1. (2025·福建)若$\sqrt{x - 1}$在实数范围内有意义，则实数$x$的值可以是()

A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$

D

根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，
即：$x - 1 ≥ 0$，
解这个不等式，得到：$x ≥ 1$，
检查选项，发现只有 $x = 2$（选项D）满足这个条件。

2. 下列各式中一定是二次根式的是()

A.$\sqrt{-3}$
B.$\sqrt{x}$
C.$\sqrt{x^{2} + 1}$
D.$\sqrt{x - 1}$

C

二次根式的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义。
A选项，因为$-3＜0$，所以$\sqrt{-3}$不是二次根式。
B选项，当$x＜0$时，$\sqrt{x}$不是二次根式。
C选项，因为$x^{2}≥0$，所以$x^{2}+1≥1＞0$，$\sqrt{x^{2} + 1}$一定是二次根式。
D选项，当$x - 1＜0$即$x＜1$时，$\sqrt{x - 1}$不是二次根式。

3. (2025·凉山州)若式子$\frac{\sqrt{m - 1}}{m + 2}$在实数范围内有意义，则$m$的取值范围是.

$m ≥ 1$

要使式子$\frac{\sqrt{m - 1}}{m + 2}$在实数范围内有意义，需满足二次根式的被开方数非负且分母不为零。即：
1. $m - 1 ≥ 0$，解得$m ≥ 1$；
2. $m + 2 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$。
综合可得$m ≥ 1$。

4. 计算：
(1)$(\sqrt{5})^{2} =$；
(2)$(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2} =$；
(3)$(\sqrt{7})^{2} + (-2\sqrt{2})^{2} =$；
(4)$\frac{(\sqrt{2a})^{2}}{2} =$.

(1)
解：根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^{2}=a(a≥0)$，可得$(\sqrt{5})^{2}=5$。
(2)
解：根据$(\frac{m}{n})^2=\frac{m^2}{n^2}$以及$(\sqrt{a})^{2}=a(a≥0)$，则$(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}=\frac{(\sqrt{3})^{2}}{3^{2}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
(3)
解：
根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^{2}=a(a≥0)$以及$(ab)^2 = a^2b^2$，可得$(\sqrt{7})^{2}=7$，$(-2\sqrt{2})^{2}=(-2)^{2}×(\sqrt{2})^{2}=4×2 = 8$。
所以$(\sqrt{7})^{2}+(-2\sqrt{2})^{2}=7 + 8=15$。
(4)
解：
根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^{2}=a(a≥0)$，可得$(\sqrt{2a})^{2}=2a$（因为二次根式中被开方数$2a≥0$）。
则$\frac{(\sqrt{2a})^{2}}{2}=\frac{2a}{2}=a(a≥0)$。
综上，答案依次为：(1)$5$；(2)$\frac{1}{3}$；(3)$15$；(4)$a(a≥0)$。

5. 要使下列各式有意义，$x$应是怎样的实数？
(1)$\sqrt{x - 3}$；
(2)$\frac{2}{\sqrt{2x - 6}}$；
(3)$\frac{\sqrt{x - 3}}{x - 5}$；
(4)$\sqrt{(x - 3)^{2}}$；
(5)$\sqrt{-(x - 3)^{2}}$；
(6)$\sqrt{x^{2} + 5}$.

(1)$x ≥ 3$；(2)$x ＞ 3$；(3)$x ≥ 3$且$x ≠ 5$；(4)任意实数；(5)$x = 3$；(6)任意实数。

(1)要使$\sqrt{x - 3}$有意义，被开方数须非负，即$x - 3 ≥ 0$，解得$x ≥ 3$。
(2)要使$\frac{2}{\sqrt{2x - 6}}$有意义，分母中的二次根式须有意义且分母不为零，即$2x - 6 ＞ 0$，$2x ＞ 6$，解得$x ＞ 3$。
(3)要使$\frac{\sqrt{x - 3}}{x - 5}$有意义，分子的二次根式须有意义且分母不为零，即$\begin{cases}x - 3 ≥ 0 \\ x - 5 ≠ 0\end{cases}$，解得$x ≥ 3$且$x ≠ 5$。
(4)要使$\sqrt{(x - 3)^{2}}$有意义，因为任何实数的平方都非负，所以$x$为任意实数。
(5)要使$\sqrt{-(x - 3)^{2}}$有意义，被开方数须非负，即$-(x - 3)^{2} ≥ 0$，则$(x - 3)^{2} ≤ 0$，又因为$(x - 3)^{2} ≥ 0$，所以$(x - 3)^{2} = 0$，解得$x = 3$。
(6)要使$\sqrt{x^{2} + 5}$有意义，因为$x^{2} ≥ 0$，所以$x^{2} + 5 ≥ 5 ＞ 0$，$x$为任意实数。

6. 若$\sqrt{a - 1} + b^{2} - 4b + 4 = 0$，则$ab$的值为()

A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

D

因为$\sqrt{a - 1} + b^{2} - 4b + 4 = 0$，可变形为$\sqrt{a - 1} + (b - 2)^2 = 0$。由于二次根式和平方数都具有非负性，所以$\sqrt{a - 1}=0$且$(b - 2)^2=0$，解得$a=1$，$b=2$，则$ab=1×2=2$。

7. 在函数$y = \frac{\sqrt{x + 3}}{x - 2}$中，自变量$x$的取值范围是.

$x ≥ -3$且$x ≠ 2$（填具体范围表述，如书面答案格式要求可能为填写在横线上的形式内容）。

要使函数$y = \frac{\sqrt{x + 3}}{x - 2}$有意义，需满足以下条件：
1. 二次根式中被开方数非负，即$x + 3 ≥ 0$，解得$x ≥ -3$。
2. 分式分母不为零，即$x - 2 ≠ 0$，解得$x ≠ 2$。
综合得，自变量$x$的取值范围是$x ≥ -3$且$x ≠ 2$。

8. (2025·沭阳期末)已知$x$，$y$是实数，且满足$y = \sqrt{x - 2024} + \sqrt{2024 - x}$，则$x^{y}$的值为.

1

要使二次根式有意义，则被开方数非负，所以$x - 2024 ≥ 0$且$2024 - x ≥ 0$，解得$x = 2024$。将$x = 2024$代入$y = \sqrt{x - 2024} + \sqrt{2024 - x}$，得$y = 0 + 0 = 0$。则$x^y = 2024^0 = 1$。