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19.(6分)已知$5^m=4,5^n=6,25^p=9$。
(1)求$5^{m+n}$的值。
(2)求$5^{m-2p}$的值。
(3)写出$m,n,p$之间的数量关系。
(1)求$5^{m+n}$的值。
(2)求$5^{m-2p}$的值。
(3)写出$m,n,p$之间的数量关系。
答案
19.(1)因为5^m=4,5^n=6,所以5^{m+n}=5^m·5^n=4×6=24。(2)因为25^p=9,所以(5²)^p=9,所以5^{2p}=9,又因为5^m=4,所以5^{m-2p}=5^m÷5^{2p}=$\frac{4}{9}$。(3)因为4×9=6²,所以5^m×5^{2p}=(5^n)²,即5^{m+2p}=5^{2n},所以m+2p=2n。
解析
【分析】这道题围绕幂的运算性质展开，解题时需熟练运用同底数幂的乘、除法法则以及幂的乘方法则。第(1)问利用同底数幂乘法法则的逆用，将所求式转化为已知幂的乘积；第(2)问先通过幂的乘方将$25^p$转化为以5为底的幂，再用同底数幂除法法则的逆用计算；第(3)问需将三个式子统一为以5为底的幂，根据幂相等时指数相等推导关系。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则：$a^{x+y}=a^x · a^y$，可得：
$5^{m+n}=5^m · 5^n$，
已知$5^m=4$，$5^n=6$，代入得：$5^{m+n}=4 × 6=24$。
(2) 先对$25^p$变形，因为$25=5^2$，根据幂的乘方法则：$(a^x)^y=a^{xy}$，可得：
$25^p=(5^2)^p=5^{2p}=9$，
再根据同底数幂的除法法则：$a^{x-y}=a^x ÷ a^y$，可得：
$5^{m-2p}=5^m ÷ 5^{2p}$，
代入$5^m=4$，$5^{2p}=9$，得：$5^{m-2p}=4 ÷ 9=\frac{4}{9}$。
(3) 由$5^m=4$，$5^{2p}=9$，可得：
$5^m · 5^{2p}=4 × 9=36$，
又因为$5^n=6$，所以$(5^n)^2=6^2=36$，
因此$5^m · 5^{2p}=(5^n)^2$，根据同底数幂乘法法则，左边可化为$5^{m+2p}$，右边为$5^{2n}$，
因为底数5≠1，所以指数相等，即$m+2p=2n$。
【答案】(1)24；(2)$\frac{4}{9}$；(3)$m+2p=2n$
【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】本题是幂的运算性质的基础应用题，核心考查对幂的运算法则的逆用能力，解题关键是将不同底数的幂转化为相同底数，利用指数关系求解，整体难度不大，适合巩固幂的运算知识点。
【难度系数】0.5
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则：$a^{x+y}=a^x · a^y$，可得：
$5^{m+n}=5^m · 5^n$，
已知$5^m=4$，$5^n=6$，代入得：$5^{m+n}=4 × 6=24$。
(2) 先对$25^p$变形，因为$25=5^2$，根据幂的乘方法则：$(a^x)^y=a^{xy}$，可得：
$25^p=(5^2)^p=5^{2p}=9$，
再根据同底数幂的除法法则：$a^{x-y}=a^x ÷ a^y$，可得：
$5^{m-2p}=5^m ÷ 5^{2p}$，
代入$5^m=4$，$5^{2p}=9$，得：$5^{m-2p}=4 ÷ 9=\frac{4}{9}$。
(3) 由$5^m=4$，$5^{2p}=9$，可得：
$5^m · 5^{2p}=4 × 9=36$，
又因为$5^n=6$，所以$(5^n)^2=6^2=36$，
因此$5^m · 5^{2p}=(5^n)^2$，根据同底数幂乘法法则，左边可化为$5^{m+2p}$，右边为$5^{2n}$，
因为底数5≠1，所以指数相等，即$m+2p=2n$。
【答案】(1)24；(2)$\frac{4}{9}$；(3)$m+2p=2n$
【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】本题是幂的运算性质的基础应用题，核心考查对幂的运算法则的逆用能力，解题关键是将不同底数的幂转化为相同底数，利用指数关系求解，整体难度不大，适合巩固幂的运算知识点。
【难度系数】0.5
20.(6分)在幂的运算中规定:若$a^x=a^y(a＞0$且$a≠1,x,y$是正整数),则$x=y$。
利用上面的结论解答下列问题:
(1)若$4^x=2^6$,求$x$的值。
(2)若$5^{x+2}-5^{x+1}=100$,求$x$的值。
利用上面的结论解答下列问题:
