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1.(2024·绍兴柯桥)下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是 ………………………………（
A.$16 - a^2=(4 + a)(4 - a)$
B.$x^2 - 2x=(x^2 - x)-x$
C.$x + 2=x(1+\dfrac{2}{x})$
D.$y(y - 3)=y^2 - 3y$
A
）A.$16 - a^2=(4 + a)(4 - a)$
B.$x^2 - 2x=(x^2 - x)-x$
C.$x + 2=x(1+\dfrac{2}{x})$
D.$y(y - 3)=y^2 - 3y$
答案
1.A
解析
【分析】首先明确因式分解的核心定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。需从“变形对象是多项式、结果是整式的积、不含分式”三个关键维度判断各选项：
1. 选项A：左边是多项式，右边是两个整式的积，符合定义；
2. 选项B：右边是整式的差的形式，不是乘积，不符合；
3. 选项C：右边含分式$\frac{2}{x}$，不是整式，不符合；
4. 选项D：是整式的积化为多项式，属于整式乘法，而非因式分解，不符合。
【解析】根据因式分解的定义，逐一分析选项：
选项A：$16 - a^2$是多项式，变形为$(4 + a)(4 - a)$，是两个整式的积，满足因式分解的要求，正确；
选项B：右边$(x^2 - x) - x$是整式的差的形式，不是几个整式的乘积，不符合；
选项C：右边$x(1+\dfrac{2}{x})$中$\frac{2}{x}$是分式，不属于整式，不符合因式分解对“整式”的要求；
选项D：$y(y - 3)=y^2 - 3y$是从整式的积转化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合。
【答案】A
【知识点】因式分解的定义
【点评】本题考查因式分解的基础概念，核心是准确把握因式分解的本质：变形后为几个整式的乘积形式，需区分因式分解与整式乘法，以及结果是否为整式，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】0.8
1. 选项A：左边是多项式，右边是两个整式的积，符合定义；
2. 选项B：右边是整式的差的形式，不是乘积，不符合；
3. 选项C：右边含分式$\frac{2}{x}$，不是整式，不符合；
4. 选项D：是整式的积化为多项式，属于整式乘法，而非因式分解，不符合。
【解析】根据因式分解的定义，逐一分析选项：
选项A：$16 - a^2$是多项式，变形为$(4 + a)(4 - a)$，是两个整式的积，满足因式分解的要求，正确；
选项B：右边$(x^2 - x) - x$是整式的差的形式，不是几个整式的乘积，不符合；
选项C：右边$x(1+\dfrac{2}{x})$中$\frac{2}{x}$是分式，不属于整式，不符合因式分解对“整式”的要求；
选项D：$y(y - 3)=y^2 - 3y$是从整式的积转化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合。
【答案】A
【知识点】因式分解的定义
【点评】本题考查因式分解的基础概念，核心是准确把握因式分解的本质：变形后为几个整式的乘积形式，需区分因式分解与整式乘法，以及结果是否为整式，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】0.8
2.(2024·金华武义)下列的因式分解正确的是 ………………………………………………………………（
A.$(x+3)(x-3)=x^2-9$
B.$x^2-2x+1=(x-1)^2$
C.$x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)$
D.$xy+x+y=x(y+1)+y$
B
）A.$(x+3)(x-3)=x^2-9$
B.$x^2-2x+1=(x-1)^2$
C.$x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)$
D.$xy+x+y=x(y+1)+y$
答案
2.B
解析
【分析】首先明确因式分解的核心：将多项式化为几个整式的积的形式，且分解需彻底。逐一分析各选项：A是整式乘法（积化多项式），不符合因式分解定义；B符合定义且分解彻底；C分解不彻底（$x^2-4$还可继续分解）；D右边不是整式的积的形式，不符合要求。
【解析】根据因式分解的定义（把多项式转化为几个整式积的形式），逐一判断选项：
选项A：$(x+3)(x-3)=x^2-9$属于整式乘法，是从积到多项式的变形，不是因式分解，错误；
选项B：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，将多项式转化为整式的积，且分解彻底，符合因式分解要求，正确；
选项C：$x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)$，其中$x^2-4$可进一步分解为$(x-2)(x+2)$，分解不彻底，错误；
选项D：$xy+x+y=x(y+1)+y$，右边是和的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解定义，错误。
