登录
11.(2024·宁波江北)计算:$2^{0}=$
1
。答案
11.1
解析
【分析】本题考查零指数幂的运算，解题思路是牢记零指数幂的运算法则：任何非零数的0次幂都等于1，据此直接计算即可。
【解析】根据零指数幂的定义：对于任意非零数$a$，有$a^0 = 1$。因为底数2是非零数，所以$2^0 = 1$。
【答案】1
【知识点】零指数幂运算
【点评】本题是基础概念题，直接考查零指数幂的运算法则，只要牢记相关定义就能快速得出结果，属于送分题。
【难度系数】0.9
【解析】根据零指数幂的定义：对于任意非零数$a$，有$a^0 = 1$。因为底数2是非零数，所以$2^0 = 1$。
【答案】1
【知识点】零指数幂运算
【点评】本题是基础概念题，直接考查零指数幂的运算法则，只要牢记相关定义就能快速得出结果，属于送分题。
【难度系数】0.9
12.给等式中的某些字母赋予一定的特殊值,可以解决一些问题。比如对于等式$(x+3)^2=ax^2+bx+c$,
当$x=0$时,可得$3^2=c$,计算得$c=9$;请你再给$x$赋不同的值,可计算得$4a+2b=$$\underline{\hspace{5cm}}$。
当$x=0$时,可得$3^2=c$,计算得$c=9$;请你再给$x$赋不同的值,可计算得$4a+2b=$$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
12.16
解析
【分析】要计算$4a+2b$的值，已知等式为$(x+3)^2=ax^2+bx+c$，且已通过$x=0$求出$c=9$。观察目标式$4a+2b$，发现当$x=2$时，代入等式右边可得$4a+2b + c$，因此给$x$赋值为2，代入等式后结合已求出的$c$，即可计算出$4a+2b$的值。
【解析】解：当$x=2$时，代入等式$(x+3)^2=ax^2+bx+c$，
左边=$(2+3)^2=25$，
右边=$a×2^2 + b×2 + c=4a+2b + c$，
已知当$x=0$时，$c=9$，因此等式变为$25=4a+2b +9$，
移项计算得：$4a+2b=25-9=16$。
【答案】16
【知识点】代数式求值，等式的性质
【点评】本题通过给未知数赋予特殊值，利用等式的对应关系求解代数式的值，关键是选取合适的$x$值，使代入后能直接得到目标代数式，属于基础题型，考查学生对等式性质的简单应用。
【难度系数】0.8
【解析】解：当$x=2$时，代入等式$(x+3)^2=ax^2+bx+c$，
左边=$(2+3)^2=25$，
右边=$a×2^2 + b×2 + c=4a+2b + c$，
已知当$x=0$时，$c=9$，因此等式变为$25=4a+2b +9$，
移项计算得：$4a+2b=25-9=16$。
【答案】16
【知识点】代数式求值，等式的性质
【点评】本题通过给未知数赋予特殊值，利用等式的对应关系求解代数式的值，关键是选取合适的$x$值，使代入后能直接得到目标代数式，属于基础题型，考查学生对等式性质的简单应用。
【难度系数】0.8
13.(2024·金华武义)如图,从边长为$a\mathrm{cm}(a＞2)$的正方形纸片中剪去一个边长为$(a-2)\mathrm{cm}$的正方形。剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),则这个长方形的面积为$\underline{\hspace{5em}}\mathrm{cm}^2$。
答案
13.(4a-4)
解析
【分析】
本题核心是利用图形剪拼的面积不变性，剪拼前后总面积相等，只需计算原正方形面积减去剪去的小正方形面积，通过整式运算化简即可得到长方形面积，无需关注剪拼后的具体形状。
【解析】
1. 原正方形面积：边长为$a\mathrm{cm}$，根据正方形面积公式，面积为$a^2\mathrm{cm}^2$；
2. 剪去的小正方形面积：边长为$(a-2)\mathrm{cm}$，面积为$(a-2)^2\mathrm{cm}^2$；
3. 长方形面积（剩余面积）：
$\begin{aligned}a^2 - (a-2)^2&=a^2 - (a^2 -4a +4)\\&=a^2 -a^2 +4a -4\\&=4a -4\end{aligned}$
【答案】
$4a-4$
【知识点】
整式的加减、正方形面积计算、图形面积守恒
【点评】
本题考查图形剪拼的面积不变性与整式运算，属于基础题型，重点考查学生对面积守恒规律和整式化简的掌握。
