9. 计算：
(1)$(\sqrt{13})^{2}$；
(2)$(\sqrt{\frac{3}{7}})^{2}$；
(3)$(\sqrt{a^{2} + b^{2}})^{2}$；
(4)$(\sqrt{a + b})^{2}(a + b ≥ 0)$.

(1)
根据$(\sqrt{m})^{2}=m(m≥0)$，可得$(\sqrt{13})^{2}=13$。
(2)
依据$(\sqrt{m})^{2}=m(m≥0)$，则$(\sqrt{\frac{3}{7}})^{2}=\frac{3}{7}$。
(3)
由$(\sqrt{m})^{2}=m(m≥0)$，因为$a^{2}+b^{2}≥0$恒成立，所以$(\sqrt{a^{2} + b^{2}})^{2}=a^{2}+b^{2}$。
(4)
因为$a + b≥0$，根据$(\sqrt{m})^{2}=m(m≥0)$，可得$(\sqrt{a + b})^{2}=a + b$。

10. 在实数范围内分解因式.
(1)$x^{2} - 2$；
(2)$x^{2} - 2\sqrt{3}x + 3$；
(3)$2x^{2} - 10$.

(1)
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，在$x^{2}-2$中，$a = x$，$b=\sqrt{2}$，则：
$x^{2}-2=(x+\sqrt{2})(x - \sqrt{2})$
(2)
根据完全平方公式$a^2-2ab + b^2=(a - b)^2$，在$x^{2}-2\sqrt{3}x + 3$中，$a = x$，$b=\sqrt{3}$，则：
$x^{2}-2\sqrt{3}x + 3=(x-\sqrt{3})^2$
(3)
先提取公因式$2$，可得$2x^{2}-10 = 2(x^{2}-5)$。
再根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，在$x^{2}-5$中，$a = x$，$b=\sqrt{5}$，则：
$2x^{2}-10=2(x+\sqrt{5})(x - \sqrt{5})$

11. (2025·如皋期末)已知实数$x$，$y$满足$y = \sqrt{13 - x} + \sqrt{x - 13} + 5$.
(1)求$x$与$y$的值；
(2)求$x^{2} - y^{2}$的平方根.

(1)
根据二次根式有意义的条件：被开方数须为非负数。
在$y = \sqrt{13 - x} + \sqrt{x - 13} + 5$中，$\begin{cases}13 - x≥0\\x - 13≥0\end{cases}$
由$13 - x≥0$得$x≤13$，由$x - 13≥0$得$x≥13$，所以$x = 13$。
把$x = 13$代入$y = \sqrt{13 - x} + \sqrt{x - 13} + 5$，得$y = 5$。
(2)
当$x = 13$，$y = 5$时，$x^{2}-y^{2}=13^{2}-5^{2}=169 - 25 = 144$。
因为$(\pm12)^{2}=144$，所以$x^{2}-y^{2}$的平方根是$\pm12$。

12. 观察下列各式的规律：
①$2\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}}$；②$3\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}}$；③$4\sqrt{\frac{4}{15}} = \sqrt{4 + \frac{4}{15}}$……
(1)猜想：第$(n - 1)(n ≥ 2$且$n$为正整数)个等式是；
(2)说明你的猜想的正确性；
(3)应用：若$a\sqrt{\frac{7}{b}} = \sqrt{a + \frac{7}{b}}$，则$a + b =$.

(1)
$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n + \frac{n}{n^{2}-1}}$
(2)
左边$=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n^{2}×\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}-1}}$
右边$=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1)+n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n^{3}-n + n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}-1}}$
左边 = 右边，所以猜想正确。
(3)
由规律可得$a = 7$，$b=7^{2}-1 = 48$
$a + b=7 + 48=55$