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24.(8分)某工厂需制作如图1所示的竖式与横式两种无盖木箱(单位:cm),制作木箱需要如图2所示的25cm×25cm的正方形木板和25cm×40cm的长方形木板。现工厂采购这两种木板,采购清单如下表。设正方形木板的单价为m元/块,已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍。
采购清单
| 类型 | 单价/(元/块) | 数量/块 | 总价/元 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正方形木板 | m | | 120 |
| 长方形木板 | m+3 | | 300 |
(1)请将表格填写完整(用含m的代数式表示),并求m的值。
(2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱,则两种木箱各做多少个,恰好将木板用完?
(3)该工厂发现有一批尺寸为25cm×280cm的废旧木板,若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板。
①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完(不计损耗);
②因工厂生产需要,还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个,所有废旧木板恰好用完,则这批废旧木板共有多少块?
采购清单
| 类型 | 单价/(元/块) | 数量/块 | 总价/元 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正方形木板 | m | | 120 |
| 长方形木板 | m+3 | | 300 |
(1)请将表格填写完整(用含m的代数式表示),并求m的值。
(2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱,则两种木箱各做多少个,恰好将木板用完?
(3)该工厂发现有一批尺寸为25cm×280cm的废旧木板,若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板。
①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完(不计损耗);
②因工厂生产需要,还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个,所有废旧木板恰好用完,则这批废旧木板共有多少块?
答案
24.(1)填写表格如下:
采购清单
| 类型 | 单价/(元/块) | 数量/块 | 总价/元 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正方形木板 | $m$ | $\dfrac{120}{m}$ | 120 |
| 长方形木板 | $m+3$ | $\dfrac{300}{m+3}$ | 300 |
根据题意,得 $\dfrac{120}{m}×2=\dfrac{300}{m+3}$,解得 $m=12$,经检验,$m=12$ 是原方程的解,且符合题意。即 $m$ 的值为 12。
(2)当 $m=12$ 时,正方形木块的数量为 $\dfrac{120}{m}=10$(块),长方形木块的数量为 $\dfrac{300}{m+3}=20$(块)。设竖式无盖木箱做 $x$ 个,横式无盖木箱做 $y$ 个,根据题意,得 $\begin{cases}x+2y=10,\\4x+3y=20,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2,\\y=4。\end{cases}$ 答:竖式无盖木箱做 2 个,横式无盖木箱做 4 个。
(3)①设每块废旧木板切割正方形木板 $a$ 块,长方形木板$b$ 块,根据题意,得 $25a+40b=280$,$b=7-\dfrac{5}{8}a$,因为 $a,b$ 都是非负整数,所以 $\begin{cases}a=0,\\b=7\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=8,\\b=2。\end{cases}$ 答:有两种切割方式,第一种切割方式为长方形木板 7 块,第二种为正方形木板 8 块和长方形木板 2 块。
②所需正方形木板 $60×1+50×2=160$(块),长方形木板$60×4+50×3=390$(块)。所以第二种切割方式的木板为$160÷8=20$(块),第一种切割方式的木板为$(390-2×20)÷7=50$(块),所以废旧木板共$20+50=70$(块)。答:这批废旧木板共有 70 块。
采购清单
| 类型 | 单价/(元/块) | 数量/块 | 总价/元 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正方形木板 | $m$ | $\dfrac{120}{m}$ | 120 |
| 长方形木板 | $m+3$ | $\dfrac{300}{m+3}$ | 300 |
根据题意,得 $\dfrac{120}{m}×2=\dfrac{300}{m+3}$,解得 $m=12$,经检验,$m=12$ 是原方程的解,且符合题意。即 $m$ 的值为 12。
(2)当 $m=12$ 时,正方形木块的数量为 $\dfrac{120}{m}=10$(块),长方形木块的数量为 $\dfrac{300}{m+3}=20$(块)。设竖式无盖木箱做 $x$ 个,横式无盖木箱做 $y$ 个,根据题意,得 $\begin{cases}x+2y=10,\\4x+3y=20,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2,\\y=4。\end{cases}$ 答:竖式无盖木箱做 2 个,横式无盖木箱做 4 个。
(3)①设每块废旧木板切割正方形木板 $a$ 块,长方形木板$b$ 块,根据题意,得 $25a+40b=280$,$b=7-\dfrac{5}{8}a$,因为 $a,b$ 都是非负整数,所以 $\begin{cases}a=0,\\b=7\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=8,\\b=2。\end{cases}$ 答:有两种切割方式,第一种切割方式为长方形木板 7 块,第二种为正方形木板 8 块和长方形木板 2 块。