(1)若$4^x=2^6$,求$x$的值。
(2)若$5^{x+2}-5^{x+1}=100$,求$x$的值。
答案
20.(1)x=3。(2)x=1。
解析
【分析】
本题利用题目给出的“若$a^x=a^y(a＞0$且$a≠1,x,y$是正整数),则$x=y$”的结论解题，核心是将等式两边转化为同底数幂的形式，再根据结论让指数相等，从而求出$x$的值。
(1) 需将底数为4的幂转化为底数为2的幂，再利用同底数幂指数相等求解；
(2) 需先对左边的式子提取公因式，化简后转化为同底数幂，再根据结论求解。
【解析】
(1) 因为$4^x=(2^2)^x=2^{2x}$，原等式$4^x=2^6$可转化为$2^{2x}=2^6$，根据题目结论，同底数幂相等时指数相等，得$2x=6$，解得$x=3$。
(2) 对等式左边提取公因式$5^{x+1}$：$5^{x+2}-5^{x+1}=5^{x+1}×5 -5^{x+1}×1=5^{x+1}(5-1)=4×5^{x+1}$，原等式$5^{x+2}-5^{x+1}=100$可转化为$4×5^{x+1}=100$，两边同除以4得$5^{x+1}=25=5^2$，根据题目结论，同底数幂相等时指数相等，得$x+1=2$，解得$x=1$。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=1$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂运算、提取公因式
【点评】
本题结合新定义结论考查幂的运算，要求学生熟练掌握幂的变形规则，将不同底数的幂转化为同底数幂是解题关键，属于基础运算应用题，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题利用题目给出的“若$a^x=a^y(a＞0$且$a≠1,x,y$是正整数),则$x=y$”的结论解题，核心是将等式两边转化为同底数幂的形式，再根据结论让指数相等，从而求出$x$的值。
(1) 需将底数为4的幂转化为底数为2的幂，再利用同底数幂指数相等求解；
(2) 需先对左边的式子提取公因式，化简后转化为同底数幂，再根据结论求解。
【解析】
(1) 因为$4^x=(2^2)^x=2^{2x}$，原等式$4^x=2^6$可转化为$2^{2x}=2^6$，根据题目结论，同底数幂相等时指数相等，得$2x=6$，解得$x=3$。
(2) 对等式左边提取公因式$5^{x+1}$：$5^{x+2}-5^{x+1}=5^{x+1}×5 -5^{x+1}×1=5^{x+1}(5-1)=4×5^{x+1}$，原等式$5^{x+2}-5^{x+1}=100$可转化为$4×5^{x+1}=100$，两边同除以4得$5^{x+1}=25=5^2$，根据题目结论，同底数幂相等时指数相等，得$x+1=2$，解得$x=1$。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=1$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂运算、提取公因式
【点评】
本题结合新定义结论考查幂的运算，要求学生熟练掌握幂的变形规则，将不同底数的幂转化为同底数幂是解题关键，属于基础运算应用题，难度适中。
【难度系数】
0.7
21.(8分)(2024·金华浦江)一个长方形的长、宽分别为$a(\mathrm{cm})$，$b(\mathrm{cm})$，如果将长方形的长和宽分别增加2cm和3cm。
(1)新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？
(2)若$a=4\mathrm{cm}$，$b=3\mathrm{cm}$，求长方形增加的面积。
(3)如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求$(a-2)(b-3)$的值。
(1)新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？
(2)若$a=4\mathrm{cm}$，$b=3\mathrm{cm}$，求长方形增加的面积。
(3)如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求$(a-2)(b-3)$的值。
答案
21.(1)$(3a+2b+6)\mathrm{cm}^2$。(2)$24\mathrm{cm}^2$。(3)12。
解析
【分析】
本题围绕长方形面积的代数运算展开，解题思路如下：①利用长方形面积公式（面积=长×宽），先表示出原、新长方形的面积，通过作差推导面积增加量的代数式；②将给定的长、宽数值代入面积增加量的代数式，计算具体数值；③根据“新面积是原面积的2倍”的条件建立等式，通过整式变形得到相关代数式的值，再代入所求式子的展开式，用整体思想计算结果。
