8.如表所示是当$x$取不同值时对应的整式$ax+3b$的值,小明不小心打翻了墨水在纸上,导致表格部分数据看不见,则$a,b$的值分别为 …………………………………………………（）


A.$a=-2,b=-1$
B.$a=2,b=-1$
C.$a=-2,b=1$
D.$a=2,b=1$

8.C

【分析】
要确定a、b的值，需利用表格中已知的x与整式ax+3b的对应关系，将两组对应值代入ax+3b中，得到关于a、b的二元一次方程组，通过解方程组即可求出a、b的值。
【解析】
根据表格，选取两组已知对应值：
当x=-2时，ax+3b=7，代入得：-2a + 3b = 7 ①；
当x=1时，ax+3b=1，代入得：a + 3b = 1 ②；
用①式减去②式消去3b：
(-2a + 3b) - (a + 3b) = 7 - 1
化简得：-3a = 6，解得a = -2；
将a=-2代入②式：
-2 + 3b = 1
解得：3b=3 → b=1；
因此a=-2，b=1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组、代数式求值
【点评】
本题利用一次式的对应关系建立方程组，考查二元一次方程组的解法，属于基础题型，需掌握消元法解方程组的思路。
【难度系数】
0.6

9. 如图,已知直线$AB// CD$,E,F分别是AB,CD上的两点。点H在直线AB的上方,$∠CFG:∠CFH=1:3$,EB平分$∠HEG$,当$∠G - ∠H=80°$时,则$∠CFG$的度数为……()

A.$10°$
B.$15°$
C.$18°$
D.$20°$

9.D 解析:如图,过点 H 作 $HQ// AB$,过点 G 作 $GK// CD$,设 $∠CFG = α$,$∠HEB=β$。因为 $∠CFG:∠CFH = 1:3$, $AB // CD$, 所以 $∠CFH = 3α$,$∠HEB=∠BEG=β$。因为 $QH // AB$,所以 $∠QHF= 180°- 3α$,$∠QHE =∠HEB=β$,$∠KGF = ∠CFG = α$,$∠EGK = 180°- β$, 所以$∠EGF= 180°- β+α$,$∠EHF = 180°- 3α- β$。因为 $∠EGF -∠EHF=80°$, 所以 $180 - β+α- 180 + 3α+β=80$, 所以 $α=∠CFG=20°$。故选 D。

【分析】
本题需利用平行线的性质、角平分线定义，结合方程思想求解。首先设∠CFG=α，根据角的比例关系表示出∠CFH；再通过作辅助线（过H作HQ//AB，过G作GK//CD），利用平行线的同旁内角互补、内错角相等的性质，分别用α和角平分线的角β表示出∠G和∠H；最后根据∠G - ∠H=80°的条件列出方程，化简求解得到α的值，即∠CFG的度数。
【解析】
设∠CFG = α，EB平分∠HEG，设∠HEB = ∠BEG = β。
已知∠CFG:∠CFH = 1:3，故∠CFH = 3α。
过点H作HQ//AB，过点G作GK//CD，因为AB//CD，所以HQ//AB//GK//CD。
根据平行线性质：
1. 对∠EHF：HQ//AB，所以∠QHE = ∠HEB = β；HQ//CD，所以∠QHF + ∠CFH = 180°，即∠QHF = 180° - 3α，因此∠EHF = ∠QHF - ∠QHE = (180° - 3α) - β。
2. 对∠EGF：GK//CD，所以∠KGF = ∠CFG = α；GK//AB，所以∠EGK + ∠BEG = 180°，即∠EGK = 180° - β，因此∠EGF = ∠EGK + ∠KGF = (180° - β) + α。
由题意∠G - ∠H = 80°，即∠EGF - ∠EHF = 80°，代入得：
(180° - β + α) - (180° - 3α - β) = 80°
化简得：4α = 80°，解得α = 20°，即∠CFG = 20°。
【答案】
D
【知识点】
平行线性质，角平分线定义
【点评】
本题综合考查平行线的性质、角平分线定义及方程思想的应用，通过作辅助线构造平行关系，将分散的角转化为可计算的角，是几何中常用的解题方法，需要学生熟练掌握平行线的性质和方程思想的运用。
【难度系数】
0.4

10.一次数学探究活动中,老师给出了两个二次多项式$2x^2+px+c,-x^2+qx+c$(其中$p,q,c$均是不为零的常数)及这两个代数式的一些信息,如下表:
| 二次多项式 | 对二次多项式进行因式分解 |
| ---- | ---- |
| $2x^2+px+c$ | |
| $-x^2+qx+c$ | $(x+a)(-x+2b)$ |
(说明:$a,b$均为不等于零的常数)
有学生探究得到以下四个结论:①当$c=2b$时,则$p-q=3$;②当$\frac{p}{q}=3$时,则$5a=4b$;③$a^2+b^2=2$时,则$p^2=8+4c$;④当$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$时,$p^2=8+4c$。以上结论中正确的序号是 （）

