dfrac{(a+2)^2}{(a+1)(a-1)}$
约分后得：$\dfrac{a+2}{a-1}$
根据分式有意义的条件，分母不能为0，因此$a+2≠0$，$a+1≠0$，$a-1≠0$，即$a≠-2,-1,1$，故只能选取$a=0$代入。
当$a=0$时，原式$=\dfrac{0+2}{0-1}=-2$
【答案】
化简结果为$\dfrac{a+2}{a-1}$，当$a=0$时，原式的值为$-2$
【知识点】
分式的化简、分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式的通分、因式分解、约分及分式有意义的条件，解题时需注意：一是运算顺序，先算括号内再算除法；二是取值时必须保证原式中所有分母不为0，避免代入使原式无意义的数值。
【难度系数】
0.7
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先计算括号内的分式减法，通过通分合并分子；再将除法转化为乘法，对分子分母的多项式因式分解后进行约分，得到最简分式；接着根据分式有意义的条件，确定a的取值范围，排除使原式分母为0的数；最后从给定的数中选取符合条件的a值代入最简式计算结果。
【解析】
原式$=(\dfrac{a+2}{a+2}-\dfrac{1}{a+2})÷\dfrac{a^2-1}{(a+2)^2}$
$=\dfrac{a+2-1}{a+2}×\dfrac{(a+2)^2}{(a+1)(a-1)}$（注：$a^2-1=(a+1)(a-1)$）
$=\dfrac{a+1}{a+2}×\dfrac{(a+2)^2}{(a+1)(a-1)}$
约分后得：$\dfrac{a+2}{a-1}$
根据分式有意义的条件，分母不能为0，因此$a+2≠0$，$a+1≠0$，$a-1≠0$，即$a≠-2,-1,1$，故只能选取$a=0$代入。
当$a=0$时，原式$=\dfrac{0+2}{0-1}=-2$
【答案】
化简结果为$\dfrac{a+2}{a-1}$，当$a=0$时，原式的值为$-2$
【知识点】
分式的化简、分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式的通分、因式分解、约分及分式有意义的条件，解题时需注意：一是运算顺序，先算括号内再算除法；二是取值时必须保证原式中所有分母不为0，避免代入使原式无意义的数值。
【难度系数】
0.7
20.(8分)杨梅种植户小张为了分析果园中杨梅的产量和品质,从果园中随机选择果树并随机采摘了50粒成熟杨梅,称出每粒杨梅的质量(精确到1克),形成如下不完整的统计图表:
每粒杨梅质量/克
15.5～19.5
19.5～23.5
23.5～27.5
27.5～31.5
31.5～35.5
35.5～39.5
杨梅粒数/粒
2
7
15
12
4
(1)统计表中数据的组距是
(2)请补全下面的直方图。
(3)这50粒杨梅的平均质量约28克/粒,质量不少于32克的杨梅的平均质量约为35克/粒。小张的果园预计今年能收获成熟杨梅2000千克,请估计他的果园能收获“特等杨梅”(每粒杨梅质量不少于32克)多少千克?
每粒杨梅质量/克
15.5～19.5
19.5～23.5
23.5～27.5
27.5～31.5
31.5～35.5
35.5～39.5
杨梅粒数/粒
2
7
15
12
4
(1)统计表中数据的组距是
4
。(2)请补全下面的直方图。
(3)这50粒杨梅的平均质量约28克/粒,质量不少于32克的杨梅的平均质量约为35克/粒。小张的果园预计今年能收获成熟杨梅2000千克,请估计他的果园能收获“特等杨梅”(每粒杨梅质量不少于32克)多少千克?
答案
(1)4
(2)31.5~35.5的数量为50-(2+7+15+12+4)=10(粒),补全图形如下:
(3)$2000×\frac{14×35}{50×28}=700$(千克)。答:估计他的果园能收获“特等杨梅”(每粒杨梅质量不少于32克)700千克。
解析
【分析】
首先，第一问求组距，组距是每组数据上限与下限的差值，直接计算即可；第二问补全直方图，需根据总粒数减去已知各组粒数算出缺失组的粒数，再补画对应矩形；第三问估计特等杨梅产量，先确定特等杨梅对应的组，计算其总质量占50粒杨梅总质量的比例，再乘以果园总产量即可。
【解析】
(1) 组距计算：每组上限减下限，如19.5 - 15.5 = 4，因此组距为4。
(2) 计算缺失组（31.5~35.5）的粒数：总粒数为50，已知各组粒数和为2+7+15+12+4=40，故缺失组粒数为50-40=10粒，据此补全直方图（对应31.5~35.5的矩形高度为10）。
(3) 特等杨梅是每粒质量不少于32克，对应组为31.5~35.5和35.5~39.5，两组总粒数为10+4=14粒。50粒杨梅总质量为50×28克，特等杨梅总质量为14×35克，特等杨梅占50粒总质量的比例为$\frac{14×35}{50×28}$，则果园特等杨梅产量为$2000×\frac{14×35}{50×28}=700$千克。
【答案】
(1)4
(2)31.5~35.5的数量为10粒，补全图形如下:
(3)700千克
【知识点】
组距计算、频数分布直方图、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计基础知识点，涵盖组距计算、频数补全、用样本估计总体，是统计部分的常规题型，需掌握对应计算方法。
【难度系数】
0.5
首先，第一问求组距，组距是每组数据上限与下限的差值，直接计算即可；第二问补全直方图，需根据总粒数减去已知各组粒数算出缺失组的粒数，再补画对应矩形；第三问估计特等杨梅产量，先确定特等杨梅对应的组，计算其总质量占50粒杨梅总质量的比例，再乘以果园总产量即可。
【解析】
(1) 组距计算：每组上限减下限，如19.5 - 15.5 = 4，因此组距为4。
(2) 计算缺失组（31.5~35.5）的粒数：总粒数为50，已知各组粒数和为2+7+15+12+4=40，故缺失组粒数为50-40=10粒，据此补全直方图（对应31.5~35.5的矩形高度为10）。
(3) 特等杨梅是每粒质量不少于32克，对应组为31.5~35.5和35.5~39.5，两组总粒数为10+4=14粒。50粒杨梅总质量为50×28克，特等杨梅总质量为14×35克，特等杨梅占50粒总质量的比例为$\frac{14×35}{50×28}$，则果园特等杨梅产量为$2000×\frac{14×35}{50×28}=700$千克。
【答案】
(1)4
(2)31.5~35.5的数量为10粒，补全图形如下:
(3)700千克
【知识点】
组距计算、频数分布直方图、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计基础知识点，涵盖组距计算、频数补全、用样本估计总体，是统计部分的常规题型，需掌握对应计算方法。
【难度系数】
0.5
