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22.(10分)如图,一块半圆形钢板,从中挖去直径分别为$x,y$的两个半圆。
(1)求剩下钢板的面积。
(2)若当$x=4,y=2$时,剩下钢板的面积是多少($π$取3.14)?
(1)求剩下钢板的面积。
(2)若当$x=4,y=2$时,剩下钢板的面积是多少($π$取3.14)?
答案
22.(1)$S_剩=\frac{1}{2}·π(\frac{x+y}{2})^2-[\frac{1}{2}π·(\frac{x}{2})^2+\frac{1}{2}π·(\frac{y}{2})^2]=\frac{1}{2}·π·[\frac{(x+y)^2}{4}-\frac{x^2+y^2}{4}]=\frac{1}{4}πxy$。(2)当x=4,y=2时,$S_剩=\frac{1}{4}×3.14×2×4=6.28$。
解析
【分析】
要计算剩下钢板的面积，需用大半圆的面积减去挖去的两个小半圆的面积。先确定各半圆的半径：大半圆直径为$x+y$，半径为$\frac{x+y}{2}$；两个小半圆直径分别为$x$和$y$，半径分别为$\frac{x}{2}$和$\frac{y}{2}$。分别计算各半圆面积后，通过代数化简得到结果，再代入数值计算具体面积。
【解析】
(1) 大半圆的面积：$S_{大}=\frac{1}{2}π(\frac{x+y}{2})^2$
两个小半圆的面积和：$S_{小和}=\frac{1}{2}π(\frac{x}{2})^2 + \frac{1}{2}π(\frac{y}{2})^2$
剩下钢板的面积：
$\begin{aligned}S_{剩}&=S_{大}-S_{小和}\\&=\frac{1}{2}π·\frac{(x+y)^2}{4} - \frac{1}{2}π·\frac{x^2}{4} - \frac{1}{2}π·\frac{y^2}{4}\\&=\frac{π}{8}[(x^2+2xy+y^2)-x^2-y^2]\\&=\frac{π}{8}·2xy\\&=\frac{1}{4}πxy\end{aligned}$
(2) 当$x=4$，$y=2$，$π=3.14$时，代入得：
$S_{剩}=\frac{1}{4}×3.14×4×2=6.28$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}πxy$；(2) $6.28$
【知识点】
圆的面积、代数式化简、组合图形面积计算
【点评】
本题利用割补法将不规则图形面积转化为规则半圆的面积差，考查圆的面积公式应用与代数运算能力，关键是正确确定各半圆半径并化简表达式。
【难度系数】
0.5
要计算剩下钢板的面积，需用大半圆的面积减去挖去的两个小半圆的面积。先确定各半圆的半径：大半圆直径为$x+y$，半径为$\frac{x+y}{2}$；两个小半圆直径分别为$x$和$y$，半径分别为$\frac{x}{2}$和$\frac{y}{2}$。分别计算各半圆面积后，通过代数化简得到结果，再代入数值计算具体面积。
【解析】
(1) 大半圆的面积：$S_{大}=\frac{1}{2}π(\frac{x+y}{2})^2$
两个小半圆的面积和：$S_{小和}=\frac{1}{2}π(\frac{x}{2})^2 + \frac{1}{2}π(\frac{y}{2})^2$
剩下钢板的面积：
$\begin{aligned}S_{剩}&=S_{大}-S_{小和}\\&=\frac{1}{2}π·\frac{(x+y)^2}{4} - \frac{1}{2}π·\frac{x^2}{4} - \frac{1}{2}π·\frac{y^2}{4}\\&=\frac{π}{8}[(x^2+2xy+y^2)-x^2-y^2]\\&=\frac{π}{8}·2xy\\&=\frac{1}{4}πxy\end{aligned}$
(2) 当$x=4$，$y=2$，$π=3.14$时，代入得：
$S_{剩}=\frac{1}{4}×3.14×4×2=6.28$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}πxy$；(2) $6.28$
