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22. (10 分)在学习整式乘法一章时,小明看到一个新定义:若一个整数能表示成$a^2+b^2$($a,b$是整数)的形式,则称这个数为“智慧数”。例如:5是“智慧数”,因为$5=2^2+1^2$;再如:$M=x^2+2xy+2y^2=(x+y)^2+y^2$($x,y$是整数),所以$M$也是“智慧数”。
(1)请你再写一个小于10的(5除外)“智慧数”:
(2)已知$S=x^2+4y^2+4x-12y+k$($x,y$是整数),$k$是常数,要使$S$为“智慧数”,试求出符合条件的一个$k$值。
(1)请你再写一个小于10的(5除外)“智慧数”:
8(答案不唯一)
,并判断29是否为“智慧数”:是
(填“是”或者“否”)。(2)已知$S=x^2+4y^2+4x-12y+k$($x,y$是整数),$k$是常数,要使$S$为“智慧数”,试求出符合条件的一个$k$值。
答案
22.(1)因为$8=2^2+2^2$,所以8是“智慧数”;因为$29=4+25=2^2+5^2$,所以29是“智慧数”。故答案为8(答案不唯一);是。
(2)因为$x^2+4x+4=(x+2)^2$,$y^2-3y+\dfrac{9}{4}=(x-\dfrac{3}{2})^2$,所以$S=x^2+4y^2+4x-12y+k=x^2+4x+4+4y^2-12y+9+k-13=(x+2)^2+4(y-\dfrac{3}{2})^2+k-13$,因为$S$为“智慧数”,所以$k-13=0$,所以$k=13$。
(2)因为$x^2+4x+4=(x+2)^2$,$y^2-3y+\dfrac{9}{4}=(x-\dfrac{3}{2})^2$,所以$S=x^2+4y^2+4x-12y+k=x^2+4x+4+4y^2-12y+9+k-13=(x+2)^2+4(y-\dfrac{3}{2})^2+k-13$,因为$S$为“智慧数”,所以$k-13=0$,所以$k=13$。
解析
【分析】
本题是新定义题型，核心是理解“智慧数”的定义：能表示为两个整数平方和的整数。第(1)问需结合平方数的特点，找出符合条件的数并判断；第(2)问需通过完全平方公式对代数式配方，使其转化为两个整数平方和的形式，从而确定常数k的值。
【解析】
(1) 找小于10的“智慧数”（除5外）：尝试平方数组合，$2^2 + 2^2 = 8$，符合定义，故8是“智慧数”；判断29：寻找整数a、b，使$a^2 + b^2 =29$，因$2^2 +5^2=4+25=29$，故29是“智慧数”。
(2) 对S配方：
$S=x^2+4y^2+4x-12y+k$
整理x项：$x^2+4x=(x+2)^2 -4$
整理y项：$4y^2-12y=4(y^2-3y)=4[(y-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}]=(2y-3)^2 -9$
代入得：
$S=(x+2)^2 -4 + (2y-3)^2 -9 +k=(x+2)^2 + (2y-3)^2 + (k-13)$
因x、y是整数，故$(x+2)$、$(2y-3)$均为整数，要使S为“智慧数”，需常数项$k-13=0$，即$k=13$。
【答案】
(1) 8（答案不唯一）；是 (2) $k=13$
【知识点】
完全平方公式、整式配方、新定义运算
【点评】
本题以新定义“智慧数”为载体，考查完全平方公式的应用，关键是通过配方将代数式转化为两个整数平方和的形式，需注意配方时常数项的调整，属于中等难度的新定义题型。
【难度系数】
0.5
本题是新定义题型，核心是理解“智慧数”的定义：能表示为两个整数平方和的整数。第(1)问需结合平方数的特点，找出符合条件的数并判断；第(2)问需通过完全平方公式对代数式配方，使其转化为两个整数平方和的形式，从而确定常数k的值。
【解析】
(1) 找小于10的“智慧数”（除5外）：尝试平方数组合，$2^2 + 2^2 = 8$，符合定义，故8是“智慧数”；判断29：寻找整数a、b，使$a^2 + b^2 =29$，因$2^2 +5^2=4+25=29$，故29是“智慧数”。
(2) 对S配方：
$S=x^2+4y^2+4x-12y+k$
整理x项：$x^2+4x=(x+2)^2 -4$
