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19.(8分)阅读理解学习：
将多项式$x^2+3x-10$分解因式，得$x^2+3x-10=(x-2)(x+5)$，说明多项式$x^2+3x-10$有一个因式为$x-2$，还可知，当$x-2=0$时$x^2+3x-10=0$。
请你学习上述阅读材料解答以下问题：
(1)若多项式$x^2+kx-6$有一个因式为$x-3$，求$k$的值。
(2)若$x+2,x-1$是多项式$2x^3+ax^2+5x-b$的两个因式，求$a,b$的值。
将多项式$x^2+3x-10$分解因式，得$x^2+3x-10=(x-2)(x+5)$，说明多项式$x^2+3x-10$有一个因式为$x-2$，还可知，当$x-2=0$时$x^2+3x-10=0$。
请你学习上述阅读材料解答以下问题：
(1)若多项式$x^2+kx-6$有一个因式为$x-3$，求$k$的值。
(2)若$x+2,x-1$是多项式$2x^3+ax^2+5x-b$的两个因式，求$a,b$的值。
答案
19.(1)$k=-1$。
(2)$a=11,b=18$。
(2)$a=11,b=18$。
解析
【分析】
本题是阅读理解型的因式分解应用问题，核心思路是：根据阅读材料可知，若多项式有一个因式为$(x - m)$，则当$x=m$时，该多项式的值为0。利用这一性质，将因式对应的$x$值代入多项式，得到关于参数的方程，通过解方程即可求出参数的值。
【解析】
(1) 因为多项式$x^2 + kx - 6$有一个因式为$x - 3$，所以当$x=3$时，$x^2 + kx - 6 = 0$。
将$x=3$代入多项式得：$3^2 + 3k - 6 = 0$，
计算得：$9 + 3k - 6 = 0$，即$3 + 3k = 0$，
解得：$k = -1$。
(2) 因为$x + 2$、$x - 1$是多项式$2x^3 + ax^2 + 5x - b$的两个因式，所以当$x=-2$和$x=1$时，多项式的值均为0。
① 当$x=-2$时，代入多项式得：$2×(-2)^3 + a×(-2)^2 + 5×(-2) - b = 0$，
计算得：$2×(-8) + 4a - 10 - b = 0$，即$4a - b = 26$；
② 当$x=1$时，代入多项式得：$2×1^3 + a×1^2 + 5×1 - b = 0$，
计算得：$2 + a + 5 - b = 0$，即$a - b = -7$；
联立①②的方程，用① - ②得：$(4a - b) - (a - b) = 26 - (-7)$，
化简得：$3a = 33$，解得$a = 11$；
将$a=11$代入$a - b = -7$，得$11 - b = -7$，解得$b = 18$。
【答案】
(1)$k=-1$；(2)$a=11$，$b=18$
【知识点】
因式分解的应用，多项式的因式与根的关系
【点评】
本题通过阅读理解给出因式与多项式值的关系，考查学生对因式性质的理解和方程思想的应用，难度适中，只要掌握代入法解方程即可解决。
【难度系数】
0.6
本题是阅读理解型的因式分解应用问题，核心思路是：根据阅读材料可知，若多项式有一个因式为$(x - m)$，则当$x=m$时，该多项式的值为0。利用这一性质，将因式对应的$x$值代入多项式，得到关于参数的方程，通过解方程即可求出参数的值。
【解析】
(1) 因为多项式$x^2 + kx - 6$有一个因式为$x - 3$，所以当$x=3$时，$x^2 + kx - 6 = 0$。
将$x=3$代入多项式得：$3^2 + 3k - 6 = 0$，
计算得：$9 + 3k - 6 = 0$，即$3 + 3k = 0$，
解得：$k = -1$。
(2) 因为$x + 2$、$x - 1$是多项式$2x^3 + ax^2 + 5x - b$的两个因式，所以当$x=-2$和$x=1$时，多项式的值均为0。
① 当$x=-2$时，代入多项式得：$2×(-2)^3 + a×(-2)^2 + 5×(-2) - b = 0$，
计算得：$2×(-8) + 4a - 10 - b = 0$，即$4a - b = 26$；
② 当$x=1$时，代入多项式得：$2×1^3 + a×1^2 + 5×1 - b = 0$，
计算得：$2 + a + 5 - b = 0$，即$a - b = -7$；
联立①②的方程，用① - ②得：$(4a - b) - (a - b) = 26 - (-7)$，
化简得：$3a = 33$，解得$a = 11$；
将$a=11$代入$a - b = -7$，得$11 - b = -7$，解得$b = 18$。
【答案】
(1)$k=-1$；(2)$a=11$，$b=18$
【知识点】
因式分解的应用，多项式的因式与根的关系
【点评】
本题通过阅读理解给出因式与多项式值的关系，考查学生对因式性质的理解和方程思想的应用，难度适中，只要掌握代入法解方程即可解决。
【难度系数】
0.6
20.(8分)(2024·宁波市南三县)如图所示,将两个正方形并列放置,其中B,C,E三点在一条直线上,C,G,D三点在一条直线上,已知$S_{三角形BCF}=10$,$BE=10$,求阴影部分的面积。
答案