【答案】B
【知识点】因式分解的定义、完全平方公式、平方差公式
【点评】本题考查因式分解的基本概念及公式的应用，需牢记因式分解需满足“整式积的形式”和“分解彻底”两个关键条件，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.6
【解析】根据因式分解的定义（把多项式转化为几个整式积的形式），逐一判断选项：
选项A：$(x+3)(x-3)=x^2-9$属于整式乘法，是从积到多项式的变形，不是因式分解，错误；
选项B：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，将多项式转化为整式的积，且分解彻底，符合因式分解要求，正确；
选项C：$x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)$，其中$x^2-4$可进一步分解为$(x-2)(x+2)$，分解不彻底，错误；
选项D：$xy+x+y=x(y+1)+y$，右边是和的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解定义，错误。
【答案】B
【知识点】因式分解的定义、完全平方公式、平方差公式
【点评】本题考查因式分解的基本概念及公式的应用，需牢记因式分解需满足“整式积的形式”和“分解彻底”两个关键条件，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.6
3. (2024·宁波江北)下列各式中,能用平方差公式分解因式的是 ………………………………………… (
A.$x^2 + 4y^2$
B.$-x^2 + 4y^2$
C.$x^2 - 2y + 1$
D.$-x^2 - 4y^2$
B
)A.$x^2 + 4y^2$
B.$-x^2 + 4y^2$
C.$x^2 - 2y + 1$
D.$-x^2 - 4y^2$
答案
3.B
解析
【分析】要判断哪个式子能用平方差公式分解因式，需先明确平方差公式分解因式的适用条件：多项式为两项式，两项都能写成平方的形式，且两项的符号相反（异号）。接下来逐一分析选项是否满足该条件即可。
【解析】平方差公式分解因式的要求：①多项式是两项式；②两项均为平方项；③两项符号相反（一正一负）。
选项A：$x^2 + 4y^2$，两项都是平方项，但符号相同，不满足条件，不能用平方差公式分解；
选项B：$-x^2 + 4y^2 = (2y)^2 - x^2$，是两项式，两项均为平方项，且符号相反，符合平方差公式分解的条件；
选项C：$x^2 - 2y + 1$，是三项式，不满足两项式的要求，不能用平方差公式分解；
选项D：$-x^2 - 4y^2 = -(x^2 + 4y^2)$，两项都是平方项，但符号相同，不满足条件，不能用平方差公式分解。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】平方差公式分解因式、因式分解
【点评】本题考查平方差公式分解因式的适用条件，属于基础题型，只要牢记公式的要求即可快速判断，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】平方差公式分解因式的要求：①多项式是两项式；②两项均为平方项；③两项符号相反（一正一负）。
选项A：$x^2 + 4y^2$，两项都是平方项，但符号相同，不满足条件，不能用平方差公式分解；
选项B：$-x^2 + 4y^2 = (2y)^2 - x^2$，是两项式，两项均为平方项，且符号相反，符合平方差公式分解的条件；
选项C：$x^2 - 2y + 1$，是三项式，不满足两项式的要求，不能用平方差公式分解；
选项D：$-x^2 - 4y^2 = -(x^2 + 4y^2)$，两项都是平方项，但符号相同，不满足条件，不能用平方差公式分解。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】平方差公式分解因式、因式分解
【点评】本题考查平方差公式分解因式的适用条件，属于基础题型，只要牢记公式的要求即可快速判断，难度较低。
【难度系数】0.8
4.(2024·金华浦江)如图,两条线段把正方形ABCD分割出边长分别为a,b的两个小正方形,则利用该图形可以验证因式分解成立的是 ……………………（
A.$b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$
B.$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
C.$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
D.$a^2 + b^2 = ab(a + b)$
B
）A.$b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$
B.$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
C.$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
D.$a^2 + b^2 = ab(a + b)$
答案
4.B
解析
【分析】
