20.(6分)如图,在$△ ABC$中,点$D,E$在边$AB$上,点$F,G$分别在边$BC,CA$上,且$DG// BC$,$∠ 1$与$∠ 2$互补。
(1)试判断$DC$与$EF$的位置关系,并说明理由。
(2)若$EF⊥ AB$,$∠ 1=50°$,求$∠ ADG$的度数。

20.(1)$DC// EF$。理由如下:因为 $DG// BC$,所以 $∠1=∠DCB$(两直线平行,内错角相等)。因为 $∠1$ 与 $∠2$ 互补,所以 $∠1+∠2=180°$,所以 $∠DCB+∠2=180°$,所以 $DC// EF$(同旁内角互补,两直线平行)。
(2)因为 $EF⊥ AB$,所以 $∠FEA=90°$。因为 $DC// EF$,所以$∠ADC=90°$(两直线平行,同位角相等)。因为 $∠1=50°$,所以 $∠ADG=∠ADC-∠1=90°-50°=40°$。

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需判断DC与EF的位置关系，可通过平行线的性质和判定定理推导：先由DG//BC得到内错角相等，再结合∠1与∠2互补的条件，推出同旁内角互补，进而判定DC//EF；第(2)问求∠ADG的度数，需利用EF⊥AB和DC//EF的关系得到DC⊥AB，再结合已知∠1的度数计算∠ADG。
【解析】
(1) DC//EF，理由如下：
∵ DG//BC（已知），
∴ ∠1 = ∠DCB（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠1与∠2互补（已知），即∠1 + ∠2 = 180°，
∴ ∠DCB + ∠2 = 180°（等量代换），
∴ DC//EF（同旁内角互补，两直线平行）。
(2)
∵ EF⊥AB（已知），
∴ ∠FEA = 90°（垂直的定义），
∵ DC//EF（已证），
∴ ∠ADC = ∠FEA = 90°（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠1 = 50°（已知），
∴ ∠ADG = ∠ADC - ∠1 = 90° - 50° = 40°。
【答案】(1) DC//EF；(2) ∠ADG=40°
【知识点】平行线的性质、平行线的判定、垂直的性质
【点评】本题考查平行线的性质与判定的综合应用，解题核心是利用角的关系推导直线平行，再结合垂直的性质计算角度，属于基础几何题型，需熟练掌握平行线相关定理。
【难度系数】0.5

21.(6分)如图,一张长方形纸片甲可看作由2张正方形纸片A和2张长方形纸片B拼成。小吴将其重新剪拼,得到一幅新图形乙。
(1)若甲为正方形,则乙的周长可表示为。(用含a的代数式表示)
(2)若$\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{5}{6}$,猜测a与b之间的数量关系,说明理由。

21.(1)因为小长方形的长为 $2a$,宽为 $b$,正方形的边长为 $a$,且 $a=2b$,所以大长方形的长为 $2a+a=3a$,宽为 $a+b$,所以乙的周长可表示为 $(3a+a+b)×2=8a+2b=8a+a=9a$。故答案为 $9a$。
(2)由题意可得 $S_甲=2a(a+2b)$,$S_乙=3a(a+b)$,所以$\dfrac{2a(a+2b)}{3a(a+b)}=\dfrac{5}{6}$,所以 $\dfrac{2(a+2b)}{3(a+b)}=\dfrac{5}{6}$,即 $a=3b$。

【分析】
本题需结合图形甲的结构，明确各部分边长关系：甲由2个边长为$a$的正方形A和2个长为$a$、宽为$b$的长方形B拼成。对于(1)，甲为正方形，其长与宽相等，可推导$a$与$b$的关系，再确定乙的长和宽计算周长；对于(2)，分别表示甲、乙的面积，根据面积比列方程求解$a$与$b$的数量关系。
【解析】
(1) 由图甲可知，甲的垂直边长为$a+a=2a$，水平边长为$a+b+b=a+2b$。因为甲是正方形，所以边长相等，即$2a=a+2b$，解得$a=2b$。
观察图形乙，乙的长为$3a$，宽为$a+b$，将$b=\frac{a}{2}$代入，宽为$a+\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$，则乙的周长为：
$2×(3a+\frac{3a}{2})=9a$。
(2) 计算面积：甲的面积$S_甲=2a(a+2b)$，乙的面积$S_乙=3a(a+b)$。根据题意$\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{5}{6}$，代入得：
$\frac{2a(a+2b)}{3a(a+b)}=\frac{5}{6}$
约去$a(a≠0)$，交叉相乘化简：
$12(a+2b)=15(a+b) \\12a+24b=15a+15b \\3a=9b \a=3b$
【答案】
(1) $9a$；(2) $a=3b$
【知识点】
整式运算、图形周长与面积、方程应用
【点评】
本题结合图形剪拼考查代数与几何的结合应用，关键是理清图形中边长的关系，正确表示面积和周长，通过列方程求解数量关系，难度适中。
【难度系数】
0.4