整理y项：$4y^2-12y=4(y^2-3y)=4[(y-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}]=(2y-3)^2 -9$
代入得：
$S=(x+2)^2 -4 + (2y-3)^2 -9 +k=(x+2)^2 + (2y-3)^2 + (k-13)$
因x、y是整数，故$(x+2)$、$(2y-3)$均为整数，要使S为“智慧数”，需常数项$k-13=0$，即$k=13$。
【答案】
(1) 8（答案不唯一）；是 (2) $k=13$
【知识点】
完全平方公式、整式配方、新定义运算
【点评】
本题以新定义“智慧数”为载体，考查完全平方公式的应用，关键是通过配方将代数式转化为两个整数平方和的形式，需注意配方时常数项的调整，属于中等难度的新定义题型。
【难度系数】
0.5
23.(10 分)阅读材料:若 $ m^2 - 2mn + 2n^2 - 8n + 16 = 0 $,求 $ m,n $ 的值。
解:因为 $ m^2 - 2mn + 2n^2 - 8n + 16 = 0 $,所以 $ (m^2 - 2mn + n^2) + (n^2 - 8n + 16) = 0 $,
所以 $ (m - n)^2 + (n - 4)^2 = 0 $,所以 $ (m - n)^2 = 0, (n - 4)^2 = 0 $,所以 $ n = 4, m = 4 $。
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)$ a^2 + b^2 - 4a + 4 = 0 $,则 $ a = \_\_\_\_\_\_, b = \_\_\_\_\_\_ $。
(2)已知 $ x^2 + 2y^2 - 2xy + 6y + 9 = 0 $,求 $ x^y $ 的值。
(3)已知三角形 $ ABC $ 的三边长 $ a,b,c $ 都是正整数,且满足 $ 2a^2 + b^2 - 4a - 6b + 11 = 0 $,求三角形 $ ABC $ 的周长。
解:因为 $ m^2 - 2mn + 2n^2 - 8n + 16 = 0 $,所以 $ (m^2 - 2mn + n^2) + (n^2 - 8n + 16) = 0 $,
所以 $ (m - n)^2 + (n - 4)^2 = 0 $,所以 $ (m - n)^2 = 0, (n - 4)^2 = 0 $,所以 $ n = 4, m = 4 $。
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)$ a^2 + b^2 - 4a + 4 = 0 $,则 $ a = \_\_\_\_\_\_, b = \_\_\_\_\_\_ $。
(2)已知 $ x^2 + 2y^2 - 2xy + 6y + 9 = 0 $,求 $ x^y $ 的值。
(3)已知三角形 $ ABC $ 的三边长 $ a,b,c $ 都是正整数,且满足 $ 2a^2 + b^2 - 4a - 6b + 11 = 0 $,求三角形 $ ABC $ 的周长。
答案
23.(1)已知等式整理得$(a-2)^2+b^2=0$,所以$a-2=0,b=0$,所以$a=2,b=0$。故答案为2;0。
(2)因为$x^2+2y^2-2xy+6y+9=0$,所以$x^2+y^2-2xy+y^2+6y+9=0$,即$(x-y)^2+(y+3)^2=0$,则$x-y=0,y+3=0$,解得$x=y=-3$,所以$x^y=(-3)^{-3}=-\dfrac{1}{27}$。
(3)因为$2a^2+b^2-4a-6b+11=0$,所以$2a^2-4a+2+b^2-6b+9=0$,所以$2(a-1)^2+(b-3)^2=0$,则$a-1=0,b-3=0$,解得$a=1,b=3$,由三角形三边关系可知,三角形三边分别为1,3,3,则三角形ABC的周长为$1+3+3=7$。
(2)因为$x^2+2y^2-2xy+6y+9=0$,所以$x^2+y^2-2xy+y^2+6y+9=0$,即$(x-y)^2+(y+3)^2=0$,则$x-y=0,y+3=0$,解得$x=y=-3$,所以$x^y=(-3)^{-3}=-\dfrac{1}{27}$。
(3)因为$2a^2+b^2-4a-6b+11=0$,所以$2a^2-4a+2+b^2-6b+9=0$,所以$2(a-1)^2+(b-3)^2=0$,则$a-1=0,b-3=0$,解得$a=1,b=3$,由三角形三边关系可知,三角形三边分别为1,3,3,则三角形ABC的周长为$1+3+3=7$。
