8.多项式 $ x^2 - x - 6 $ 因式分解的正确结果是………………（）

A.$ x^2 - x - 6 = x(x - 1) - 6 $
B.$ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) $
C.$ x^2 - x - 6 = (x + 3)(x - 2) $
D.$ x^2 - x - 6 = (x - 6)(x + 1) $

B

【分析】本题考查二次三项式的因式分解，需利用十字相乘法：对于形如$x^2 + px + q$的多项式，若能找到两个数$m$、$n$，使得$m · n = q$且$m + n = p$，则可分解为$(x + m)(x + n)$。本题中多项式为$x^2 - x -6$，对应$p=-1$，$q=-6$，需找到乘积为$-6$且和为$-1$的两个数，据此判断选项。
【解析】对多项式$x^2 - x -6$因式分解：
根据十字相乘法，寻找两个数，乘积为$-6$，和为$-1$，这两个数是$-3$和$2$，因此：
$x^2 - x -6 = (x - 3)(x + 2)$；
逐一分析选项：
A选项右边是整式的差，不是乘积形式，不符合因式分解定义，错误；
B选项分解结果正确；
C选项展开为$x^2 + x -6$，与原式不符，错误；
D选项展开为$x^2 -5x -6$，与原式不符，错误。
【答案】B
【知识点】多项式因式分解、十字相乘法
【点评】本题是因式分解的基础题型，核心考查十字相乘法的应用，需牢记因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，避免非乘积形式的错误。
【难度系数】0.7

9.某校准备开展防溺水知识竞赛,用1500元经费购买甲、乙两类奖品共30件,且经费全部用完。已知奖品甲的单价与奖品乙的单价之比为2:3,购买奖品甲用了600元。为了求出购买的这两种奖品的单价,小齐列出方程“$2×\frac{1500-600}{30-x}=3×\frac{600}{x}$”,则他所列方程中的$x$表示的意义为 ……………………（）

A.奖品甲的件数
B.奖品甲的单价
C.奖品乙的件数
D.奖品乙的单价

A 解析:设奖品甲的件数是x,则奖品乙的件数是(30-x),根据题意得$2×\frac{1500-600}{30-x}=3×\frac{600}{x}$。由题意以及所列方程得,方程中的x表示的意义为奖品甲的件数。故选A。

【分析】要确定方程中x的意义，需结合单价、数量、总价的关系，以及题目给出的甲乙单价比分析：首先，甲的费用为600元，总经费1500元，故乙的费用为1500-600=900元；总件数30件，若x为某类奖品的件数，则另一类件数为30-x。根据“单价=总价÷数量”，$\frac{600}{x}$是甲的单价，$\frac{900}{30-x}$是乙的单价；结合甲乙单价比2:3，可推导方程结构，进而判断x的意义。
【解析】1. 计算乙的费用：总经费1500元，甲用600元，因此乙的费用为$1500-600=900$元；2. 明确单价公式：单价=总价÷数量；3. 拆解方程各部分：方程中$\frac{600}{x}$是甲的总价除以x，即甲的单价；$\frac{1500-600}{30-x}=\frac{900}{30-x}$是乙的总价除以(30-x)，即乙的单价；4. 结合单比关系：已知甲、乙单价比为2:3，即$\frac{甲单价}{乙单价}=\frac{2}{3}$，交叉相乘得$3×甲单价=2×乙单价$，代入单价表达式后与题目给出的方程完全一致，因此x表示奖品甲的件数。
【答案】A
【知识点】分式方程的应用、单价数量总价关系
【点评】本题考查分式方程实际应用中未知数的意义，核心是理清单价、数量、总价的关系，结合比例分析方程结构，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6

10. 在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，AC=5，P是线段AC上的动点，E，F分别是边AB，CD上的动点，则$PE+PF$的最小值是 ……………………（）

A.4
B.5
C.7
D.8

A 解析:因为P是线段AC上的动点,E,F分别是边AB,CD上的动点,所以当E,P,F三点在同一条直线上,且EF⊥AB时,PE+PF的值最小,因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠BCD=90°,因为∠BEF=90°,所以四边形BCFE是矩形,所以EF=BC=4,所以PE+PF的最小值是4,故选A。