【难度系数】
0.7
本题核心是利用图形剪拼的面积不变性，剪拼前后总面积相等，只需计算原正方形面积减去剪去的小正方形面积，通过整式运算化简即可得到长方形面积，无需关注剪拼后的具体形状。
【解析】
1. 原正方形面积：边长为$a\mathrm{cm}$，根据正方形面积公式，面积为$a^2\mathrm{cm}^2$；
2. 剪去的小正方形面积：边长为$(a-2)\mathrm{cm}$，面积为$(a-2)^2\mathrm{cm}^2$；
3. 长方形面积（剩余面积）：
$\begin{aligned}a^2 - (a-2)^2&=a^2 - (a^2 -4a +4)\\&=a^2 -a^2 +4a -4\\&=4a -4\end{aligned}$
【答案】
$4a-4$
【知识点】
整式的加减、正方形面积计算、图形面积守恒
【点评】
本题考查图形剪拼的面积不变性与整式运算，属于基础题型，重点考查学生对面积守恒规律和整式化简的掌握。
【难度系数】
0.7
14.计算：$(2b - 3c + 4)(3c - 2b + 4)=$$\underline{\hspace{15cm}}$。
答案
14.$-4b^2-9c^2+12bc+16$
解析
【分析】
本题可通过观察式子结构，将相同项和互为相反数的项分组，转化为平方差公式的形式简化运算，再结合完全平方公式展开计算即可。
【解析】
原式$=[4+(2b - 3c)][4-(2b - 3c)]$
$=4^2-(2b - 3c)^2$
$=16-(4b^2 - 12bc + 9c^2)$
$=16 - 4b^2 + 12bc - 9c^2$
$=-4b^2 -9c^2 +12bc +16$
【答案】
$-4b^2-9c^2+12bc+16$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活应用，核心是通过观察式子特征分组，将复杂的多项式乘法转化为公式运算，简化计算过程，需熟练掌握公式结构。
【难度系数】
0.6
本题可通过观察式子结构，将相同项和互为相反数的项分组，转化为平方差公式的形式简化运算，再结合完全平方公式展开计算即可。
【解析】
原式$=[4+(2b - 3c)][4-(2b - 3c)]$
$=4^2-(2b - 3c)^2$
$=16-(4b^2 - 12bc + 9c^2)$
$=16 - 4b^2 + 12bc - 9c^2$
$=-4b^2 -9c^2 +12bc +16$
【答案】
$-4b^2-9c^2+12bc+16$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活应用，核心是通过观察式子特征分组，将复杂的多项式乘法转化为公式运算，简化计算过程，需熟练掌握公式结构。
【难度系数】
0.6
15. 我们知道，同底数幂的乘法法则为$a^m · a^n = a^{m+n}$（其中$a≠0$，$m,n$为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数$m,n$的一种新运算：$h(m+n)=h(m) · h(n)$，请根据这种新运算填空：
(1)若$h(1)=\frac{2}{3}$，则$h(2)=$
(2)若$h(1)=k(k≠0)$，那么$h(n) · h(2017)=$
(1)若$h(1)=\frac{2}{3}$，则$h(2)=$
$\frac{4}{9}$
。(2)若$h(1)=k(k≠0)$，那么$h(n) · h(2017)=$
$k^{n+2017}$
（用含$n$和$k$的代数式表示，其中$n$为正整数）。答案
15.(1)$\frac{4}{9}$ 解析:因为h(1)=$\frac{2}{3}$,h(m+n)=h(m)·h(n),所以h(2)=h(1+1)=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$。(2)$k^{n+2017}$ 解析:因为h(1)=k(k≠0),h(m+n)=h(m)·h(n),所以h(n)·h(2017)=k^n·k^{2017}=k^{n+2017}。
解析
【分析】
本题是新定义运算题，需先明确新运算规则：对任意正整数m、n，h(m+n)=h(m)·h(n)，类比同底数幂的乘法法则解题。第(1)问将h(2)转化为h(1+1)，代入规则计算；第(2)问先推导h(n)和h(2017)的表达式，再利用同底数幂乘法法则计算乘积。
