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24.(12分)学校要组织七年级学生外出参观科技馆,由8位教师带领165位学生包车出行,每辆汽车至少安排1位教师带队。现有A,B,C三种车型可供选择,这三种车型的每辆可乘坐旅客数和租金如下表:
| | A型车 | B型车 | C型车 |
| --- | --- | --- | --- |
| 每辆车可乘坐旅客数(人) |
| 29 | 19 |
| 每辆车租金(元) | 975 | 870 | 665 |
(1)租用车辆最多不能超过
(2)如果每辆车都坐满,通过计算设计租车方案,使得租车费用最少,并求出最少费用。
| | A型车 | B型车 | C型车 |
| --- | --- | --- | --- |
| 每辆车可乘坐旅客数(人) |
| 29 | 19 || 每辆车租金(元) | 975 | 870 | 665 |
(1)租用车辆最多不能超过
8
辆;最少不能少于 5
辆。(2)如果每辆车都坐满,通过计算设计租车方案,使得租车费用最少,并求出最少费用。
答案
(1)因为每辆汽车至少安排1位教师带队,且共有8位教师,所以租用车辆最多不能超过8辆;因为(8+165)÷39=4(辆)……17(人),4+1=5(辆),所以租用车辆最少不能少于5辆。故答案为8;5。
(2)设租用A型车x辆,B型车y辆,当共租用5辆时,则租用C型车(5-x-y)辆,根据题意得39x+29y+19(5-x-y)=173,化简得10x+5y=39,因为x,y均为非负整数,所以方程无解,舍去;当共租用6辆时,则租用C型车(6-x-y)辆,根据题意得39x+29y+19(6-x-y)=173,化简得20x+10y=59,因为x,y均为非负整数,所以方程无解,舍去;当共租用8辆时,则租用C型车(8-x-y)辆,根据题意得39x+29y+19(8-x-y)=173,化简得20x+10y=21,因为x,y均为非负整数,所以方程无解,舍去;当共租用7辆时,则租用C型车(7-x-y)辆,根据题意得39x+29y+19(7-x-y)=173,化简得2x+y=4,因为x,y均为非负整数,所以$\begin{cases} x=0, \\ y=4 \end{cases}$或$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=2, \\ y=0, \end{cases}$当租用B型车4辆,C型车3辆时,租车费用为870×4+665×3=5475(元);当租用A型车1辆,B型车2辆,C型车4辆时,租车费用为975×1+870×2+665×4=5375(元);当租用A型车2辆,C型车5辆时,租车费用为975×2+665×5=5275(元),因为5475＞5375＞5275,所以最少费用为5275元。答:当租用A型车2辆,C型车5辆时,租车费用最少,最少费用为5275元。
(2)设租用A型车x辆,B型车y辆,当共租用5辆时,则租用C型车(5-x-y)辆,根据题意得39x+29y+19(5-x-y)=173,化简得10x+5y=39,因为x,y均为非负整数,所以方程无解,舍去;当共租用6辆时,则租用C型车(6-x-y)辆,根据题意得39x+29y+19(6-x-y)=173,化简得20x+10y=59,因为x,y均为非负整数,所以方程无解,舍去;当共租用8辆时,则租用C型车(8-x-y)辆,根据题意得39x+29y+19(8-x-y)=173,化简得20x+10y=21,因为x,y均为非负整数,所以方程无解,舍去;当共租用7辆时,则租用C型车(7-x-y)辆,根据题意得39x+29y+19(7-x-y)=173,化简得2x+y=4,因为x,y均为非负整数,所以$\begin{cases} x=0, \\ y=4 \end{cases}$或$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=2, \\ y=0, \end{cases}$当租用B型车4辆,C型车3辆时,租车费用为870×4+665×3=5475(元);当租用A型车1辆,B型车2辆,C型车4辆时,租车费用为975×1+870×2+665×4=5375(元);当租用A型车2辆,C型车5辆时,租车费用为975×2+665×5=5275(元),因为5475＞5375＞5275,所以最少费用为5275元。答:当租用A型车2辆,C型车5辆时,租车费用最少,最少费用为5275元。
解析
【分析】
首先解决第(1)问：租用车辆的最大数量受教师人数限制，每辆车至少安排1位教师，共8位教师，因此最多租用8辆车；最少数量需结合总人数和最大载客车型计算，总人数为教师加学生共8+165=173人，A型车每辆最多载39人，173除以39得商4余17，剩余17人需额外1辆车，故最少租用5辆车。
