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23.(8分)如图,AB,CD和EF被BD所截,已知∠1=∠2,EG平分∠AEC交BD于点G。
(1)如图1所示,∠BAE=140°,∠FEG=15°,∠DCE=110°,试判断EF与CD的位置关系并说明理由。
(2)如图2所示,已知AB//CD。
①若∠BAE=35°,∠FEG=30°,求∠C的度数;
②试探索∠BAE,∠FEG与∠C之间的数量关系。
(1)如图1所示,∠BAE=140°,∠FEG=15°,∠DCE=110°,试判断EF与CD的位置关系并说明理由。
(2)如图2所示,已知AB//CD。
①若∠BAE=35°,∠FEG=30°,求∠C的度数;
②试探索∠BAE,∠FEG与∠C之间的数量关系。
答案
23.(1)$EF// CD$。理由如下:因为 $∠1=∠2$,所以 $AB// EF$(同位角相等,两直线平行),所以 $∠AEF+∠BAE=180°$(两直线平行,同旁内角互补)。因为 $∠BAE=140°$,所以 $∠AEF=180°-140°=40°$。因为 $∠FEG=15°$,所以 $∠AEG=40°+15°=55°$。因为 $EG$ 平分 $∠AEC$,所以 $∠CEG=∠AEG=55°$,所以 $∠CEF=∠CEG+∠FEG=70°$。又因为 $∠DCE=110°$,所以 $∠DCE+∠CEF=180°$,所以 $EF// CD$。
(2)①因为 $∠1=∠2$,所以 $AB// EF$,所以 $∠FEA=∠BAE=35°$。因为 $∠FEG=30°$,所以 $∠AEG=65°$。因为 $EG$ 平分 $∠AEC$,所以 $∠CEG=∠AEG=65°$,所以 $∠FEC=95°$。因为 $AB// CD$,$AB// EF$,所以 $EF// CD$,所以 $∠C+∠FEC=180°$,所以 $∠C=85°$。
②证明:因为 $∠1=∠2$,所以 $AB// EF$(同位角相等,两直线平行),所以 $∠BAE=∠FEA$。因为 $EG$ 平分 $∠AEC$,所以$∠GEC=∠AEG=∠FEA+∠FEG$,所以 $∠FEC=∠GEC+∠FEG=∠FEA+2∠FEG=∠BAE+2∠FEG$。因为 $AB// CD$,$AB// EF$,所以 $EF// CD$(平行于同一直线的两直线相互平行),所以 $∠FEC+∠C=180°$(两直线平行,同旁内角互补),所以 $∠BAE+2∠FEG+∠C=180°$。
(2)①因为 $∠1=∠2$,所以 $AB// EF$,所以 $∠FEA=∠BAE=35°$。因为 $∠FEG=30°$,所以 $∠AEG=65°$。因为 $EG$ 平分 $∠AEC$,所以 $∠CEG=∠AEG=65°$,所以 $∠FEC=95°$。因为 $AB// CD$,$AB// EF$,所以 $EF// CD$,所以 $∠C+∠FEC=180°$,所以 $∠C=85°$。
②证明:因为 $∠1=∠2$,所以 $AB// EF$(同位角相等,两直线平行),所以 $∠BAE=∠FEA$。因为 $EG$ 平分 $∠AEC$,所以$∠GEC=∠AEG=∠FEA+∠FEG$,所以 $∠FEC=∠GEC+∠FEG=∠FEA+2∠FEG=∠BAE+2∠FEG$。因为 $AB// CD$,$AB// EF$,所以 $EF// CD$(平行于同一直线的两直线相互平行),所以 $∠FEC+∠C=180°$(两直线平行,同旁内角互补),所以 $∠BAE+2∠FEG+∠C=180°$。
解析
【分析】
要解决这道题，需结合平行线的判定定理、性质定理以及角平分线的定义逐步推导：
1. 对于(1)，先由∠1=∠2判定AB//EF，利用平行线同旁内角互补求出∠AEF，结合∠FEG得到∠AEG，再通过EG平分∠AEC得到∠CEG，进而算出∠CEF，最后根据∠DCE与∠CEF的和判断EF与CD的位置关系；
2. 对于(2)①，先由∠1=∠2得AB//EF，求出∠FEA，结合∠FEG得∠AEG，利用角平分线得∠CEG，算出∠FEC，再由AB//CD推出EF//CD，根据同旁内角互补求∠C；
3. 对于(2)②，通过平行线性质得∠BAE=∠FEA，结合角平分线表示∠FEC，再利用EF//CD的同旁内角互补，推导三个角的数量关系。
【解析】
(1) EF//CD，理由如下：
∵ ∠1=∠2，
∴ AB//EF（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠AEF + ∠BAE = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠BAE=140°，
∴ ∠AEF=180°-140°=40°，
∵ ∠FEG=15°，
∴ ∠AEG=∠AEF + ∠FEG=40°+15°=55°，
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠CEG=∠AEG=55°，
∴ ∠CEF=∠CEG + ∠FEG=55°+15°=70°，
又
∵ ∠DCE=110°，
∴ ∠DCE + ∠CEF=110°+70°=180°，
∴ EF//CD（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) ①
∵ ∠1=∠2，
∴ AB//EF（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠FEA=∠BAE=35°，
∵ ∠FEG=30°，
∴ ∠AEG=∠FEA + ∠FEG=35°+30°=65°，
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠CEG=∠AEG=65°，