【解析】
(1) 根据新运算规则h(m+n)=h(m)·h(n)，可得h(2)=h(1+1)=h(1)·h(1)。已知h(1)=$\frac{2}{3}$，代入得：h(2)=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$。
(2) 对于正整数n，h(n)可表示为n个h(1)相乘（即h(n)=h(1+1+…+1)=h(1)·h(1)·…·h(1)，共n个），故h(n)=h(1)^n=k^n；同理h(2017)=h(1)^2017=k^2017。根据同底数幂乘法法则，h(n)·h(2017)=k^n·k^2017=k^{n+2017}。
【答案】
(1) $\frac{4}{9}$；(2) $k^{n+2017}$
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查新定义运算的基础应用，核心是理解新运算规则并类比同底数幂乘法法则计算，难度较低，适合初中低年级学生巩固运算规则。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算题，需先明确新运算规则：对任意正整数m、n，h(m+n)=h(m)·h(n)，类比同底数幂的乘法法则解题。第(1)问将h(2)转化为h(1+1)，代入规则计算；第(2)问先推导h(n)和h(2017)的表达式，再利用同底数幂乘法法则计算乘积。
【解析】
(1) 根据新运算规则h(m+n)=h(m)·h(n)，可得h(2)=h(1+1)=h(1)·h(1)。已知h(1)=$\frac{2}{3}$，代入得：h(2)=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$。
(2) 对于正整数n，h(n)可表示为n个h(1)相乘（即h(n)=h(1+1+…+1)=h(1)·h(1)·…·h(1)，共n个），故h(n)=h(1)^n=k^n；同理h(2017)=h(1)^2017=k^2017。根据同底数幂乘法法则，h(n)·h(2017)=k^n·k^2017=k^{n+2017}。
【答案】
(1) $\frac{4}{9}$；(2) $k^{n+2017}$
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查新定义运算的基础应用，核心是理解新运算规则并类比同底数幂乘法法则计算，难度较低，适合初中低年级学生巩固运算规则。
【难度系数】
0.7
16.若将边长相差3的两个正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为$ S_{1} $，图2中阴影部分的面积为$ S_{2} $，小正方形边长为$ a $，已知测得盒子底部长方形长比宽多5，则$ S_{2} - S_{1} $的值与小正方形边长$ a $的数量关系为________。
答案
16.$S_2-S_1=5a$
解析
【分析】
要解决本题，需先明确各图形的边长关系：小正方形边长为$a$，则大正方形边长为$a+3$；设长方形盒子底部的长为$L$，宽为$W$，由题意知$L - W =5$。接下来分别分析两种放置方式下阴影部分的面积结构，发现两者存在公共部分，计算面积差时可简化运算，无需展开全部面积，直接提取公共项即可快速推导结果。
【解析】
设长方形盒子底部的长为$L$，宽为$W$，则$L - W =5$，大正方形边长为$a+3$，小正方形边长为$a$。
1. 分析$S_1$的结构：图1中，阴影部分分为两部分，公共部分为$(L - (a+3)) × W$，另一部分为$(W - (a+3)) × a$，即$S_1=(L -a -3)W + a(W -a -3)$。
2. 分析$S_2$的结构：图2中，阴影部分同样包含公共部分$(L -a -3)W$，另一部分为$(L -a -3) × a$，即$S_2=(L -a -3)W + a(L -a -3)$。
3. 计算面积差：
$S_2 - S_1 = [(L -a -3)W + a(L -a -3)] - [(L -a -3)W + a(W -a -3)]$
消去公共项$(L -a -3)W$，剩余：
$S_2 - S_1 = a(L -a -3) - a(W -a -3)$
提取公因式$a$化简：
$S_2 - S_1 = a[(L -a -3) - (W -a -3)] = a(L - W)$