解析
【分析】
本题核心是利用完全平方公式对多项式配方，将等式转化为几个非负数的平方和为0的形式，根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求出未知数，再结合问题要求计算结果。
【解析】
(1) 求$a,b$的值
对$a^2 + b^2 - 4a + 4 = 0$配方：
分组得$(a^2 - 4a + 4) + b^2 = 0$，由完全平方公式得$(a - 2)^2 + b^2 = 0$。
因为平方数非负，所以$(a - 2)^2 = 0$，$b^2 = 0$，解得$a = 2$，$b = 0$。
(2) 求$x^y$的值
对$x^2 + 2y^2 - 2xy + 6y + 9 = 0$配方：
变形为$(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 + 6y + 9) = 0$，由完全平方公式得$(x - y)^2 + (y + 3)^2 = 0$。
因为平方数非负，所以$x - y = 0$，$y + 3 = 0$，解得$y = -3$，$x = -3$。
则$x^y = (-3)^{-3} = -\dfrac{1}{27}$。
(3) 求三角形$ABC$的周长
对$2a^2 + b^2 - 4a - 6b + 11 = 0$配方：
整理为$2(a - 1)^2 + (b - 3)^2 = 0$，由平方数非负得$a - 1 = 0$，$b - 3 = 0$，解得$a = 1$，$b = 3$。
根据三角形三边关系，第三边$c$满足$3 - 1 ＜ c ＜ 3 + 1$，即$2 ＜ c ＜ 4$，又$c$为正整数，故$c = 3$。
周长为$1 + 3 + 3 = 7$。
【答案】
(1)$2$；$0$
(2)$-\dfrac{1}{27}$
(3)$7$
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题通过配方转化为非负数和为0的问题，考查完全平方公式的应用，结合三角形三边关系解决实际问题，是代数与几何结合的常规题型，需掌握配方技巧和非负数性质的应用。
【难度系数】
0.6
本题核心是利用完全平方公式对多项式配方，将等式转化为几个非负数的平方和为0的形式，根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求出未知数，再结合问题要求计算结果。
【解析】
(1) 求$a,b$的值
对$a^2 + b^2 - 4a + 4 = 0$配方：
分组得$(a^2 - 4a + 4) + b^2 = 0$，由完全平方公式得$(a - 2)^2 + b^2 = 0$。
因为平方数非负，所以$(a - 2)^2 = 0$，$b^2 = 0$，解得$a = 2$，$b = 0$。
(2) 求$x^y$的值
对$x^2 + 2y^2 - 2xy + 6y + 9 = 0$配方：
变形为$(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 + 6y + 9) = 0$，由完全平方公式得$(x - y)^2 + (y + 3)^2 = 0$。
因为平方数非负，所以$x - y = 0$，$y + 3 = 0$，解得$y = -3$，$x = -3$。
则$x^y = (-3)^{-3} = -\dfrac{1}{27}$。
(3) 求三角形$ABC$的周长
对$2a^2 + b^2 - 4a - 6b + 11 = 0$配方：
整理为$2(a - 1)^2 + (b - 3)^2 = 0$，由平方数非负得$a - 1 = 0$，$b - 3 = 0$，解得$a = 1$，$b = 3$。
根据三角形三边关系，第三边$c$满足$3 - 1 ＜ c ＜ 3 + 1$，即$2 ＜ c ＜ 4$，又$c$为正整数，故$c = 3$。
周长为$1 + 3 + 3 = 7$。
【答案】
(1)$2$；$0$
(2)$-\dfrac{1}{27}$
(3)$7$
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题通过配方转化为非负数和为0的问题，考查完全平方公式的应用，结合三角形三边关系解决实际问题，是代数与几何结合的常规题型，需掌握配方技巧和非负数性质的应用。
【难度系数】
0.6