【知识点】
圆的面积、代数式化简、组合图形面积计算
【点评】
本题利用割补法将不规则图形面积转化为规则半圆的面积差，考查圆的面积公式应用与代数运算能力，关键是正确确定各半圆半径并化简表达式。
【难度系数】
0.5
23.(14分)【计算】
小红计算$(x-2y)^2+(2x-y)(2x+y)-x(□x-3y)-2y^2$时，得到的结果是$x^2+y^2-xy$，则“□”表示的数为________。
【发现】
小红对计算结果$x^2+y^2-xy$很感兴趣，她发现有些数$A$可以表示成$A=x^2+y^2-xy$($x,y$为自然数)的形式，她把这类数称为“神秘数”。例如：$3=2^2+1^2-2×1$，$19=5^2+3^2-5×3$，$327=19^2+17^2-19×17$，…，所以3，19，327是“神秘数”。请写出两个10以内的“神秘数”(不包含3)：______，________。
【探究】
小红进一步研究，发现像19，327这样的“神秘数”可以用两个连续奇数按发现中给出的运算表达出来，她把这些“神秘数”称为“双奇神秘数”。试说明所有“双奇神秘数”被4除余3。
【应用】
若两个“双奇神秘数”的差是12，则这两个“双奇神秘数”是________和________。
小红计算$(x-2y)^2+(2x-y)(2x+y)-x(□x-3y)-2y^2$时，得到的结果是$x^2+y^2-xy$，则“□”表示的数为________。
【发现】
小红对计算结果$x^2+y^2-xy$很感兴趣，她发现有些数$A$可以表示成$A=x^2+y^2-xy$($x,y$为自然数)的形式，她把这类数称为“神秘数”。例如：$3=2^2+1^2-2×1$，$19=5^2+3^2-5×3$，$327=19^2+17^2-19×17$，…，所以3，19，327是“神秘数”。请写出两个10以内的“神秘数”(不包含3)：______，________。
【探究】
小红进一步研究，发现像19，327这样的“神秘数”可以用两个连续奇数按发现中给出的运算表达出来，她把这些“神秘数”称为“双奇神秘数”。试说明所有“双奇神秘数”被4除余3。
【应用】
若两个“双奇神秘数”的差是12，则这两个“双奇神秘数”是________和________。
答案
23.【计算】因为$(x-2y)^2+(2x-y)(2x+y)-x(□x-3y)-2y^2=x^2-4xy+4y^2+4x^2-y^2-2y^2-x(□x-3y)=5x^2+y^2-4xy-x(□x-3y)=5x^2+y^2-xy-□x^2=x^2+y^2-xy$,所以$5x^2-□x^2=x^2$,所以□=4。故答案为4。
【发现】7 9 (答案不唯一)
【探究】设两个连续奇数为(2n-1),(2n+1),其中n为正整数,所以$(2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n+1)(2n-1)=4n^2+3$,所以所有“双奇神秘数”被4除余3。
【应用】由探究得,设第一个“双奇神秘数”为$4n^2+3$,第二个“双奇神秘数”为$4t^2+3$,所以$4n^2+3-(4t^2+3)=12$,所以$(n+t)(n-t)=3$,所以n+t=3,n-t=1,所以n=2,t=1,所以$4×2^2+3=19$,$4×1^2+3=7$。故答案为19;7。
【发现】7 9 (答案不唯一)
【探究】设两个连续奇数为(2n-1),(2n+1),其中n为正整数,所以$(2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n+1)(2n-1)=4n^2+3$,所以所有“双奇神秘数”被4除余3。
【应用】由探究得,设第一个“双奇神秘数”为$4n^2+3$,第二个“双奇神秘数”为$4t^2+3$,所以$4n^2+3-(4t^2+3)=12$,所以$(n+t)(n-t)=3$,所以n+t=3,n-t=1,所以n=2,t=1,所以$4×2^2+3=19$,$4×1^2+3=7$。故答案为19;7。
解析
【分析】