20.设大正方形的边长为$x$,小正方形的边长为$y$,则$x+y=BE=10$,$xy=2S_{三角形BCF}=20$。由题意,$S_{阴影}=S_{大正方形}+S_{小正方形}+S_{三角形GDF}-S_{三角形ABD}-S_{三角形BCF}=x^2+y^2+\dfrac{1}{2}(x-y)y-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}xy=x^2+y^2+\dfrac{1}{2}xy-\dfrac{1}{2}y^2-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}xy=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}y^2=\dfrac{1}{2}(x+y)^2-xy=\dfrac{1}{2}×10^2-20=50-20=30$。
解析
【分析】
首先设大正方形的边长为$ x $，小正方形的边长为$ y $。根据图形中$ B,C,E $共线，可知$ BE = BC + CE = x + y = 10 $；再结合三角形$ BCF $的面积为10，利用三角形面积公式可得$ \frac{1}{2}xy = 10 $，即$ xy = 20 $。接下来将阴影部分的面积用$ x,y $表示，通过代数式化简，结合完全平方公式$ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $，代入已知条件即可求出阴影面积。
【解析】
设大正方形的边长为$ x $，小正方形的边长为$ y $。
1. 由$ BE = 10 $，得$ x + y = 10 $；
2. 三角形$ BCF $的面积$ S_{△ BCF} = \frac{1}{2} × BC × FE = \frac{1}{2}xy = 10 $，解得$ xy = 20 $；
3. 计算阴影部分面积：
$ S_{阴影} = S_{大正方形} + S_{小正方形} + S_{△ GDF} - S_{△ ABD} - S_{△ BCF} $
代入各部分面积公式：
$ = x^2 + y^2 + \frac{1}{2}(x - y)y - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}xy $
展开并化简：
$ = x^2 + y^2 + \frac{1}{2}xy - \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}xy $
$ = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2 $
利用完全平方公式变形：
$ = \frac{1}{2}[(x + y)^2 - 2xy] $
代入$ x + y = 10 $，$ xy = 20 $：
$ = \frac{1}{2}(10^2 - 2 × 20) = \frac{1}{2}(100 - 40) = 30 $
【答案】
30
【知识点】
正方形面积、三角形面积、代数式化简
【点评】
本题通过设未知数建立边长关系，将几何面积问题转化为代数运算，关键在于正确表示阴影面积并结合完全平方公式简化计算，考查了几何与代数知识的综合应用。
【难度系数】
0.5
首先设大正方形的边长为$ x $，小正方形的边长为$ y $。根据图形中$ B,C,E $共线，可知$ BE = BC + CE = x + y = 10 $；再结合三角形$ BCF $的面积为10，利用三角形面积公式可得$ \frac{1}{2}xy = 10 $，即$ xy = 20 $。接下来将阴影部分的面积用$ x,y $表示，通过代数式化简，结合完全平方公式$ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $，代入已知条件即可求出阴影面积。
【解析】
设大正方形的边长为$ x $，小正方形的边长为$ y $。
1. 由$ BE = 10 $，得$ x + y = 10 $；
2. 三角形$ BCF $的面积$ S_{△ BCF} = \frac{1}{2} × BC × FE = \frac{1}{2}xy = 10 $，解得$ xy = 20 $；
3. 计算阴影部分面积：
$ S_{阴影} = S_{大正方形} + S_{小正方形} + S_{△ GDF} - S_{△ ABD} - S_{△ BCF} $
代入各部分面积公式：
$ = x^2 + y^2 + \frac{1}{2}(x - y)y - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}xy $
展开并化简：
$ = x^2 + y^2 + \frac{1}{2}xy - \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}xy $
$ = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2 $
利用完全平方公式变形：
$ = \frac{1}{2}[(x + y)^2 - 2xy] $
代入$ x + y = 10 $，$ xy = 20 $：
$ = \frac{1}{2}(10^2 - 2 × 20) = \frac{1}{2}(100 - 40) = 30 $
【答案】
30
【知识点】
正方形面积、三角形面积、代数式化简
【点评】
本题通过设未知数建立边长关系，将几何面积问题转化为代数运算，关键在于正确表示阴影面积并结合完全平方公式简化计算，考查了几何与代数知识的综合应用。
