14.一个长、宽分别为a,b的长方形的周长为20，面积为24，则$a^2b+ab^2$的值为________。

14.240

【分析】首先根据长方形的周长公式和面积公式，求出$a+b$与$ab$的值；再将所求代数式因式分解，转化为含有$a+b$和$ab$的形式，最后利用整体代入法计算结果。
【解析】解：由长方形周长公式得$2(a+b)=20$，化简得$a+b=10$；由长方形面积公式得$ab=24$。对$a^2b+ab^2$因式分解：$a^2b+ab^2=ab(a+b)$，将$a+b=10$、$ab=24$代入得：$24×10=240$。
【答案】240
【知识点】因式分解的应用、长方形的周长与面积
【点评】本题考查因式分解的整体代入应用，核心是通过因式分解将所求式子转化为已知条件的组合，计算过程简单，属于基础题型。
【难度系数】0.6

15. 如图,两面镜子AB,BC的夹角为α,一束与AB平行的光线经过两次镜面反射后,与原光线夹角为β。若β=32°,则α的度数是。

15.$74°$ 解析:如图,与 AB 平行的光线 GD 经过第一次镜面反射后得到线段 DF,经过第二次镜面反射后得到射线 FH,交 GD 于点 E,因为经过两次镜面反射后,与原光线夹角为 $β=32°$,所以$β=∠ GEH=32°$。因为 AB 与光线 GD平行,所以 $β=∠ GEH=∠ AFH=32°$,$∠ B = ∠ GDC= α$,$∠ DFB=∠ GDF$。由镜面反射可得 $∠ DFB=∠ AFH=β=32°$,$∠ FDB=∠ GDC=α$。因为 $∠ GDF+∠ FDB+∠ GDC=180°$,所以根据题意可得 $32°+α+α=180°$,整理得 $2α=148°$,解得 $α=74°$,即 $α$ 的度数为 $74°$。

【分析】本题需结合镜面反射的规律（反射角等于入射角）和平行线的性质推导角度关系。先确定光线两次反射的位置，利用平行线的内错角相等找到相关角的联系，再结合平角的定义建立关于α和β的等式，进而求解α的度数。
【解析】设光线第一次在AB上的反射点为F，第二次在BC上的反射点为D。
1. 根据镜面反射定律，反射角等于入射角，因此∠DFB = ∠AFH = β，∠FDB = ∠GDC = α。
2. 由于原光线与AB平行，由平行线的内错角相等可得：∠GDF = ∠DFB = β。
3. 根据平角的定义，在直线BC上，∠GDF + ∠FDB + ∠GDC = 180°，将上述角度代入得：β + α + α = 180°。
4. 已知β=32°，代入等式得：32° + 2α = 180°，解得2α=148°，即α=74°。
【答案】74°
【知识点】平行线性质、镜面反射、平角定义
【点评】本题将几何光学的反射规律与几何知识结合，考查学生对几何性质的综合应用能力，核心是利用反射规律和平行线性质建立角度等量关系。
【难度系数】0.5

16.为了激发学生的数学兴趣,某学校七年级举办了"数学挑战"大赛,现有小吴、小兴、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐,决赛共分为六轮,规定:每轮分别决出第1,2,3名(没有并列),对应名次的得分都分别为$a,b,c(a＞b＞c$且$a,b,c$均为正整数)。选手最后得分为各轮得分之和,得分最高者为冠军。如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况($m$为正整数)。根据题中所给信息,$m=$,小奕第六轮的得分为分。

16.2 2 解析:根据题意得 $6(a+b+c)=30+m+12+12-m$,所以 $a+b+c=9$,若 $a=5$,则 $6a=30＜30+m$,所以 $a＞5$,由条件可知 $b+c$ 的最小值为 3,所以 $a=6$,$b=2$,$c=1$,由条件可知小兴剩下 4 轮的总分数为 $12-6-2=4$(分),所以 4 次第三,因为小吴最后得分为 $30+m$,所以小吴得 5 次第一,1 次第二,即第三轮得第二,所以 $30+m=5×6+2$,解得 $m=2$,所以小奕第六轮的得分为 2 分。

【分析】
首先，三位选手的总得分之和等于6轮比赛的得分总和，据此求出每轮得分的和$a+b+c$；再结合$a＞b＞c$且为正整数的条件，确定$a、b、c$的取值；最后根据小吴的得分情况求出$m$，再结合小奕的总得分求出其第六轮得分。
【解析】
1. 计算总得分和：三位选手总得分之和为$(30+m)+12+(12-m)=54$，因共6轮，每轮得分和为$a+b+c$，故$6(a+b+c)=54$，解得$a+b+c=9$。
2. 确定$a、b、c$的值：由$a＞b＞c$且均为正整数，得$b+c≥1+2=3$，故$a=9-(b+c)≤6$；又小吴得分$30+m＞6a$，若$a=5$，则$6×5=30$，小吴得分应大于30，故$a＞5$，即$a=6$，则$b+c=9-6=3$，结合$b＞c$得$b=2$，$c=1$。
3. 求$m$：小吴总得分$30+m$，他有2个$a$，结合得分分配，小吴得5个$a$和1个$b$，即$5×6 +2=32$，故$30+m=32$，解得$m=2$。
4. 求小奕第六轮得分：小奕总得分$12-m=10$，已知她第三轮得$c=1$，第五轮得$b=2$，结合得分分配，小奕第六轮得2分。
【答案】
2；2
【知识点】
代数式求值、逻辑推理、一元一次方程
【点评】
本题需结合总得分关系推导每轮得分，再通过整数性质和选手得分分配求解，考查逻辑推理与代数运算能力，综合性较强。
【难度系数】
0.4