代入$L - W=5$，得：
$S_2 - S_1 =5a$
【答案】
$S_2 - S_1=5a$
【知识点】
整式的加减、几何面积计算
【点评】
本题通过分析阴影面积的结构，提取公共项简化运算，关键是找到两种阴影面积的共同部分，结合长方形长与宽的关系快速推导结果，属于几何与代数结合的基础题型，注重对运算简化思路的考查。
【难度系数】
0.3
要解决本题，需先明确各图形的边长关系：小正方形边长为$a$，则大正方形边长为$a+3$；设长方形盒子底部的长为$L$，宽为$W$，由题意知$L - W =5$。接下来分别分析两种放置方式下阴影部分的面积结构，发现两者存在公共部分，计算面积差时可简化运算，无需展开全部面积，直接提取公共项即可快速推导结果。
【解析】
设长方形盒子底部的长为$L$，宽为$W$，则$L - W =5$，大正方形边长为$a+3$，小正方形边长为$a$。
1. 分析$S_1$的结构：图1中，阴影部分分为两部分，公共部分为$(L - (a+3)) × W$，另一部分为$(W - (a+3)) × a$，即$S_1=(L -a -3)W + a(W -a -3)$。
2. 分析$S_2$的结构：图2中，阴影部分同样包含公共部分$(L -a -3)W$，另一部分为$(L -a -3) × a$，即$S_2=(L -a -3)W + a(L -a -3)$。
3. 计算面积差：
$S_2 - S_1 = [(L -a -3)W + a(L -a -3)] - [(L -a -3)W + a(W -a -3)]$
消去公共项$(L -a -3)W$，剩余：
$S_2 - S_1 = a(L -a -3) - a(W -a -3)$
提取公因式$a$化简：
$S_2 - S_1 = a[(L -a -3) - (W -a -3)] = a(L - W)$
代入$L - W=5$，得：
$S_2 - S_1 =5a$
【答案】
$S_2 - S_1=5a$
【知识点】
整式的加减、几何面积计算
【点评】
本题通过分析阴影面积的结构，提取公共项简化运算，关键是找到两种阴影面积的共同部分，结合长方形长与宽的关系快速推导结果，属于几何与代数结合的基础题型，注重对运算简化思路的考查。
【难度系数】
0.3
三、解答题(共 56 分)
17.(6 分)(1)(2024·金华金东、婺城)$(2a^{2}-6a)÷(2a)$；
(2)$(x^{2}-2)(x+3)-x(x^{2}+2x-1)$。
17.(6 分)(1)(2024·金华金东、婺城)$(2a^{2}-6a)÷(2a)$；
(2)$(x^{2}-2)(x+3)-x(x^{2}+2x-1)$。
答案
17.(1)原式=a-3。(2)原式=x²-x-6。
解析
【分析】本题考查整式的运算，解题思路：(1)多项式除以单项式，将多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加；(2)整式混合运算，先分别计算多项式乘多项式和单项式乘多项式，再去括号，最后合并同类项，注意运算过程中的符号处理。
【解析】(1) 原式$=(2a^2)÷(2a) - (6a)÷(2a) = a - 3$；
(2) 先计算乘法：$(x^2 - 2)(x + 3) = x^3 + 3x^2 - 2x - 6$，$x(x^2 + 2x -1) = x^3 + 2x^2 - x$；
再去括号合并同类项：原式$= x^3 + 3x^2 - 2x -6 - x^3 -2x^2 + x = (x^3 - x^3) + (3x^2 -2x^2) + (-2x +x) -6 = x^2 -x -6$。
【答案】(1)$a - 3$；(2)$x^2 - x -6$
【知识点】整式除法、多项式乘法、合并同类项
【点评】本题为整式运算的基础题，考查整式运算的基本法则，运算过程中需注意符号的变化，是代数学习的重要基础，适合巩固运算基本功。
【难度系数】0.7
【解析】(1) 原式$=(2a^2)÷(2a) - (6a)÷(2a) = a - 3$；
(2) 先计算乘法：$(x^2 - 2)(x + 3) = x^3 + 3x^2 - 2x - 6$，$x(x^2 + 2x -1) = x^3 + 2x^2 - x$；
再去括号合并同类项：原式$= x^3 + 3x^2 - 2x -6 - x^3 -2x^2 + x = (x^3 - x^3) + (3x^2 -2x^2) + (-2x +x) -6 = x^2 -x -6$。