【分析】
本题是求线段和的最小值问题，核心思路是利用“两点之间线段最短”，结合长方形的性质，找到使PE+PF最小的位置：当E、P、F三点共线且EF垂直于AB时，PE+PF的和最小，此时可通过长方形的性质转化线段长度，进而求出最小值。
【解析】
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB//CD，∠B=∠BCD=90°。
要使PE+PF的值最小，根据“两点之间线段最短”，当E、P、F三点在同一条直线上，且EF⊥AB时，PE+PF的和最小（此时P为EF与AC的交点，PE与PF在同一直线上，和为EF的长度）。
∵EF⊥AB，AB//CD，
∴EF⊥CD，即∠BEF=90°，
结合∠B=∠BCD=90°，可知四边形BCFE是矩形，
∴EF=BC。
已知BC=4，因此PE+PF的最小值为4，故选A。
【答案】
A
【知识点】
长方形性质、最短路径问题
【点评】
本题结合长方形的性质考查最短路径的应用，关键是找到使PE+PF最小的线段EF，利用矩形对边相等的性质转化线段长度，属于基础几何应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

11. 因式分解：$a^2 - 9 =$ 。

(a+3)(a-3)

【分析】观察式子$a^2 - 9$，它符合平方差公式的结构特征（两个数的平方差），因此可运用平方差公式进行因式分解。
【解析】根据平方差公式$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，其中$x=a$，$y=3$（因为$9=3^2$），代入得：$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a + 3)(a - 3)$。
【答案】(a+3)(a-3)
【知识点】因式分解、平方差公式
【点评】本题直接考查平方差公式的应用，属于因式分解的基础题型，只需准确识别公式结构即可快速求解。
【难度系数】0.9

12.如图是调查某班学生“最喜欢球类运动类型”所得数据的扇形统计图，其中“排球”对应的扇形圆心角度数为度。

36

【分析】
要计算排球对应的扇形圆心角度数，需利用扇形统计图的核心特征：整个圆的圆心角为360°，各部分占总体的百分比之和为1。先求出排球所占的百分比，再用360°乘以该百分比，即可得到排球对应的圆心角度数。
【解析】
1. 计算排球所占的百分比：
总体百分比为1（即100%），因此排球的百分比 = 1 - 足球的百分比 - 篮球的百分比 - 乒乓球的百分比 = 1 - 40% - 30% - 20% = 10%。
2. 计算排球对应的圆心角度数：
扇形圆心角总和为360°，所以排球的圆心角度数 = 360° × 10% = 36°。
【答案】
36
【知识点】
扇形统计图、圆心角计算
【点评】
本题是扇形统计图的基础应用题，核心是掌握“圆心角=360°×对应部分百分比”的关系，计算过程简单，属于易得分题型。
【难度系数】
0.8

13. 已知$\begin{cases} x + 2y = 4, \\ 2x + y = 2, \end{cases}$则$x + y = \underline{\hspace{5em}}$。

2

【分析】这道题要求$x+y$的值，无需分别求出$x$和$y$的具体值，可利用整体思想，将方程组的两个方程直接相加，简化计算过程，快速得到结果。
【解析】将方程组中两个方程的左右两边分别相加：
$(x + 2y) + (2x + y) = 4 + 2$
整理得：$3x + 3y = 6$
两边同时除以3，得：$x + y = 2$
【答案】2
【知识点】二元一次方程组的解法、整体思想
【点评】本题属于基础题型，通过整体相加的方法避免了单独求解$x$、$y$的繁琐，体现了代数运算中整体思想的应用，解题思路简洁明了。
【难度系数】0.8

14.如图,将三角形ABC沿着射线BC方向平移,得到三角形DEF。若三角形ABC的周长是19,四边形ABFD的周长是24,则平移的距离是________。

2.5

【分析】
要解决本题，需运用平移的性质：图形平移后，对应点所连的线段长度相等（即平移距离相等），对应边相等。首先明确平移后，AD=BE=CF（平移距离），且AC=DF；再将四边形ABFD的周长用△ABC的周长和平移距离表示，通过建立等式求解平移距离。
【解析】
根据平移的性质，△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，因此：
AD = BE = CF（平移距离），且AC = DF。
已知△ABC的周长为19，即AB + BC + AC = 19。
四边形ABFD的周长 = AB + BF + FD + DA，其中BF = BC + CF，FD = AC，DA = CF，代入得：
四边形ABFD的周长 = AB + (BC + CF) + AC + CF = (AB + BC + AC) + 2CF。
将△ABC的周长代入，结合四边形ABFD周长为24，可得：
19 + 2CF = 24，
解得：2CF = 5，CF = 2.5，即平移的距离为2.5。
【答案】
2.5
【知识点】
平移的性质，周长计算
【点评】
本题考查平移的基本性质，核心是将四边形周长转化为三角形周长与两倍平移距离的和，解题关键是理清各线段间的关系，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