本题分为四个模块：计算模块需利用整式公式展开合并，对比系数求“□”；发现模块根据“神秘数”定义，代入自然数找10以内的符合数；探究模块设连续奇数，代入神秘数表达式化简，分析其除以4的余数；应用模块根据探究结论，设双奇神秘数列方程，结合整数性质求解两数。
【解析】
【计算】
展开并化简左边整式：
$\begin{aligned}&(x-2y)^2+(2x-y)(2x+y)-x(□x-3y)-2y^2\\=&x^2-4xy+4y^2+4x^2-y^2-□x^2+3xy-2y^2\\=&(5-□)x^2+y^2-xy\end{aligned}$
已知结果为$x^2+y^2-xy$，故$5-□=1$，解得$□=4$。
【发现】
根据“神秘数”定义$A=x^2+y^2-xy$（x,y为自然数），代入尝试得：
x=3,y=1时，$9+1-3=7$；x=3,y=3时，$9+9-9=9$，均为10以内且不含3的神秘数。
【探究】
设两个连续奇数为$2n-1,2n+1$（n为正整数），则双奇神秘数为：
$\begin{aligned}&(2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n+1)(2n-1)\\=&4n^2+4n+1+4n^2-4n+1-4n^2+1\\=&4n^2+3\end{aligned}$
因$4n^2$能被4整除，故$4n^2+3$被4除余3，即所有双奇神秘数被4除余3。
【应用】
设两双奇神秘数为$4n^2+3,4t^2+3$，差为12，则：
$(4n^2+3)-(4t^2+3)=12\implies n^2-t^2=3\implies(n+t)(n-t)=3$
n,t为正整数，得$\begin{cases}n+t=3\\n-t=1\end{cases}$，解得n=2,t=1，代入得两数为19和7。
【答案】
4；7，9；19，7
【知识点】
整式的运算、代数式求值、数的整除性
【点评】
本题综合考查整式运算、代数推理与数的性质，各小问衔接自然，需学生掌握公式应用和整数性质，难度适中，能考查代数综合能力。
【难度系数】
0.5
本题分为四个模块：计算模块需利用整式公式展开合并，对比系数求“□”；发现模块根据“神秘数”定义，代入自然数找10以内的符合数；探究模块设连续奇数，代入神秘数表达式化简，分析其除以4的余数；应用模块根据探究结论，设双奇神秘数列方程，结合整数性质求解两数。
【解析】
【计算】
展开并化简左边整式：
$\begin{aligned}&(x-2y)^2+(2x-y)(2x+y)-x(□x-3y)-2y^2\\=&x^2-4xy+4y^2+4x^2-y^2-□x^2+3xy-2y^2\\=&(5-□)x^2+y^2-xy\end{aligned}$
已知结果为$x^2+y^2-xy$，故$5-□=1$，解得$□=4$。
【发现】
根据“神秘数”定义$A=x^2+y^2-xy$（x,y为自然数），代入尝试得：
x=3,y=1时，$9+1-3=7$；x=3,y=3时，$9+9-9=9$，均为10以内且不含3的神秘数。
【探究】
设两个连续奇数为$2n-1,2n+1$（n为正整数），则双奇神秘数为：
$\begin{aligned}&(2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n+1)(2n-1)\\=&4n^2+4n+1+4n^2-4n+1-4n^2+1\\=&4n^2+3\end{aligned}$
因$4n^2$能被4整除，故$4n^2+3$被4除余3，即所有双奇神秘数被4除余3。
【应用】
设两双奇神秘数为$4n^2+3,4t^2+3$，差为12，则：
$(4n^2+3)-(4t^2+3)=12\implies n^2-t^2=3\implies(n+t)(n-t)=3$
n,t为正整数，得$\begin{cases}n+t=3\\n-t=1\end{cases}$，解得n=2,t=1，代入得两数为19和7。
【答案】
4；7，9；19，7
【知识点】
整式的运算、代数式求值、数的整除性
【点评】
本题综合考查整式运算、代数推理与数的性质，各小问衔接自然，需学生掌握公式应用和整数性质，难度适中，能考查代数综合能力。
【难度系数】
0.5