22.(6分)电影《哪吒之魔童闹海》上映短短10天就成为中国电影票房榜冠军。小湖为了解大家对该电影的评价情况，开展了一次调查研究，请将下面的过程补全。
收集数据
(1)小湖计划从某电影院观影后的观众中随机抽取40名观众对该电影的评分情况作为样本，下面的取样方法中，合理的是。
A.抽取40名女性观众对该电影的评分情况组成样本
B.抽取男、女性观众各20名对该电影的评分情况组成样本
C.抽取老中青幼各年龄层次的男、女性观众各5名对该电影的评分情况组成样本
整理、描述数据
抽样方法确定后，小湖获得了40名观众对该电影的评分情况

22.(1)从某电影院观影后的观众中随机抽取 40 名观众对该电影的评分情况作为样本,应该抽取老中青幼各年龄层次的男、女性观众各 5 名对该电影的评分情况组成样本,故选 C。

【分析】
要判断抽样方法是否合理，需依据抽样调查的核心原则：抽取的样本应具备代表性、广泛性，能全面反映总体的特征，避免样本片面性。通过逐一分析选项是否符合该原则，即可得出结论。
【解析】
抽样调查的样本需覆盖总体的不同特征群体，保证样本的代表性：
选项A仅抽取女性观众，样本仅包含女性群体，未涵盖男性等其他群体，不具备代表性，不合理；
选项B仅抽取男、女性观众，但未考虑年龄层次等影响评价的关键因素，样本仍存在片面性，不合理；
选项C抽取老中青幼各年龄层次的男、女性观众，样本涵盖了不同性别、不同年龄的群体，具备代表性和广泛性，符合抽样要求，合理。
【答案】
C
【知识点】
抽样调查 样本选取
【点评】
本题考查抽样调查中样本选取的基本原则，核心是样本需具备代表性，属于基础题型，需掌握抽样的基本要求。
【难度系数】
0.8

如下:5.5,6.5,6.1,7.7,8.0,8.4,8.2,8.0,9.1,8.3,4.5,7.3,
9.9,9.5,8.6,8.1,8.38,8.0,9.5,8.7,6.3,7.5,8.0,8.1,8.5,
9.7,7.4,9.1,9.3,8.7,8.9,7.2,9.8,8.4,9.0,7.1,7.0,9.1,
6.6,6.5
分成五组整理数据(每组都包含最小值,不包含最大值),如图所示。
(2)为直观地展现上述调查结果,小湖想将它们绘制成扇形统计图,求C组所在扇形的圆心角度数。
分析数据、得出结论
小湖将统计后的数据与第一部《哪吒之魔童降世》调查的30名观众的评分情况(右上方直方图)进行对比分析。
(3)若评分8分及以上表示受观众喜爱。从受观众喜爱的角度看,请用数据说明这两部电影哪部更受欢迎?

22.(2)用 C 组所占比例乘 $360°$可得 $\dfrac{7}{40}×360°=63°$。
(3)《哪吒之魔童闹海》:$(16+10)÷40=\dfrac{13}{20}$,《哪吒之魔童降世》:$(9+6)÷30=\dfrac{1}{2}$,$\dfrac{13}{20}＞\dfrac{1}{2}$,故《哪吒之魔童闹海》更受欢迎。

【分析】
首先需确定总数据的数量，找到C组的频数，利用“扇形圆心角=该组占总体的比例×360°”计算C组圆心角；再分别统计两部电影中评分8分及以上的人数，计算其占比，通过比较占比大小判断哪部更受欢迎。
【解析】
（2）统计得总数据个数为40，C组的频数为7，因此C组所占比例为$\frac{7}{40}$，则C组所在扇形的圆心角度数为：$\frac{7}{40}×360°=63°$；
（3）计算两部电影中评分8分及以上的人数占比：《哪吒之魔童闹海》中占比为$\frac{16+10}{40}=\frac{13}{20}$，《哪吒之魔童降世》中占比为$\frac{9+6}{30}=\frac{1}{2}$，因为$\frac{13}{20}＞\frac{1}{2}$，所以《哪吒之魔童闹海》更受欢迎。
【答案】
（2）$63°$；（3）《哪吒之魔童闹海》更受欢迎
【知识点】
扇形统计图圆心角计算；数据占比分析；统计量比较
【点评】
本题考查统计相关的基础应用，涉及频数统计、扇形圆心角计算及数据对比，需准确提取数据并掌握比例运算，难度适中，适合考查学生的基础统计能力。
【难度系数】
0.5