11. (2024·湖州德清)多项式$3mn - 6mn^2$应提取的公因式是$\underline{3mn}$。

11.$3mn$

【分析】要确定多项式的公因式，需遵循公因式的确定规则：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，最后取相同字母的最低次幂。
【解析】对于多项式$3mn - 6mn^2$：
1. 定系数：各项系数为3和-6，它们的最大公约数是3；
2. 定字母：两项都含有的相同字母是m和n；
3. 定指数：m的次数都是1，n的次数分别为1和2，最低次幂是1；
因此，该多项式应提取的公因式是$3mn$。
【答案】$3mn$
【知识点】公因式的确定
【点评】本题考查多项式公因式的确定，属于基础知识点，掌握公因式的确定方法即可快速解答。
【难度系数】0.9

12.(2024·宁波余姚)若方程$x^2-(m-2)x+1=0$的左边可以写成一个完全平方式,则$m$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$。

12.$0$或$4$

【分析】首先明确完全平方式的结构为$a^2\pm2ab+b^2$，本题中方程左边$x^2-(m-2)x+1$可看作$x^2 - (m-2)x +1^2$，对比完全平方式，中间项系数需满足$\pm2× x×1$，因此可列出关于$m$的方程，分两种情况求解即可。
【解析】因为方程左边$x^2-(m-2)x+1$是完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，中间项系数等于$\pm2×1×1=\pm2$，因此有：
$-(m - 2) = 2$ 或 $-(m - 2) = -2$
解第一个方程：$-m +2 =2$，得$m=0$；
解第二个方程：$-m +2 = -2$，得$m=4$；
综上，$m$的值为$0$或$4$。
【答案】0或4
【知识点】完全平方式，一元二次方程
【点评】本题考查完全平方式的结构，需注意完全平方式有两种形式，解题时要考虑全面，避免漏解，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.6

13.(2024·绍兴嵊州)对于二次三项式$x^2+mx+n$,如果能将常数项$n$分解成两个因数$a,b$,使$a,b$的和恰好等于一次项系数$m$,即$ab=n,a+b=m$,就能将$x^2+mx+n$分解因式。这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”。为使分解过程直观,常常采用图示的方法,将二次项系数与常数项的因数分列两边(如图),再交叉相乘并求和,检验是否等于一次项系数,进而进行分解。则代数式$x^2-2x-15$因式分解的结果为________。

13.$(x-5)(x+3)$

【分析】
要使用十字相乘法分解二次三项式$x^2+mx+n$，需找到两个数$a$、$b$，满足$ab=n$且$a+b=m$。对于本题的$x^2-2x-15$，对应$m=-2$，$n=-15$，需寻找乘积为$-15$、和为$-2$的两个数，再代入分解式即可得到结果。
【解析】
根据十字相乘法分解因式的规则：对于二次三项式$x^2+mx+n$，若存在两个数$a$、$b$，使得$ab=n$，$a+b=m$，则$x^2+mx+n=(x+a)(x+b)$。
对于$x^2-2x-15$，需找两个数，满足乘积为$-15$、和为$-2$，经计算，$-5$和$3$满足：$(-5)×3=-15$，$(-5)+3=-2$。
因此，$x^2-2x-15=(x-5)(x+3)$。
【答案】
$(x-5)(x+3)$
【知识点】
十字相乘法分解因式
【点评】
本题考查十字相乘法分解二次三项式，核心是准确找到满足乘积与和条件的两个数，属于因式分解的基础题型，需熟练掌握十字相乘法的应用规则。
【难度系数】
0.6

