22.(10分)在生产生活中,经常需要把两种溶液进行混合,得到新的溶液。例如,把咸淡不同的两碗汤混合;在已有盐水中加水配制生理盐水等等。
(1)要用含盐9%的盐水100克加水配制含盐0.9%的生理盐水,需要加水多少克?
(2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合(甲汤比乙汤咸),得到丙汤。
①请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度;
②请设出必要的字母,用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度,通过计算证明①中的结论。

(1)设需要加水x克,根据题意得$100×9\%=0.9\%(100+x)$,解得x=900。答:需要加水900克。
(2)①甲汤最咸,其次丙汤,乙汤最淡;②证明:设甲汤的质量为m克,其中盐的质量为a克,乙汤的质量为n克,其中盐的质量为b克,则丙汤的质量为(m+n)克,其中盐的质量为(a+b)克,根据题意得$\frac{a}{m}-\frac{b}{n}＞0$,所以$\frac{an-bm}{mn}＞0$,因为m＞0,n＞0,所以mn＞0,所以an-bm＞0,所以an＞bm。因为$\frac{a}{m}-\frac{a+b}{m+n}=\frac{a(m+n)-(a+b)m}{m(m+n)}=\frac{am+an-am-bm}{m(m+n)}=\frac{an-bm}{m(m+n)}＞0$,所以$\frac{a}{m}＞\frac{a+b}{m+n}$;因为$\frac{a+b}{m+n}-\frac{b}{n}=\frac{(a+b)n-b(m+n)}{n(m+n)}=\frac{an+bn-bm-bn}{n(m+n)}=\frac{an-bm}{n(m+n)}＞0$,所以$\frac{a+b}{m+n}＞\frac{b}{n}$,所以$\frac{a}{m}＞\frac{a+b}{m+n}＞\frac{b}{n}$,所以甲汤最咸,其次丙汤,乙汤最淡。

【分析】
本题分为两小问，第(1)问是溶液稀释问题，核心是稀释前后盐（溶质）的质量不变，据此列方程求解；第(2)问需结合生活经验判断咸淡，再通过设字母表示浓度，利用浓度公式和代数变形推导证明结论，关键是掌握浓度的计算逻辑（浓度=溶质质量/溶液总质量），并通过不等式比较大小。
【解析】
(1) 设需要加水$ x $克，稀释前盐的质量为$ 100×9\% $克，稀释后盐的质量为$ 0.9\%(100+x) $克，根据溶质质量不变列方程：
$ 100×9\% = 0.9\%(100+x) $
解方程：
$ 9 = 0.9 + 0.009x $
$ 0.009x = 8.1 $
$ x = 900 $
答：需要加水900克。
(2) ① 根据生活经验，甲汤比乙汤咸，混合后的丙汤咸淡介于两者之间，故结论为：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡；
② 证明：设甲汤质量为$ m $克，盐的质量为$ a $克，则甲汤浓度为$ \frac{a}{m} $；乙汤质量为$ n $克，盐的质量为$ b $克，则乙汤浓度为$ \frac{b}{n} $；丙汤质量为$ (m+n) $克，盐总质量为$ (a+b) $克，故丙汤浓度为$ \frac{a+b}{m+n} $。
已知甲汤比乙汤咸，即$ \frac{a}{m} - \frac{b}{n} ＞ 0 $，通分得$ \frac{an - bm}{mn} ＞ 0 $，因$ m＞0 $、$ n＞0 $，故$ mn＞0 $，得$ an - bm ＞ 0 $（即$ an ＞ bm $）。
比较甲汤与丙汤浓度：
$ \frac{a}{m} - \frac{a+b}{m+n} = \frac{a(m+n) - m(a+b)}{m(m+n)} = \frac{an - bm}{m(m+n)} ＞ 0 $，故$ \frac{a}{m} ＞ \frac{a+b}{m+n} $；
比较丙汤与乙汤浓度：
$ \frac{a+b}{m+n} - \frac{b}{n} = \frac{n(a+b) - b(m+n)}{n(m+n)} = \frac{an - bm}{n(m+n)} ＞ 0 $，故$ \frac{a+b}{m+n} ＞ \frac{b}{n} $；
综上，$ \frac{a}{m} ＞ \frac{a+b}{m+n} ＞ \frac{b}{n} $，即甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡，与①结论一致。
【答案】
(1) 需要加水900克；
(2) ① 甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡；② 证明如上，结论同①。
【知识点】
溶液浓度计算、代数式应用、不等式推导
【点评】
本题结合生活实际场景，考查溶液稀释的核心原理和混合溶液的浓度比较，既需联系生活经验，又要求代数推导，体现了跨学科应用，能有效考查学生的逻辑思维能力，难度适中。
【难度系数】
0.5