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

10.A 解析:因为第一个多项式 $2x^2 + px + c = 2(x+a)(x+b)=2x^2+2(a+b)x+2ab$, 所以 $p=2a+2b$,$c=2ab$。因为第二个多项式 $-x^2+qx+c=(x+a)(-x+2b)=-x^2+(2b-a)x+2ab$, 所以 $q=2b-a$,$c=2ab$。①当 $c=2b$ 时,代入代数式得 $a=1$, 此时 $p=2+2b$,$q=2b-1$, 则 $p-q=3$, 正确,符合题意;②当 $\frac{p}{q}=3$ 时,由 $p=2a+2b$ 和 $q=2b-a$, 解得 $5a=4b$, 正确,符合题意;③当 $a^2+b^2=2$ 时, $p^2=(2a+2b)^2=4a^2+8ab+4b^2$, 得 $p^2=8+4c$, 正确,符合题意;④当 $\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$时,设 $a=\frac{b}{2}$, 则 $p=3b$,$c=b^2$, 得 $p^2=9b^2=9c$, 错误,不符合题意。故选 A。

【分析】
要解决本题，需先将两个二次多项式的因式分解结果展开，通过对应系数得到$p、q、c$与$a、b$的关系，再将各结论的条件代入该关系逐一验证，判断结论是否正确。
【解析】
1. 展开因式分解式，对应系数建立关系：
对$2x^2+px+c=2(x+a)(x+b)$，展开右边得：$2(x+a)(x+b)=2x^2+2(a+b)x+2ab$，对应系数得：$p=2(a+b)$，$c=2ab$；
对$-x^2+qx+c=(x+a)(-x+2b)$，展开右边得：$-x^2+(2b-a)x+2ab$，对应系数得：$q=2b-a$，$c=2ab$。
2. 逐一验证四个结论：
①当$c=2b$时，由$c=2ab$得$2ab=2b$，因$b≠0$，两边除以$2b$得$a=1$；此时$p=2(1+b)=2+2b$，$q=2b-1$，则$p-q=(2+2b)-(2b-1)=3$，结论①正确；
②当$\frac{p}{q}=3$时，代入$p=2(a+b)$、$q=2b-a$得：$\frac{2(a+b)}{2b-a}=3$，交叉相乘得$2(a+b)=3(2b-a)$，展开整理得$5a=4b$，结论②正确；
③当$a^2+b^2=2$时，$p^2=[2(a+b)]^2=4(a^2+2ab+b^2)=4[(a^2+b^2)+2ab]$，代入$a^2+b^2=2$和$c=2ab$，得$p^2=4(2+c)=8+4c$，结论③正确；
④当$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$时，设$a=\frac{1}{2}b$，则$p=2(\frac{1}{2}b+b)=3b$，$c=2ab=b^2$，故$p^2=9b^2=9c≠8+4c$，结论④错误。
综上，正确结论为①②③，对应选项A。
【答案】A
【知识点】多项式因式分解、代数式系数对应、代数式求值
【点评】本题通过多项式因式分解的展开建立系数关系，结合代数变形验证结论，考查学生对多项式系数对应关系的掌握，需仔细推导避免计算错误。
【难度系数】0.6

二、填空题(本大题有6个小题,每小题4分,共24分)
11. 因式分解:$a - a^2 = \underline{\hspace{5cm}}$。

11.$a(1-a)$

【分析】
对多项式$a - a^2$因式分解时，先观察各项的公共因式：两项都含有公因式$a$，因此采用提公因式法，将公因式$a$提取出来，剩余部分组合即可完成分解。
【解析】
$a - a^2 = a · 1 - a · a = a(1 - a)$
【答案】
$a(1 - a)$
【知识点】
因式分解（提公因式法）
【点评】
本题考查基础的因式分解，核心是运用提公因式法，属于因式分解的入门题型，难度较低。
【难度系数】
0.9

12.在“DeepSeek”的所有字母中，字母“e”出现的频数为。

12.4

【分析】首先明确频数的定义：频数是指某个对象在一组数据中出现的次数。解题时先写出“DeepSeek”的所有字母，再逐个统计字母“e”出现的次数即可。
【解析】先拆分单词“DeepSeek”的字母为：D、e、e、p、S、e、e、k，逐一计数字母“e”，共出现4次，因此字母“e”的频数为4。
【答案】4
【知识点】频数、字母计数
【点评】本题是基础题，主要考察对频数概念的理解，只需准确拆分单词并计数即可，难度较低。
【难度系数】0.9

13.若关于$x$的分式方程$\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{x-2}{3-x}=2$有增根，则增根是______________。

13.$x=3$

【分析】首先明确分式方程增根的定义：增根是分式方程去分母转化为整式方程后，使原分式方程的分母为0，导致原分式方程无意义的未知数的值。解题思路是先确定原分式方程的所有分母，令分母为0，得到的候选值即为增根，本题中直接通过分母为0即可求出增根。
【解析】原分式方程为$\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{x-2}{3-x}=2$，先将第二个分式的分母变形：$\dfrac{x-2}{3-x}=-\dfrac{x-2}{x-3}$，因此原方程可整理为$\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{x-2}{x-3}=2$。分式方程的增根满足原方程的分母为0，令分母$x-3=0$，解得$x=3$，该值即为方程的增根。
【答案】$x=3$
【知识点】分式方程的增根
【点评】本题考查分式方程增根的基本概念，解题核心是掌握增根的本质是使原分式方程分母为0的未知数，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.3