要解决这道题，需利用“图形面积相等”的思路，先确定大正方形的边长，分别计算大正方形的面积和分割后各部分的面积之和，再对应因式分解公式即可。观察图形可知，大正方形的边长是两个小正方形的边长之和（$a+b$），再分别计算大正方形面积与分割后各部分的面积，通过面积相等推导对应的因式分解式。
【解析】
1. 计算大正方形的面积：由图可知，正方形ABCD的边长为$a+b$，因此大正方形的面积为$(a+b)^2$。
2. 计算分割后各部分的面积和：分割后的图形包含边长为$a$的小正方形（面积$a^2$）、边长为$b$的小正方形（面积$b^2$），以及2个长为$b$、宽为$a$的长方形（每个面积为$ab$，2个共$2ab$），总面积为$a^2 + b^2 + 2ab = a^2 + 2ab + b^2$。
3. 因为大正方形面积等于分割后各部分面积之和，所以$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、因式分解、正方形面积
【点评】
本题通过数形结合的方式，利用图形面积验证完全平方公式，是因式分解的基础题型，考查学生对面积法的理解与应用。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需利用“图形面积相等”的思路，先确定大正方形的边长，分别计算大正方形的面积和分割后各部分的面积之和，再对应因式分解公式即可。观察图形可知，大正方形的边长是两个小正方形的边长之和（$a+b$），再分别计算大正方形面积与分割后各部分的面积，通过面积相等推导对应的因式分解式。
【解析】
1. 计算大正方形的面积：由图可知，正方形ABCD的边长为$a+b$，因此大正方形的面积为$(a+b)^2$。
2. 计算分割后各部分的面积和：分割后的图形包含边长为$a$的小正方形（面积$a^2$）、边长为$b$的小正方形（面积$b^2$），以及2个长为$b$、宽为$a$的长方形（每个面积为$ab$，2个共$2ab$），总面积为$a^2 + b^2 + 2ab = a^2 + 2ab + b^2$。
3. 因为大正方形面积等于分割后各部分面积之和，所以$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、因式分解、正方形面积
【点评】
本题通过数形结合的方式，利用图形面积验证完全平方公式，是因式分解的基础题型，考查学生对面积法的理解与应用。
【难度系数】
0.7
5.若$x^2 + mx - 10 = (x - 5)(x + n)$，则$m + n$的值为 ……………………（
A.$5$
B.$-1$
C.$-5$
D.$1$
B
）A.$5$
B.$-1$
C.$-5$
D.$1$
答案
5.B
解析
【分析】
要解决本题，需先利用多项式乘多项式法则展开等式右侧，再根据“多项式相等则对应项系数相等”的性质，分别求出m、n的值，最后计算m+n并选出对应选项。
【解析】
先将等式右边的乘积展开：
$(x - 5)(x + n) = x^2 + nx - 5x - 5n = x^2 + (n - 5)x - 5n$
因为$x^2 + mx - 10 = (x - 5)(x + n)$，左右两边多项式对应项系数相等：
1. 常数项：$-5n = -10$，解得$n = 2$；
2. 一次项系数：$m = n - 5$，将$n=2$代入得$m = 2 - 5 = -3$；
则$m + n = -3 + 2 = -1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式、多项式相等的条件
【点评】
本题为代数基础题，核心考查多项式乘法运算及对应系数相等的应用，解题关键是正确展开多项式并对应系数求解，难度较低，适合巩固代数基础。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先利用多项式乘多项式法则展开等式右侧，再根据“多项式相等则对应项系数相等”的性质，分别求出m、n的值，最后计算m+n并选出对应选项。
【解析】
先将等式右边的乘积展开：
$(x - 5)(x + n) = x^2 + nx - 5x - 5n = x^2 + (n - 5)x - 5n$
因为$x^2 + mx - 10 = (x - 5)(x + n)$，左右两边多项式对应项系数相等：
1. 常数项：$-5n = -10$，解得$n = 2$；
2. 一次项系数：$m = n - 5$，将$n=2$代入得$m = 2 - 5 = -3$；
则$m + n = -3 + 2 = -1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式、多项式相等的条件
【点评】
本题为代数基础题，核心考查多项式乘法运算及对应系数相等的应用，解题关键是正确展开多项式并对应系数求解，难度较低，适合巩固代数基础。
【难度系数】
0.7
6.给出三个多项式:①$a^{2}+3ab-2b^{2}$;②$b^{2}-3ab$;③$ab+6b^{2}$。任意选择两个多项式进行加法运算,并把结果因式分解,正确的是 ……………………………………………………………（
A.$a^{2}+3ab-2b^{2}+b^{2}-3ab=(a-b)^{2}$
B.$a^{2}+3ab-2b^{2}+ab+6b^{2}=(a+4b)^{2}$
C.$b^{2}-3ab+ab+6b^{2}=b(7b-2a)$