23.(10分)如图，E是长方形纸条ABCD(对边平行，四个角是直角)的边AD上的一个动点，把长方形纸条ABCD沿着直线BE折叠，则有∠C'BE=∠CBE。
(1)∠FBE与∠FEB相等吗？请说明理由。
(2)连结FD'，若FD'平分∠C'FD，请解答以下问题：
①BE与FD'平行吗？请说明理由；
②∠EBF与∠ED'F相等吗？请说明理由。

(1)∠FBE=∠FEB。理由如下:因为AD//BC,所以∠FEB=∠CBE,由折叠得∠FBE=∠CBE,所以∠FBE=∠FEB。
(2)①BE//FD'。理由如下:因为FD'平分∠C'FD,所以∠D'FC'=∠DFD'=$\frac{1}{2}$∠C'FD,因为∠EBF=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠FBC。因为长方形纸条ABCD对边平行,所以∠FBC=∠C'FD,所以∠EBF=∠D'FC',所以BE//FD';
②∠EBF=∠ED'F。理由如下:因为ED'//BC',所以∠ED'F=∠D'FC',因为∠EBF=∠D'FC',所以∠EBF=∠ED'F。

【分析】
本题是长方形折叠的几何问题，需结合平行线的性质、折叠的性质、角平分线的定义解题。
(1) 要判断∠FBE与∠FEB是否相等，先利用长方形对边平行（AD//BC）得内错角∠FEB=∠CBE，再根据折叠性质得∠FBE=∠CBE，通过等量代换得出结论。
(2) ① 判断BE与FD'是否平行，需找内错角相等：由角平分线定义得FD'平分∠C'FD，结合折叠性质和长方形对边平行的角关系，推出∠EBF=∠D'FC'，从而判定平行。
② 判断∠EBF与∠ED'F是否相等，利用平行线性质得内错角∠ED'F=∠D'FC'，结合①的等量关系，通过等量代换得出结论。
【解析】
(1) ∠FBE=∠FEB，理由如下：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠FEB=∠CBE（两直线平行，内错角相等），
由折叠性质得：∠FBE=∠CBE，
∴ ∠FBE=∠FEB（等量代换）。
(2) ① BE//FD'，理由如下：
∵ FD'平分∠C'FD，
∴ ∠D'FC'=∠DFD'=$\frac{1}{2}$∠C'FD，
由折叠性质得：∠FBE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠FBC，
∵ AD//BC，
∴ ∠FBC=∠C'FD（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠EBF=∠D'FC'，
∴ BE//FD'（内错角相等，两直线平行）。
② ∠EBF=∠ED'F，理由如下：
由折叠性质得：BC'//AD'，即ED'//BC'，
∴ ∠ED'F=∠D'FC'（两直线平行，内错角相等），
由①知∠EBF=∠D'FC'，
∴ ∠EBF=∠ED'F（等量代换）。
【答案】
(1) ∠FBE=∠FEB；(2) ① BE//FD'；② ∠EBF=∠ED'F，理由均见解析。
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查长方形性质、平行线的判定与性质、折叠性质，解题核心是利用折叠前后角相等、平行线的角关系进行等量代换，注重几何逻辑推理，难度适中。
【难度系数】
0.6