②所需正方形木板 $60×1+50×2=160$(块),长方形木板$60×4+50×3=390$(块)。所以第二种切割方式的木板为$160÷8=20$(块),第一种切割方式的木板为$(390-2×20)÷7=50$(块),所以废旧木板共$20+50=70$(块)。答:这批废旧木板共有 70 块。
解析
【分析】
本题需分三步解决：第(1)问利用“数量=总价÷单价”填表格，结合长方形木板数量是正方形的2倍列分式方程求m；第(2)问先算出两种木板的实际数量，再设两种木箱的数量，根据木箱所需木板数量列二元一次方程组求解；第(3)问①设每块废旧木板切割的两种木板数量，根据尺寸关系列方程，结合非负整数条件得切割方式；②先算制作指定木箱所需的木板总数，再结合两种切割方式的数量关系求废旧木板总块数。
【解析】
(1) 根据“数量=总价÷单价”，正方形木板数量为$\dfrac{120}{m}$，长方形木板数量为$\dfrac{300}{m+3}$。由题意，长方形木板数量是正方形的2倍，列方程：
$2×\dfrac{120}{m}=\dfrac{300}{m+3}$
化简得：$\dfrac{240}{m}=\dfrac{300}{m+3}$，交叉相乘得$240(m+3)=300m$，解得$m=12$。经检验，$m=12$是原方程的解，且符合题意。
(2) 当$m=12$时，正方形木板数量为$\dfrac{120}{12}=10$块，长方形木板数量为$\dfrac{300}{12+3}=20$块。设竖式无盖木箱做$x$个，横式无盖木箱做$y$个，根据两种木箱的木板需求，列方程组：
$\begin{cases}x+2y=10\\4x+3y=20\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}$。
(3)① 设每块废旧木板切割正方形木板$a$块，长方形木板$b$块，根据尺寸关系得$25a+40b=280$，化简为$5a+8b=56$。因$a,b$为非负整数，解得$\begin{cases}a=0\\b=7\end{cases}$或$\begin{cases}a=8\\b=2\end{cases}$，即两种切割方式：7块长方形木板，或8块正方形木板+2块长方形木板。
② 制作60个竖式、50个横式木箱，需正方形木板$60×1+50×2=160$块，长方形木板$60×4+50×3=390$块。设第一种切割方式用$x$块，第二种用$y$块，则$8y=160$得$y=20$，再由$7x+2y=390$得$7x=350$，$x=50$，总废旧木板$50+20=70$块。
【答案】
(1) 表格填写：正方形木板数量为$\dfrac{120}{m}$，长方形木板数量为$\dfrac{300}{m+3}$；$m=12$；
(2) 竖式无盖木箱2个，横式无盖木箱4个；
(3)① 两种切割方式：7块长方形木板，或8块正方形木板+2块长方形木板；② 70块。
【知识点】
分式方程的应用；二元一次方程组的应用；二元一次方程的整数解
【点评】
本题为实际生产应用题，需从题意中提取等量关系，依次运用分式方程、二元一次方程组、不定方程整数解解决问题，逻辑清晰，注重对题意的理解和整数解的分析，是典型的综合应用题型。
【难度系数】
0.5
本题需分三步解决：第(1)问利用“数量=总价÷单价”填表格，结合长方形木板数量是正方形的2倍列分式方程求m；第(2)问先算出两种木板的实际数量，再设两种木箱的数量，根据木箱所需木板数量列二元一次方程组求解；第(3)问①设每块废旧木板切割的两种木板数量，根据尺寸关系列方程，结合非负整数条件得切割方式；②先算制作指定木箱所需的木板总数，再结合两种切割方式的数量关系求废旧木板总块数。
【解析】
(1) 根据“数量=总价÷单价”，正方形木板数量为$\dfrac{120}{m}$，长方形木板数量为$\dfrac{300}{m+3}$。由题意，长方形木板数量是正方形的2倍，列方程：
$2×\dfrac{120}{m}=\dfrac{300}{m+3}$
化简得：$\dfrac{240}{m}=\dfrac{300}{m+3}$，交叉相乘得$240(m+3)=300m$，解得$m=12$。经检验，$m=12$是原方程的解，且符合题意。
(2) 当$m=12$时，正方形木板数量为$\dfrac{120}{12}=10$块，长方形木板数量为$\dfrac{300}{12+3}=20$块。设竖式无盖木箱做$x$个，横式无盖木箱做$y$个，根据两种木箱的木板需求，列方程组：
$\begin{cases}x+2y=10\\4x+3y=20\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}$。
(3)① 设每块废旧木板切割正方形木板$a$块，长方形木板$b$块，根据尺寸关系得$25a+40b=280$，化简为$5a+8b=56$。因$a,b$为非负整数，解得$\begin{cases}a=0\\b=7\end{cases}$或$\begin{cases}a=8\\b=2\end{cases}$，即两种切割方式：7块长方形木板，或8块正方形木板+2块长方形木板。
② 制作60个竖式、50个横式木箱，需正方形木板$60×1+50×2=160$块，长方形木板$60×4+50×3=390$块。设第一种切割方式用$x$块，第二种用$y$块，则$8y=160$得$y=20$，再由$7x+2y=390$得$7x=350$，$x=50$，总废旧木板$50+20=70$块。
【答案】
(1) 表格填写：正方形木板数量为$\dfrac{120}{m}$，长方形木板数量为$\dfrac{300}{m+3}$；$m=12$；
(2) 竖式无盖木箱2个，横式无盖木箱4个；
(3)① 两种切割方式：7块长方形木板，或8块正方形木板+2块长方形木板；② 70块。
【知识点】
分式方程的应用；二元一次方程组的应用；二元一次方程的整数解
【点评】
本题为实际生产应用题，需从题意中提取等量关系，依次运用分式方程、二元一次方程组、不定方程整数解解决问题，逻辑清晰，注重对题意的理解和整数解的分析，是典型的综合应用题型。
【难度系数】
0.5