D.$a^{2}+3ab-2b^{2}+b^{2}-3ab=a^{2}-b^{2}$
C
）A.$a^{2}+3ab-2b^{2}+b^{2}-3ab=(a-b)^{2}$
B.$a^{2}+3ab-2b^{2}+ab+6b^{2}=(a+4b)^{2}$
C.$b^{2}-3ab+ab+6b^{2}=b(7b-2a)$
D.$a^{2}+3ab-2b^{2}+b^{2}-3ab=a^{2}-b^{2}$
答案
6.C
解析
【分析】
要判断各选项是否正确，需先计算每个选项中两个多项式的和，再对和进行因式分解，最后对比选项给出的结果，确认是否符合“加法后因式分解”的要求。
【解析】
对每个选项逐一分析：
1. 选项A：计算①+②：
$(a^2 + 3ab - 2b^2) + (b^2 - 3ab) = a^2 + (3ab - 3ab) + (-2b^2 + b^2) = a^2 - b^2$，因式分解应为$(a+b)(a-b)$，选项给出的结果是$(a-b)^2$，错误。
2. 选项B：计算①+③：
$(a^2 + 3ab - 2b^2) + (ab + 6b^2) = a^2 + (3ab + ab) + (-2b^2 + 6b^2) = a^2 + 4ab + 4b^2$，因式分解应为$(a+2b)^2$，选项给出的结果是$(a+4b)^2$，错误。
3. 选项C：计算②+③：
$(b^2 - 3ab) + (ab + 6b^2) = 7b^2 - 2ab$，提取公因式$b$得$b(7b - 2a)$，与选项结果一致，正确。
4. 选项D：①+②的和为$a^2 - b^2$，但题目要求“把结果因式分解”，$a^2 - b^2$未完成因式分解，不符合要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
整式加减、因式分解
【点评】
本题考查整式加法运算与因式分解的结合，需注意运算的准确性，且因式分解要彻底，符合题目要求。
【难度系数】
0.5
要判断各选项是否正确，需先计算每个选项中两个多项式的和，再对和进行因式分解，最后对比选项给出的结果，确认是否符合“加法后因式分解”的要求。
【解析】
对每个选项逐一分析：
1. 选项A：计算①+②：
$(a^2 + 3ab - 2b^2) + (b^2 - 3ab) = a^2 + (3ab - 3ab) + (-2b^2 + b^2) = a^2 - b^2$，因式分解应为$(a+b)(a-b)$，选项给出的结果是$(a-b)^2$，错误。
2. 选项B：计算①+③：
$(a^2 + 3ab - 2b^2) + (ab + 6b^2) = a^2 + (3ab + ab) + (-2b^2 + 6b^2) = a^2 + 4ab + 4b^2$，因式分解应为$(a+2b)^2$，选项给出的结果是$(a+4b)^2$，错误。
3. 选项C：计算②+③：
$(b^2 - 3ab) + (ab + 6b^2) = 7b^2 - 2ab$，提取公因式$b$得$b(7b - 2a)$，与选项结果一致，正确。
4. 选项D：①+②的和为$a^2 - b^2$，但题目要求“把结果因式分解”，$a^2 - b^2$未完成因式分解，不符合要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
整式加减、因式分解
【点评】
本题考查整式加法运算与因式分解的结合，需注意运算的准确性，且因式分解要彻底，符合题目要求。
【难度系数】
0.5
7.如图,长方形的长和宽分别是$x,y$,它的周长为14,面积为10,则$x^2y+xy^2$的值为………………………………………………（
A.140
B.70
C.14
D.10
B
）A.140
B.70
C.14
D.10
答案
7.B
解析
【分析】要解决该问题，需先利用长方形的周长、面积公式求出$x+y$和$xy$的值；再对所求代数式因式分解，将其转化为用$x+y$和$xy$表示的形式，最后代入计算即可。
【解析】根据长方形周长公式：$周长=2×(长+宽)$，已知周长为14，可得$2(x+y)=14$，解得$x+y=7$；根据长方形面积公式：$面积=长×宽$，已知面积为10，可得$xy=10$。对所求代数式因式分解：$x^2y+xy^2=xy(x+y)$，将$x+y=7$、$xy=10$代入，计算得$10×7=70$，因此答案选B。
【答案】B
【知识点】因式分解、代数式求值、长方形周长与面积
【点评】本题结合长方形的周长和面积公式，考查代数式的因式分解与求值，核心是将所求代数式转化为已知条件的形式以简化计算，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】根据长方形周长公式：$周长=2×(长+宽)$，已知周长为14，可得$2(x+y)=14$，解得$x+y=7$；根据长方形面积公式：$面积=长×宽$，已知面积为10，可得$xy=10$。对所求代数式因式分解：$x^2y+xy^2=xy(x+y)$，将$x+y=7$、$xy=10$代入，计算得$10×7=70$，因此答案选B。
【答案】B
【知识点】因式分解、代数式求值、长方形周长与面积
【点评】本题结合长方形的周长和面积公式，考查代数式的因式分解与求值，核心是将所求代数式转化为已知条件的形式以简化计算，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】0.6
