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21.(8分)数学探究
探究主题:月历中的数学
计算
发现
(1)用图2所示的“十”字型框架任意框住月历中的5个数(如图1中的阴影部分)将位置A,B,C,D上的数按顺时针方向依次两两相乘一次,再把它们的积相加,所得的和叫作这个“十”字型框架的“美好数”。尝试计算图1中“十”字型框架的“美好数”:$5×11+11×19+19×13+13×5=$
猜想
说理
(2)移动“十”字型框架,多次尝试可以发现,每个“美好数”都与E位置上的数有关。请设出字母,用数学式子表示你发现的规律,并说明理由。
续表
拓展
研究
(3)在另一张月历中,两个“十”字型框架如图3摆放,两个“十”字型框架E位置上的数分别为$a,b$,若两个“美好数”的差为1280,求$a+b$。
探究主题:月历中的数学
计算
发现
(1)用图2所示的“十”字型框架任意框住月历中的5个数(如图1中的阴影部分)将位置A,B,C,D上的数按顺时针方向依次两两相乘一次,再把它们的积相加,所得的和叫作这个“十”字型框架的“美好数”。尝试计算图1中“十”字型框架的“美好数”:$5×11+11×19+19×13+13×5=$
576
。猜想
说理
(2)移动“十”字型框架,多次尝试可以发现,每个“美好数”都与E位置上的数有关。请设出字母,用数学式子表示你发现的规律,并说明理由。
续表
拓展
研究
(3)在另一张月历中,两个“十”字型框架如图3摆放,两个“十”字型框架E位置上的数分别为$a,b$,若两个“美好数”的差为1280,求$a+b$。
答案
(1)5×11+11×19+19×13+13×5=55+209+247+65=576;故答案为576。
(2)设E位置上的数为x,其余数分别为(x-7),(x-1),(x+7),(x+1),则$(x-7)(x-1)+(x-1)(x+7)+(x+7)(x+1)+(x+1)(x-7)=x^2-8x+7+x^2+6x-7+x^2+8x+7+x^2-6x-7=4x^2$,每个“美好数”都是中间数E的平方的4倍。
(3)因为$4a^2-4b^2=4(a+b)(a-b)=1280$,即$(a+b)(a-b)=320$。因为a-b=10,所以a+b=32。
(2)设E位置上的数为x,其余数分别为(x-7),(x-1),(x+7),(x+1),则$(x-7)(x-1)+(x-1)(x+7)+(x+7)(x+1)+(x+1)(x-7)=x^2-8x+7+x^2+6x-7+x^2+8x+7+x^2-6x-7=4x^2$,每个“美好数”都是中间数E的平方的4倍。
(3)因为$4a^2-4b^2=4(a+b)(a-b)=1280$,即$(a+b)(a-b)=320$。因为a-b=10,所以a+b=32。
解析
【分析】
第(1)问直接计算给定的四个乘积之和即可；第(2)问利用月历中数的排列规律（上下相邻数差7，左右相邻数差1），设中间数E为x，得出A、B、C、D对应的数，再计算两两乘积之和，通过整式化简推导规律；第(3)问利用第(2)问的规律，结合图3中a与b的关系，根据两个美好数的差列方程求解a+b。
【解析】
(1) 计算式子：
$5×11 + 11×19 + 19×13 + 13×5 = 55 + 209 + 247 + 65 = 576$；
(2) 设E位置的数为$x$，根据月历规律，A、B、C、D对应的数为$x-7$、$x-1$、$x+7$、$x+1$，则“美好数”为：
$(x-7)(x-1) + (x-1)(x+7) + (x+7)(x+1) + (x+1)(x-7)$
展开并合并同类项：
$= x^2 -8x +7 + x^2 +6x -7 + x^2 +8x +7 + x^2 -6x -7 = 4x^2$；
即每个“美好数”是E位置数的平方的4倍；
(3) 由第(2)问规律，两个“美好数”为$4a^2$和$4b^2$，根据题意：
$4a^2 - 4b^2 = 1280$，
化简得：$a^2 - b^2 = 320$，
因式分解：$(a - b)(a + b) = 320$，
结合图3得$a - b =10$，代入得：
$10×(a + b) =320$，
解得$a + b =32$；
【答案】
(1) $\boxed{576}$；(2) 每个“美好数”为E位置数的平方的4倍，即$4x^2$（$x$为E位置的数）；(3) $\boxed{32}$；
【知识点】
整式乘法，月历数字规律，代数式化简；
【点评】
本题是结合月历的探究题，考查整式运算与规律探究，需掌握月历中数的排列特点，通过设未知数列式化简找规律，属于中等难度的探究题；
【难度系数】
0.5
第(1)问直接计算给定的四个乘积之和即可；第(2)问利用月历中数的排列规律（上下相邻数差7，左右相邻数差1），设中间数E为x，得出A、B、C、D对应的数，再计算两两乘积之和，通过整式化简推导规律；第(3)问利用第(2)问的规律，结合图3中a与b的关系，根据两个美好数的差列方程求解a+b。
【解析】
(1) 计算式子：
$5×11 + 11×19 + 19×13 + 13×5 = 55 + 209 + 247 + 65 = 576$；
(2) 设E位置的数为$x$，根据月历规律，A、B、C、D对应的数为$x-7$、$x-1$、$x+7$、$x+1$，则“美好数”为：
$(x-7)(x-1) + (x-1)(x+7) + (x+7)(x+1) + (x+1)(x-7)$
展开并合并同类项：
$= x^2 -8x +7 + x^2 +6x -7 + x^2 +8x +7 + x^2 -6x -7 = 4x^2$；
即每个“美好数”是E位置数的平方的4倍；
(3) 由第(2)问规律，两个“美好数”为$4a^2$和$4b^2$，根据题意：
$4a^2 - 4b^2 = 1280$，
化简得：$a^2 - b^2 = 320$，
因式分解：$(a - b)(a + b) = 320$，
结合图3得$a - b =10$，代入得：
$10×(a + b) =320$，
解得$a + b =32$；
【答案】
(1) $\boxed{576}$；(2) 每个“美好数”为E位置数的平方的4倍，即$4x^2$（$x$为E位置的数）；(3) $\boxed{32}$；
【知识点】
整式乘法，月历数字规律，代数式化简；
【点评】
本题是结合月历的探究题，考查整式运算与规律探究，需掌握月历中数的排列特点，通过设未知数列式化简找规律，属于中等难度的探究题；
【难度系数】
0.5