15.已知：$m^2 + n^2 = 2mn$，$m≠0$，$n≠0$，则$\dfrac{(m + n)^2}{mn} =$。

4 解析:因为$m^2 + n^2 = 2mn,m≠0,n≠0$,所以原式=$\frac{m^2+2mn+n^2}{mn}=\frac{2mn+2mn}{mn}=\frac{4mn}{mn}=4$,故答案为4。

【分析】首先，对所求分式的分子$(m+n)^2$利用完全平方公式展开；再结合已知条件$m^2 + n^2 = 2mn$，将展开后的分子中的$m^2 + n^2$替换为$2mn$以简化分子；最后根据$m≠0$、$n≠0$，确定分母$mn≠0$，对化简后的分式约分即可得到结果。
【解析】解：先展开分子：$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，
将已知$m^2 + n^2 = 2mn$代入上式，得：
$m^2 + 2mn + n^2 = 2mn + 2mn = 4mn$，
因此原式$\dfrac{(m + n)^2}{mn} = \dfrac{4mn}{mn}$，
因为$m≠0$，$n≠0$，所以$mn≠0$，约分后结果为$4$。
【答案】4
【知识点】完全平方公式、代数式求值
【点评】本题考查完全平方公式的应用及代数式的化简求值，核心是利用已知条件替换代数式中的项简化计算，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

16.一个大于1的自然数,如果它的因数只有1和它本身,这个自然数叫作质数。如果正整数$a,b,n$满足关系$a^2 = b^n + 225$,其中$b$是质数,那么$b$的值为________。

2或31 解析:因为正整数a,b,n满足关系$a^2=b^n+225$,其中b是质数,所以b=2或b≠2,当b=2时,$2^n=a^2-225=(a+15)(a-15)$,当a=17,n=6满足条件;当b≠2时,$b^n=a^2-225=(a+15)(a-15)$,当a-15=1,即a=16,b=31,n=1满足条件。综上所述,b的值为2或31。故答案为2或31。

【分析】
首先将等式变形为平方差形式：$a^2 - 15^2 = b^n$，即$(a+15)(a-15)=b^n$。因为$b$是质数，所以$b^n$的正因数只能是$b$的幂次，因此$(a+15)$和$(a-15)$均为$b$的幂次，且两者的差为30。通过设幂次参数，结合质数的性质和因数分解，分情况讨论求解$b$的值。
【解析】
已知正整数$a,b,n$满足$a^2 = b^n + 225$，$b$为质数，将等式变形得：
$a^2 - 15^2 = b^n$，利用平方差公式因式分解：
$(a + 15)(a - 15) = b^n$
因为$b$是质数，所以$b^n$的正因数只能是$b$的幂次，设$a -15 = b^k$，$a +15 = b^m$（其中$m ＞ k ≥0$，$m,k$为整数，且$m +k =n$），两式相减得：
$b^m - b^k = 30 \implies b^k (b^{m -k} - 1) = 30$
分情况讨论：
1. 当$k=0$时，$b^0=1$，代入得$b^m -1=30 \implies b^m=31$，31是质数，故$m=1$，$b=31$，此时$n=1$，验证：$a=16$，$16^2 -31^1=256-31=225$，符合条件；
2. 当$k≥1$时，$b^k$是质数$b$的幂次，30的因数中质数幂次有2、3、5：
若$b^k=2$，则$b=2$，代入得$2(2^{m -k}-1)=30 \implies 2^{m -k}=16=2^4$，故$m -k=4$，取$k=1$，$m=5$，$n=6$，验证：$a=17$，$17^2 -2^6=289-64=225$，符合条件；
若$b^k=3$，代入得$3(3^{m -k}-1)=30 \implies 3^{m -k}=11$，11不是3的幂次，无解；
若$b^k=5$，代入得$5(5^{m -k}-1)=30 \implies5^{m -k}=7$，7不是5的幂次，无解；
综上，$b$的值为2或31。
【答案】
2或31
【知识点】
质数的性质、平方差公式、因式分解
【点评】
本题结合质数特性，通过平方差公式变形等式，利用质数幂次的因数分解分情况讨论，是数论常见题型，需掌握因式分解和质数基本性质，分情况时要全面细致。
【难度系数】
0.4