第(2)问：要使租车费用最少，需先确定车辆总数范围（5到8辆），再设三种车型数量为变量，结合总人数列方程，找出非负整数解，计算各可行方案的费用，比较后得到最少费用的方案。
【解析】
(1) 计算租用车辆的最大和最少数量：
最大数量：每辆车至少安排1位教师，共8位教师，因此最多租用8辆车；
最少数量：总人数为8+165=173人，A型车每辆载客39人，173÷39=4（辆）……17（人），剩余17人需额外1辆车，故最少租用4+1=5辆车。
(2) 设计租车方案并求最少费用：
设租用A型车x辆，B型车y辆，C型车z辆，总人数满足39x+29y+19z=173，且x,y,z为非负整数，车辆总数n=x+y+z，n的范围是5到8。
当n=5时，z=5-x-y，代入总人数方程得：39x+29y+19(5-x-y)=173，化简得10x+5y=39，x,y为非负整数，此方程无解；
当n=6时，z=6-x-y，代入得：39x+29y+19(6-x-y)=173，化简得20x+10y=59，无整数解，舍去；
当n=8时，z=8-x-y，代入得：39x+29y+19(8-x-y)=173，化简得20x+10y=21，无整数解，舍去；
当n=7时，z=7-x-y，代入得：39x+29y+19(7-x-y)=173，化简得2x+y=4，非负整数解为：
① x=0,y=4，则z=7-0-4=3，费用=870×4+665×3=5475元；
② x=1,y=2，则z=7-1-2=4，费用=975×1+870×2+665×4=5375元；
③ x=2,y=0，则z=7-2-0=5，费用=975×2+665×5=5275元；
比较得5275元最小，故最少费用方案为租用A型车2辆，C型车5辆，费用5275元。
【答案】
(1) 8；5
(2) 租用A型车2辆，C型车5辆时租车费用最少，最少费用为5275元
【知识点】
一元一次不等式应用，二元一次方程整数解，方案选择问题
【点评】
本题是结合实际场景的方案优化问题，需同时考虑教师数量、载客量、整数解等限制条件，通过分情况讨论确定可行方案，再计算费用选出最优解，考查学生的逻辑分析与计算能力，解题时需注意变量的非负性和整数要求。
【难度系数】
0.5
首先解决第(1)问：租用车辆的最大数量受教师人数限制，每辆车至少安排1位教师，共8位教师，因此最多租用8辆车；最少数量需结合总人数和最大载客车型计算，总人数为教师加学生共8+165=173人，A型车每辆最多载39人，173除以39得商4余17，剩余17人需额外1辆车，故最少租用5辆车。
第(2)问：要使租车费用最少，需先确定车辆总数范围（5到8辆），再设三种车型数量为变量，结合总人数列方程，找出非负整数解，计算各可行方案的费用，比较后得到最少费用的方案。
【解析】
(1) 计算租用车辆的最大和最少数量：
最大数量：每辆车至少安排1位教师，共8位教师，因此最多租用8辆车；
最少数量：总人数为8+165=173人，A型车每辆载客39人，173÷39=4（辆）……17（人），剩余17人需额外1辆车，故最少租用4+1=5辆车。
(2) 设计租车方案并求最少费用：
设租用A型车x辆，B型车y辆，C型车z辆，总人数满足39x+29y+19z=173，且x,y,z为非负整数，车辆总数n=x+y+z，n的范围是5到8。
当n=5时，z=5-x-y，代入总人数方程得：39x+29y+19(5-x-y)=173，化简得10x+5y=39，x,y为非负整数，此方程无解；
当n=6时，z=6-x-y，代入得：39x+29y+19(6-x-y)=173，化简得20x+10y=59，无整数解，舍去；
当n=8时，z=8-x-y，代入得：39x+29y+19(8-x-y)=173，化简得20x+10y=21，无整数解，舍去；
当n=7时，z=7-x-y，代入得：39x+29y+19(7-x-y)=173，化简得2x+y=4，非负整数解为：
① x=0,y=4，则z=7-0-4=3，费用=870×4+665×3=5475元；
② x=1,y=2，则z=7-1-2=4，费用=975×1+870×2+665×4=5375元；
③ x=2,y=0，则z=7-2-0=5，费用=975×2+665×5=5275元；
比较得5275元最小，故最少费用方案为租用A型车2辆，C型车5辆，费用5275元。
【答案】
(1) 8；5
(2) 租用A型车2辆，C型车5辆时租车费用最少，最少费用为5275元
【知识点】
一元一次不等式应用，二元一次方程整数解，方案选择问题
【点评】
本题是结合实际场景的方案优化问题，需同时考虑教师数量、载客量、整数解等限制条件，通过分情况讨论确定可行方案，再计算费用选出最优解，考查学生的逻辑分析与计算能力，解题时需注意变量的非负性和整数要求。
【难度系数】
0.5