三、解答题(本大题有8个小题,共46分)
17.(4分)计算:
(1)$3x(2-x)$;
(2)$(\sqrt{3}-1)^0 - (\dfrac{1}{2})^{-1}$。

17.(1)原式$=3x·2-3x· x=6x-3x^2$。
(2)原式$=1-2=-1$。

【分析】
本题分为两小问，第(1)小题是单项式乘多项式的运算，需运用乘法分配律将单项式分别乘多项式的每一项，再合并结果；第(2)小题涉及零指数幂和负整数指数幂的计算，需牢记对应的运算法则，先分别计算两项的值，再做减法运算。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式的运算法则：
原式$=3x·2 - 3x·x = 6x - 3x^2$；
(2) 根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则：
任何非零数的0次幂为1，故$(\sqrt{3}-1)^0=1$；
负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，故$(\dfrac{1}{2})^{-1}=2$；
因此原式$=1 - 2 = -1$。
【答案】
(1)$6x - 3x^2$；(2)$-1$
【知识点】
单项式乘多项式、零指数幂、负整数指数幂
【点评】
本题为初中数学基础运算题，考查整式乘法和幂的基本运算规则，属于必掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.8

18.(4 分)解方程(组):
(1)$\frac{2 - x}{x - 1} = \frac{1}{1 - x} + 1$；
(2)$\begin{cases}x = 3y - 1, \\4y = x + 1\end{cases}$。

18.(1)方程两边同时乘$(x-1)$,得 $2-x=-1+x-1$,整理得$2x=4$,解得 $x=2$,经检验,$x=2$ 是原方程的解。
(2)$\begin{cases}x = 3y - 1 \quad①,\\4y = x + 1 \quad②,\end{cases}$把①代入②得 $y=0$,把$y=0$代入①,解得 $x=-1$,所以 $\begin{cases}x=-1,\\y=0。\end{cases}$

【分析】
本题包含分式方程和二元一次方程组的求解。对于分式方程，需先去分母转化为整式方程求解，且必须检验解是否使原分母为0，排除增根；对于二元一次方程组，因第一个方程已将x用y表示，采用代入消元法，将其代入第二个方程即可消去x，先求出y，再回代求x。
【解析】
(1) 解分式方程：
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$，注意$1-x=-(x-1)$，原方程转化为：
$2 - x = -1 + (x - 1)$
整理得：$2 - x = x - 2$
移项合并同类项：$2x = 4$
解得：$x = 2$
检验：当$x=2$时，分母$x-1=1≠0$，代入原方程左边$\frac{2-2}{2-1}=0$，右边$\frac{1}{1-2}+1=-1+1=0$，左边=右边，故$x=2$是原方程的解。
(2) 解二元一次方程组：
$\begin{cases}x = 3y - 1 \quad ① \\4y = x + 1 \quad ②\end{cases}$
将①代入②，得：$4y = (3y - 1) + 1$
化简得：$4y = 3y$
解得：$y = 0$
把$y=0$代入①，得：$x = 3×0 - 1 = -1$
因此方程组的解为$\begin{cases}x = -1 \\y = 0\end{cases}$
【答案】
(1)$x=2$；(2)$\begin{cases}x=-1 \\y=0\end{cases}$
【知识点】
分式方程的解法，二元一次方程组的代入消元法
【点评】
本题考查初中数学基础的方程（组）求解，分式方程需注意去分母后的检验步骤，二元一次方程组代入消元法操作简单，属于必须掌握的核心知识点，整体难度较低。
【难度系数】
0.8

19.(4分)先化简$\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} ÷ (1 - \dfrac{3}{x + 3})$，再从$-3,0,3$这三个数中取一个合适的数作为$x$的值代入求值。

19. 原式$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2} ÷ \dfrac{x+3-3}{x+3} = \dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2} · \dfrac{x+3}{x} = \dfrac{x-3}{x}$。
因为 $x+3≠0$,$x≠0$,所以 $x≠-3$ 且 $x≠0$,所以当 $x=3$ 时,原式$=\dfrac{x-3}{x}=\dfrac{3-3}{3}=0$。

【分析】
这是分式化简求值题，解题思路为：先算括号内的减法，将1转化为同分母分式合并；再把除法转化为乘法，对分子分母多项式因式分解后约分得到最简式；最后根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）确定x的取值，代入最简式计算结果。
【解析】
原式$=\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} ÷ (1 - \dfrac{3}{x + 3})$
$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2} ÷ \dfrac{x+3 - 3}{x+3}$
$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2} · \dfrac{x+3}{x}$
$=\dfrac{x-3}{x}$
因为分式有意义，需满足$x+3≠0$且$x≠0$，即$x≠-3$且$x≠0$，故只能取$x=3$。
当$x=3$时，原式$=\dfrac{3-3}{3}=0$
【答案】
0
【知识点】
分式的化简求值；因式分解；分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式混合运算的基本步骤，核心是因式分解和约分，易错点为x的取值判断，需保证原式所有分母不为0，属于基础运算题。
【难度系数】
0.6