【解析】
(1) 原长方形面积为 $ S_{\mathrm{原}} = ab \, (\mathrm{cm}^2) $，新长方形的长为 $ (a+2) \, \mathrm{cm} $，宽为 $ (b+3) \, \mathrm{cm} $，则新长方形面积为 $ S_{\mathrm{新}} = (a+2)(b+3) \, (\mathrm{cm}^2) $。
面积增加量为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{新}} - S_{\mathrm{原}} &= (a+2)(b+3) - ab \\&= ab + 3a + 2b + 6 - ab \\&= 3a + 2b + 6 \, (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
(2) 当 $ a=4 \, \mathrm{cm} $，$ b=3 \, \mathrm{cm} $ 时，代入(1)的结果：
$3a + 2b + 6 = 3 × 4 + 2 × 3 + 6 = 12 + 6 + 6 = 24 \, (\mathrm{cm}^2)$
(3) 由题意 $ S_{\mathrm{新}} = 2S_{\mathrm{原}} $，即：
$(a+2)(b+3) = 2ab$
展开左边并整理得：
$ab + 3a + 2b + 6 = 2ab \implies ab - 3a - 2b = 6$
将 $ (a-2)(b-3) $ 展开：
$(a-2)(b-3) = ab - 3a - 2b + 6$
把 $ ab - 3a - 2b = 6 $ 代入上式：
$6 + 6 = 12$
【答案】
(1) $ (3a+2b+6) \, \mathrm{cm}^2 $；(2) $ 24 \, \mathrm{cm}^2 $；(3) $ 12 $
【知识点】
长方形面积公式，整式的乘法与加减，代数式求值
【点评】
本题是整式运算在几何中的基础应用，核心是利用面积公式建立代数式，通过整式展开、整理和整体代入思想求解，重点考查学生对整式运算法则的掌握，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题围绕长方形面积的代数运算展开，解题思路如下：①利用长方形面积公式（面积=长×宽），先表示出原、新长方形的面积，通过作差推导面积增加量的代数式；②将给定的长、宽数值代入面积增加量的代数式，计算具体数值；③根据“新面积是原面积的2倍”的条件建立等式，通过整式变形得到相关代数式的值，再代入所求式子的展开式，用整体思想计算结果。
【解析】
(1) 原长方形面积为 $ S_{\mathrm{原}} = ab \, (\mathrm{cm}^2) $，新长方形的长为 $ (a+2) \, \mathrm{cm} $，宽为 $ (b+3) \, \mathrm{cm} $，则新长方形面积为 $ S_{\mathrm{新}} = (a+2)(b+3) \, (\mathrm{cm}^2) $。
面积增加量为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{新}} - S_{\mathrm{原}} &= (a+2)(b+3) - ab \\&= ab + 3a + 2b + 6 - ab \\&= 3a + 2b + 6 \, (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
(2) 当 $ a=4 \, \mathrm{cm} $，$ b=3 \, \mathrm{cm} $ 时，代入(1)的结果：
$3a + 2b + 6 = 3 × 4 + 2 × 3 + 6 = 12 + 6 + 6 = 24 \, (\mathrm{cm}^2)$
(3) 由题意 $ S_{\mathrm{新}} = 2S_{\mathrm{原}} $，即：
$(a+2)(b+3) = 2ab$
展开左边并整理得：
$ab + 3a + 2b + 6 = 2ab \implies ab - 3a - 2b = 6$
将 $ (a-2)(b-3) $ 展开：
$(a-2)(b-3) = ab - 3a - 2b + 6$
把 $ ab - 3a - 2b = 6 $ 代入上式：
$6 + 6 = 12$
【答案】
(1) $ (3a+2b+6) \, \mathrm{cm}^2 $；(2) $ 24 \, \mathrm{cm}^2 $；(3) $ 12 $
【知识点】
长方形面积公式，整式的乘法与加减，代数式求值
【点评】
本题是整式运算在几何中的基础应用，核心是利用面积公式建立代数式，通过整式展开、整理和整体代入思想求解，重点考查学生对整式运算法则的掌握，难度适中。
【难度系数】
0.5