【答案】(1)$a - 3$；(2)$x^2 - x -6$
【知识点】整式除法、多项式乘法、合并同类项
【点评】本题为整式运算的基础题，考查整式运算的基本法则，运算过程中需注意符号的变化，是代数学习的重要基础，适合巩固运算基本功。
【难度系数】0.7
18.(6分)先化简,再求值:$[(2a-b)^{2}-(2a+b)(2a-b)]÷(\frac{1}{2}b)$,其中$|a-1|+(b+2)^{2}=0$。
答案
18.$[(2a-b)^2-(2a+b)(2a-b)]÷(\frac{1}{2}b)=(4a^2-4ab+b^2-4a^2+b^2)×\frac{2}{b}=(-4ab+2b^2)×\frac{2}{b}=-4ab×\frac{2}{b}+2b^2×\frac{2}{b}=-8a+4b$,因为$|a-1|+(b+2)^2=0$,所以a-1=0,b+2=0,解得a=1,b=-2,当a=1,b=-2时,原式=-8×1+4×(-2)=-16。
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路为：第一步，利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的式子；第二步，合并同类项后，将除法转化为乘法进行化简，得到最简整式；第三步，根据绝对值和平方的非负性求出a、b的值，最后代入最简式计算结果。
【解析】
$\begin{aligned}&[(2a - b)^2 - (2a + b)(2a - b)] ÷ (\frac{1}{2}b)\\=&[4a^2 - 4ab + b^2 - (4a^2 - b^2)] × \frac{2}{b}\\=&[4a^2 - 4ab + b^2 - 4a^2 + b^2] × \frac{2}{b}\\=&(-4ab + 2b^2) × \frac{2}{b}\\=&-4ab × \frac{2}{b} + 2b^2 × \frac{2}{b}\\=&-8a + 4b\end{aligned}$
因为$|a - 1| + (b + 2)^2 = 0$，且绝对值和平方数均为非负数，所以$a - 1 = 0$，$b + 2 = 0$，解得$a = 1$，$b = -2$。
将$a = 1$，$b = -2$代入最简式：
原式$=-8×1 + 4×(-2) = -8 - 8 = -16$
【答案】
-16
【知识点】
整式的化简求值、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，需熟练掌握乘法公式的应用、合并同类项法则，以及非负数的性质，计算时要注意符号和运算顺序，避免出错。
【难度系数】
0.6
这是一道整式化简求值题，解题思路为：第一步，利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的式子；第二步，合并同类项后，将除法转化为乘法进行化简，得到最简整式；第三步，根据绝对值和平方的非负性求出a、b的值，最后代入最简式计算结果。
【解析】
$\begin{aligned}&[(2a - b)^2 - (2a + b)(2a - b)] ÷ (\frac{1}{2}b)\\=&[4a^2 - 4ab + b^2 - (4a^2 - b^2)] × \frac{2}{b}\\=&[4a^2 - 4ab + b^2 - 4a^2 + b^2] × \frac{2}{b}\\=&(-4ab + 2b^2) × \frac{2}{b}\\=&-4ab × \frac{2}{b} + 2b^2 × \frac{2}{b}\\=&-8a + 4b\end{aligned}$
因为$|a - 1| + (b + 2)^2 = 0$，且绝对值和平方数均为非负数，所以$a - 1 = 0$，$b + 2 = 0$，解得$a = 1$，$b = -2$。
将$a = 1$，$b = -2$代入最简式：
原式$=-8×1 + 4×(-2) = -8 - 8 = -16$
【答案】
-16
【知识点】
整式的化简求值、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，需熟练掌握乘法公式的应用、合并同类项法则，以及非负数的性质，计算时要注意符号和运算顺序，避免出错。
【难度系数】
0.6