8.若实数$x$满足$x^2 - 2x - 1 = 0$,则$2x^3 - 7x^2 + 4x - 2024$的值为…………………………（
A.$-2027$
B.$-2026$
C.$-2025$
D.$-2024$
A
）A.$-2027$
B.$-2026$
C.$-2025$
D.$-2024$
答案
8.A
解析
【分析】本题是已知一元二次方程求高次代数式的值，核心思路是利用降次法结合整体代入思想简化计算：先由已知方程变形得到低次项表达式，再将高次项逐步替换为低次项，最后代入原式计算即可。
【解析】由$x^2 - 2x -1=0$，得$x^2=2x+1$。
对三次项$x^3$变形：$x^3 = x· x^2 = x(2x+1)=2x^2 + x$，将$x^2=2x+1$代入得：$x^3=2(2x+1)+x=5x+2$。
将$x^3=5x+2$、$x^2=2x+1$代入原式：
$\begin{aligned}&2x^3 -7x^2 +4x -2024\\=&2(5x+2) -7(2x+1)+4x -2024\\=&10x +4 -14x -7 +4x -2024\\=&(10x-14x+4x)+(4-7)-2024\\=&0 -3 -2024\\=&-2027\end{aligned}$
【答案】A
【知识点】代数式化简求值、降次法、整体代入思想
【点评】本题考查代数求值的常用技巧，通过降次避免直接求解无理数$x$，简化计算过程，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】由$x^2 - 2x -1=0$，得$x^2=2x+1$。
对三次项$x^3$变形：$x^3 = x· x^2 = x(2x+1)=2x^2 + x$，将$x^2=2x+1$代入得：$x^3=2(2x+1)+x=5x+2$。
将$x^3=5x+2$、$x^2=2x+1$代入原式：
$\begin{aligned}&2x^3 -7x^2 +4x -2024\\=&2(5x+2) -7(2x+1)+4x -2024\\=&10x +4 -14x -7 +4x -2024\\=&(10x-14x+4x)+(4-7)-2024\\=&0 -3 -2024\\=&-2027\end{aligned}$
【答案】A
【知识点】代数式化简求值、降次法、整体代入思想
【点评】本题考查代数求值的常用技巧，通过降次避免直接求解无理数$x$，简化计算过程，难度适中。
【难度系数】0.6
9.(2024·衢州江山、开化)已知实数$x,y$满足等式$x^2+2xy+2y^2-2y=-1$,则$x+2y$的值为 (
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.无法计算
C
)A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.无法计算
答案
9.C
解析
【分析】
要解决该问题，需通过配方法将已知等式转化为非负数平方和为0的形式，利用偶次幂的非负性求出x、y的值，再代入计算x+2y的值。首先将等式右边的项移到左边，对左边多项式拆项配方，构造完全平方，根据平方的非负性得到方程组，解出x、y后代入目标式即可。
【解析】
已知$x^2 + 2xy + 2y^2 - 2y = -1$，移项得：
$x^2 + 2xy + 2y^2 - 2y + 1 = 0$
将左边拆项配方：
$(x^2 + 2xy + y^2) + (y^2 - 2y + 1) = 0$
根据完全平方公式转化为：
$(x + y)^2 + (y - 1)^2 = 0$
因为平方数非负，即$(x + y)^2 ≥ 0$，$(y - 1)^2 ≥ 0$，两个非负数和为0则各自为0，因此：
$\begin{cases}x + y = 0 \\ y - 1 = 0\end{cases}$
解得$y = 1$，代入$x + y = 0$得$x = -1$
则$x + 2y = -1 + 2×1 = 1$
【答案】
C
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质：偶次方；代数式求值
【点评】
本题核心是利用配方法构造完全平方，结合偶次幂的非负性求解未知数，属于代数求值的基础题型，思路清晰，步骤明确，是常见的考点。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需通过配方法将已知等式转化为非负数平方和为0的形式，利用偶次幂的非负性求出x、y的值，再代入计算x+2y的值。首先将等式右边的项移到左边，对左边多项式拆项配方，构造完全平方，根据平方的非负性得到方程组，解出x、y后代入目标式即可。
【解析】
已知$x^2 + 2xy + 2y^2 - 2y = -1$，移项得：
$x^2 + 2xy + 2y^2 - 2y + 1 = 0$
将左边拆项配方：
$(x^2 + 2xy + y^2) + (y^2 - 2y + 1) = 0$
根据完全平方公式转化为：
$(x + y)^2 + (y - 1)^2 = 0$
因为平方数非负，即$(x + y)^2 ≥ 0$，$(y - 1)^2 ≥ 0$，两个非负数和为0则各自为0，因此：
$\begin{cases}x + y = 0 \\ y - 1 = 0\end{cases}$
解得$y = 1$，代入$x + y = 0$得$x = -1$