∴ ∠FEC=∠CEG + ∠FEG=65°+30°=95°，
∵ AB//CD，AB//EF，
∴ EF//CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴ ∠C + ∠FEC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠C=180°-95°=85°。
② 证明：
∵ ∠1=∠2，
∴ AB//EF（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠BAE=∠FEA（两直线平行，内错角相等），
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠GEC=∠AEG=∠FEA + ∠FEG，
∴ ∠FEC=∠GEC + ∠FEG=∠FEA + 2∠FEG=∠BAE + 2∠FEG，
∵ AB//CD，AB//EF，
∴ EF//CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴ ∠FEC + ∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠BAE + 2∠FEG + ∠C=180°。
【答案】
(1) EF//CD；(2) ① ∠C=85°；② ∠BAE + 2∠FEG + ∠C=180°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，解题需熟练运用相关定理推导角的关系，逻辑要求较高，是几何常见综合题型。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需结合平行线的判定定理、性质定理以及角平分线的定义逐步推导：
1. 对于(1)，先由∠1=∠2判定AB//EF，利用平行线同旁内角互补求出∠AEF，结合∠FEG得到∠AEG，再通过EG平分∠AEC得到∠CEG，进而算出∠CEF，最后根据∠DCE与∠CEF的和判断EF与CD的位置关系；
2. 对于(2)①，先由∠1=∠2得AB//EF，求出∠FEA，结合∠FEG得∠AEG，利用角平分线得∠CEG，算出∠FEC，再由AB//CD推出EF//CD，根据同旁内角互补求∠C；
3. 对于(2)②，通过平行线性质得∠BAE=∠FEA，结合角平分线表示∠FEC，再利用EF//CD的同旁内角互补，推导三个角的数量关系。
【解析】
(1) EF//CD，理由如下：
∵ ∠1=∠2，
∴ AB//EF（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠AEF + ∠BAE = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠BAE=140°，
∴ ∠AEF=180°-140°=40°，
∵ ∠FEG=15°，
∴ ∠AEG=∠AEF + ∠FEG=40°+15°=55°，
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠CEG=∠AEG=55°，
∴ ∠CEF=∠CEG + ∠FEG=55°+15°=70°，
又
∵ ∠DCE=110°，
∴ ∠DCE + ∠CEF=110°+70°=180°，
∴ EF//CD（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) ①
∵ ∠1=∠2，
∴ AB//EF（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠FEA=∠BAE=35°，
∵ ∠FEG=30°，
∴ ∠AEG=∠FEA + ∠FEG=35°+30°=65°，
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠CEG=∠AEG=65°，
∴ ∠FEC=∠CEG + ∠FEG=65°+30°=95°，
∵ AB//CD，AB//EF，
∴ EF//CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴ ∠C + ∠FEC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠C=180°-95°=85°。
② 证明：
∵ ∠1=∠2，
∴ AB//EF（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠BAE=∠FEA（两直线平行，内错角相等），
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠GEC=∠AEG=∠FEA + ∠FEG，
∴ ∠FEC=∠GEC + ∠FEG=∠FEA + 2∠FEG=∠BAE + 2∠FEG，
∵ AB//CD，AB//EF，
∴ EF//CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴ ∠FEC + ∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠BAE + 2∠FEG + ∠C=180°。
【答案】
(1) EF//CD；(2) ① ∠C=85°；② ∠BAE + 2∠FEG + ∠C=180°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，解题需熟练运用相关定理推导角的关系，逻辑要求较高，是几何常见综合题型。
【难度系数】
0.5