【难度系数】
0.5
21.(8分)(2024·金华武义)我们经常用图形中面积的等量关系来验证公式的正确性。
(1)写出可以用图1验证的乘法公式:$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}$。
(2)根据图2写出一个关于$x,y$的等量关系。
(3)已知$x+y=7,xy=6$,且$x＞y$,请利用上面得到的等量关系,求$x-y$的值。
(1)写出可以用图1验证的乘法公式:$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}$。
(2)根据图2写出一个关于$x,y$的等量关系。
(3)已知$x+y=7,xy=6$,且$x＞y$,请利用上面得到的等量关系,求$x-y$的值。
答案
21.(1)$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
(2)$(x+y)^2=4xy+(x-y)^2$。
(3)$5$。
(2)$(x+y)^2=4xy+(x-y)^2$。
(3)$5$。
解析
【分析】
本题利用图形面积的等量关系验证代数公式，结合数形结合思想解题。对于图1，大正方形边长为$x+y$，其面积可通过整体计算，也可拆分计算各部分面积，由此推导乘法公式；对于图2，大正方形面积等于周围四个小长方形面积加中间阴影小正方形面积，据此得到等量关系；最后利用所得等量关系，代入已知的$x+y$和$xy$的值，求解$x-y$，注意$x＞y$需取正根。
【解析】
(1) 图1中，大正方形边长为$x+y$，整体面积为$(x+y)^2$；该正方形可拆分为边长为$x$的正方形、边长为$y$的正方形和两个长$x$宽$y$的长方形，拆分后总面积为$x^2 + xy + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$，因此验证的乘法公式为$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$。
(2) 图2中，大正方形边长为$x+y$，面积为$(x+y)^2$；中间阴影小正方形边长为$x-y$，面积为$(x-y)^2$，周围四个小长方形面积和为$4xy$，因此大正方形面积等于四个长方形面积加中间小正方形面积，即$(x+y)^2 = 4xy + (x-y)^2$。
(3) 将$x+y=7$，$xy=6$代入$(x+y)^2 = 4xy + (x-y)^2$，得：
$7^2 = 4×6 + (x-y)^2$
计算得$49 = 24 + (x-y)^2$，移项得$(x-y)^2 = 25$。
因为$x＞y$，所以$x-y = \sqrt{25} = 5$。
【答案】
(1)$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$；(2)$(x+y)^2=4xy+(x-y)^2$；(3)$5$
【知识点】
完全平方公式、整式面积等量关系、代数式求值
【点评】
本题通过数形结合的方式考查完全平方公式，将代数公式与几何图形面积关联，帮助理解公式本质，题型基础且典型，侧重公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题利用图形面积的等量关系验证代数公式，结合数形结合思想解题。对于图1，大正方形边长为$x+y$，其面积可通过整体计算，也可拆分计算各部分面积，由此推导乘法公式；对于图2，大正方形面积等于周围四个小长方形面积加中间阴影小正方形面积，据此得到等量关系；最后利用所得等量关系，代入已知的$x+y$和$xy$的值，求解$x-y$，注意$x＞y$需取正根。
【解析】
(1) 图1中，大正方形边长为$x+y$，整体面积为$(x+y)^2$；该正方形可拆分为边长为$x$的正方形、边长为$y$的正方形和两个长$x$宽$y$的长方形，拆分后总面积为$x^2 + xy + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$，因此验证的乘法公式为$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$。
(2) 图2中，大正方形边长为$x+y$，面积为$(x+y)^2$；中间阴影小正方形边长为$x-y$，面积为$(x-y)^2$，周围四个小长方形面积和为$4xy$，因此大正方形面积等于四个长方形面积加中间小正方形面积，即$(x+y)^2 = 4xy + (x-y)^2$。
(3) 将$x+y=7$，$xy=6$代入$(x+y)^2 = 4xy + (x-y)^2$，得：
$7^2 = 4×6 + (x-y)^2$
计算得$49 = 24 + (x-y)^2$，移项得$(x-y)^2 = 25$。
因为$x＞y$，所以$x-y = \sqrt{25} = 5$。
【答案】
(1)$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$；(2)$(x+y)^2=4xy+(x-y)^2$；(3)$5$
【知识点】
完全平方公式、整式面积等量关系、代数式求值
【点评】
本题通过数形结合的方式考查完全平方公式，将代数公式与几何图形面积关联，帮助理解公式本质，题型基础且典型，侧重公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