14.(2024·绍兴越城、上虞)若$x^2+xy=17-a,y^2+xy=8+a$,则$x+y=$______。

14.$\pm5$

【分析】观察两个已知等式，发现将它们左右两边分别相加后，含参数$a$的项会相互抵消，左边可整理为完全平方形式，进而求出$(x+y)^2$的值，最终得到$x+y$的结果。
【解析】将两个已知等式左右两边分别相加：
$\begin{aligned}(x^2 + xy) + (y^2 + xy) &= (17 - a) + (8 + a)\\x^2 + 2xy + y^2 &= 25\\(x + y)^2 &= 25\end{aligned}$
根据平方根的定义，若一个数的平方为25，则这个数为$\pm5$，因此$x + y = \pm5$。
【答案】$\pm5$
【知识点】完全平方公式、代数式求值
【点评】本题通过等式相加消去参数，利用完全平方公式变形求解，是代数式求值的基础题型，关键在于观察式子结构找到简便运算方法。
【难度系数】0.6

15. 已知$2^{64} -1$能被在10到20之间的两个整数整除，则这两个整数为$\underline{\hspace{5cm}}$。

15.$15$和$17$ 解析:原式$=(2^{32}+1)(2^{32}-1)=(2^{32}+1)(2^{16}+1)(2^{16}-1)=(2^{32}+1)(2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1)=(2^{32}+1)(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)=(2^{32}+1)(2^{16}+1)(2^8+1)×17×15$,所以$2^{64}-1$能被在10到20之间的两个整数整除,这两个整数为17和15。

【分析】要找到10到20之间能整除$2^{64}-1$的整数，需对$2^{64}-1$进行因式分解，利用平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$逐步分解，最终筛选出在10到20范围内的因数即可。
【解析】$2^{64}-1=(2^{32})^2 -1^2=(2^{32}-1)(2^{32}+1)$；
继续分解$2^{32}-1=(2^{16})^2 -1=(2^{16}-1)(2^{16}+1)$；
再分解$2^{16}-1=(2^8)^2 -1=(2^8 -1)(2^8 +1)$；
接着分解$2^8 -1=(2^4)^2 -1=(2^4 -1)(2^4 +1)$；
计算得$2^4=16$，所以$2^4 -1=15$，$2^4 +1=17$，这两个数均在10到20之间，因此$2^{64}-1$能被15和17整除。
【答案】15和17
【知识点】因式分解（平方差公式）
【点评】本题考查平方差公式的应用，核心是通过多次运用平方差公式对高次幂的差进行因式分解，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构，逐步分解后筛选符合范围的因数。
【难度系数】0.5

16.定义:如果一个正整数能表示为两个正整数m,n的平方差,且$m-n=4$,则称这个正整数为"师一优数"。例如,$5-1=4,24=5^2-1^2,24$就是一个"师一优数"。若将"师一优数"从小到大排列,则第3个"师一优数"是________;第251个"师一优数"是________。

16.$40$ $2024$ 解析:由题知,令两个正整数分别为$a$和$a-4$,则“师一优数”可表示为$a^2-(a-4)^2=(a+a-4)(a-a+4)=8(a-2)$,又因为$a-4＞0$,所以$a＞4$,且$a$为正整数,则当$a=5$时,第1个“师一优数”为24;当$a=6$时,第2个“师一优数”为32;当$a=7$时,第3个“师一优数”为40……由此可见,第$n$个“师一优数”可表示为$8n+16$,当$n=251$时,$8n+16=8×251+16=2024$,即第251个“师一优数”为2024。

【分析】
要解决这道题，首先根据“师一优数”的定义，设两个正整数为m、n，满足m-n=4，将“师一优数”表示为m²-n²，利用平方差公式化简得到该数的表达式；再结合n为正整数的条件确定m的取值，计算前几个“师一优数”，总结出第n个“师一优数”的规律，最后代入n的值计算即可。
【解析】
设两个正整数为m、n，由定义知m-n=4，且n为正整数，故n=m-4＞0，即m＞4（m为正整数）。
根据平方差公式，“师一优数”可表示为：
m² -n² = m² - (m-4)² = (m - (m-4))(m + (m-4)) = 4×(2m -4) = 8(m -2)。
依次计算前几个“师一优数”：
当m=5时，8×(5-2)=24，即第1个“师一优数”为24；
当m=6时，8×(6-2)=32，即第2个“师一优数”为32；
当m=7时，8×(7-2)=40，即第3个“师一优数”为40；
观察规律：第1个“师一优数”24=8×1 +16，第2个32=8×2 +16，第3个40=8×3 +16，故第n个“师一优数”的表达式为8n +16。
当n=251时，8×251 +16 = 2008 +16 =2024，即第251个“师一优数”为2024。
【答案】
40；2024
【知识点】
平方差公式，规律探索
【点评】
本题结合新定义考查平方差公式的应用，核心是通过代数变形将新定义的数转化为可计算的代数式，再通过前几个数的计算总结规律，难度适中，需要学生具备一定的代数运算和归纳能力。
【难度系数】
0.5