则$x + 2y = -1 + 2×1 = 1$
【答案】
C
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质：偶次方；代数式求值
【点评】
本题核心是利用配方法构造完全平方，结合偶次幂的非负性求解未知数，属于代数求值的基础题型，思路清晰，步骤明确，是常见的考点。
【难度系数】
0.5
10. 已知,直角三角形的两直角边为$a,b$,斜边为$c$,满足$a^2 - 4b^2 = 0$且$a^2 + b^2 = 5$,则此直角三角形的面积为 ………………………………………………………………………………………………（
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.$\sqrt{5}$
A
）A.1
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.$\sqrt{5}$
答案
10.A 解析:因为$a^2 - 4b^2=(a - 2b)(a + 2b)$,且$a^2 - 4b^2=0$,所以$(a - 2b)(a + 2b)=0$。因为$a,b$为直角三角形的两直角边,所以$a + 2b＞0$,所以$a - 2b=0$,即$a=2b$。因为$a^2 + b^2=(2b)^2 + b^2=5b^2$,且$a^2 + b^2=5$,所以$5b^2=5$,解得$b=1$(负值已舍去),所以$a=2b=2$,所以此直角三角形的面积为$\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}×2×1=1$。故选 A。
解析
【分析】
要解决该问题，需先求出直角三角形的两条直角边$a$、$b$的值，再计算面积。首先对已知的方程$a^2 - 4b^2 = 0$用平方差公式因式分解，结合边长为正的隐含条件确定$a$与$b$的关系，再代入另一方程求出$a$、$b$，最后利用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：因为$a^2 - 4b^2 = 0$，利用平方差公式因式分解得：$(a - 2b)(a + 2b) = 0$。
又因为$a$、$b$是直角三角形的直角边，所以$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，故$a + 2b ＞ 0$，因此只能$a - 2b = 0$，即$a = 2b$。
将$a = 2b$代入$a^2 + b^2 = 5$中，得：$(2b)^2 + b^2 = 5$，即$4b^2 + b^2 = 5$，化简得$5b^2 = 5$，解得$b^2 = 1$。
因为$b ＞ 0$，所以$b = 1$，则$a = 2b = 2$。
根据直角三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab$，代入$a = 2$、$b = 1$得：$S = \frac{1}{2}×2×1 = 1$。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、直角三角形面积计算
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础题，核心考查平方差公式的应用和直角三角形的基本性质，解题关键是利用边长为正的隐含条件简化方程，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决该问题，需先求出直角三角形的两条直角边$a$、$b$的值，再计算面积。首先对已知的方程$a^2 - 4b^2 = 0$用平方差公式因式分解，结合边长为正的隐含条件确定$a$与$b$的关系，再代入另一方程求出$a$、$b$，最后利用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：因为$a^2 - 4b^2 = 0$，利用平方差公式因式分解得：$(a - 2b)(a + 2b) = 0$。
又因为$a$、$b$是直角三角形的直角边，所以$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，故$a + 2b ＞ 0$，因此只能$a - 2b = 0$，即$a = 2b$。
将$a = 2b$代入$a^2 + b^2 = 5$中，得：$(2b)^2 + b^2 = 5$，即$4b^2 + b^2 = 5$，化简得$5b^2 = 5$，解得$b^2 = 1$。
因为$b ＞ 0$，所以$b = 1$，则$a = 2b = 2$。
根据直角三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab$，代入$a = 2$、$b = 1$得：$S = \frac{1}{2}×2×1 = 1$。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、直角三角形面积计算
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础题，核心考查平方差公式的应用和直角三角形的基本性质，解题关键是利用边长为正的隐含条件简化方程，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