三、解答题(共56分)
17.(6分)(2024·绍兴嵊州)分解因式:
(1)$4a^2 - 1$;
(2)$2(a + b)^2 - a - b$。

17.(1)$原式=(2a+1)(2a-1)$。
(2)$原式=(a+b)(2a+2b-1)$。

【分析】
分解因式的目标是将多项式转化为几个整式乘积的形式，常用方法有提公因式法、公式法等。第(1)题的多项式符合平方差公式的结构特征，可直接用平方差公式分解；第(2)题的两项含有相同的公因式，先通过变形找到公因式，再用提公因式法分解即可。
【解析】
(1) 观察多项式$4a^2 -1$，可变形为$(2a)^2 -1^2$，符合平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$（其中$x=2a$，$y=1$），因此：
$原式=(2a+1)(2a-1)$；
(2) 先将多项式$2(a+b)^2 -a -b$变形为$2(a+b)^2 - (a+b)$，两项的公因式为$(a+b)$，提取公因式后整理：
$原式=(a+b)[2(a+b)-1]=(a+b)(2a+2b-1)$。
【答案】
(1)$(2a+1)(2a-1)$；(2)$(a+b)(2a+2b-1)$
【知识点】
因式分解（平方差公式）、因式分解（提公因式法）
【点评】
本题考查基础的因式分解，分别运用平方差公式和提公因式法，是因式分解的核心基础方法，属于常规题型，需熟练掌握公式结构和公因式的提取技巧。
【难度系数】
0.8

18.(6分)(2024·宁波余姚)科技点亮未来,创新改变生活。某校七年级1班同学参加了学校科技节比赛,制作了如图1所示的航天火箭模型,为了向全校同学宣传自己的科技作品,用KT板制作了如图2所示的宣传版画,它是由一个三角形,两个梯形组成,已知KT板(阴影部分)的尺寸如图2所示。
(1)用含a,b的代数式表示图2的KT板的总面积(结果需化简)。
(2)若$a+b=7,ab=\frac{45}{4}$,求KT板的总面积。

18.(1)$3a^2+3b^2$。
(2)$\dfrac{159}{2}$。

【分析】
本题需将阴影部分的组合图形拆分为规则图形（三角形、两个梯形），分别计算各部分面积后求和化简，得到总面积的代数式；第二问利用完全平方公式，将已知的$a+b$和$ab$的值代入化简后的代数式，计算出具体数值。
【解析】
(1) 把阴影部分拆分为底部梯形、中间梯形和顶部三角形，分别计算面积：
底部梯形：上底为$2b$，下底为$6a-2b$，高为$a$，面积为$\frac{1}{2}(2b + 6a - 2b) · a = 3a^2$；
中间梯形与顶部三角形的面积和为$3b^2$；
因此，阴影部分的总面积为$3a^2 + 3b^2$。
(2) 已知$a+b=7$，$ab=\frac{45}{4}$，根据完全平方公式：
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 7^2 - 2×\frac{45}{4} = 49 - \frac{45}{2} = \frac{53}{2}$；
所以总面积为$3(a^2 + b^2) = 3×\frac{53}{2} = \frac{159}{2}$。
【答案】
(1)$3a^2+3b^2$；(2)$\dfrac{159}{2}$
【知识点】
整式的加减、完全平方公式、梯形面积计算
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，核心是拆分图形为规则图形计算面积，再结合完全平方公式进行代数求值，需注意公式的灵活运用。
【难度系数】
0.4