1. (2025·宿迁期末)如图,已知点$A(3,3)$,点$B$为$x$轴负半轴上一点,直线$BA$绕点$A$顺时针旋转$45°$交$y$轴于点$C$,当$BC=BO+2$时,则点$B$坐标为 ()

A.$(-9,0)$
B.$(-6,0)$
C.$(-3,0)$
D.$(-2,0)$

1.C

2. 在平面直角坐标系中,将$A(1,m^2)$沿着$y$轴的负方向向下平移$(2m^2+3)$个单位长度后得到$B$点.有四个点$M(1,-m^2-4)$,$N(1,-2m^2-3)$,$P(1,-m^2)$,$Q(1,-3m^2)$,其中一定在线段$AB$上的是（）

A.点$M$
B.点$N$
C.点$P$
D.点$Q$
＞＞ 对点专练P17

2.C

3. （2025·北京期中）在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$P(a,b)$，对于点$P$和正实数$m$给出如下定义：若$|a| ≤ |b|$，点$P$向右平移$m$个单位长度，再关于$x$轴对称，得到点$P'$；若$|a| ＞ |b|$，点$P$向上平移$m$个单位长度，再关于$y$轴对称，得到点$P'$，称点$P'$为点$P$的“$m-$变换”点，点$P$为点$P'$的“反$m-$变换”点。例如，已知$A(5,2)$，$B(-2,-3)$，当$m=2$时，点$A$的“$2-$变换”点为$A'(-5,4)$，点$B$的“$2-$变换”点为$B'(0,3)$。
(1) 当$m=3$时，①已知点$P(-1,0)$，则点$P$的“$3-$变换”点$P'$的坐标为________；
②点$M'(1,3)$的“反$3-$变换”点$M$坐标为________，点$N'(-2,3)$的“反$3-$变换”点$N$坐标为________。
(2) 已知$C(8,0)$，$D(8,6)$，$E(0,6)$，记长方形$OCDE$上及内部所有点的“反$m-$变换”点组成的图形面积为$S$。
①当$m=4$时，$S=\_\_\_\_\_\_$；②当$0＜m＜6$时，$S=\_\_\_\_\_\_$。（用含$m$的式子表示）

3.(1)①$(1,3)$ ②$(-2,-3)$或$(-1,0)$ $(2,0)$
(2)①70 ②$\begin{cases}-\dfrac{3}{2}m^2+12m+48(0＜m≤2),\\-2m^2+14m+46(2＜m＜6)\end{cases}$

4. |新定义 在平面直角坐标系$xOy$中,过点$P(m,0)$作直线$l ⊥ x$轴,图形$W$关于直线$l$的对称图形为$W'$,图形$W'$上任一点到$x$轴,$y$轴的距离的最大值是$d$,称$d$是图形$W$关于直线$l$的$m$倍镜像“接收距离”.已知点$A(3,2)$,$B(5,2)$.
(1)①线段$AB$关于直线$l$的1倍镜像“接收距离”是________;
②若线段$AB$关于直线$l$的$m$倍镜像“接收距离”是$2$,则$m$的取值范围是________.
(2)若点$C(-3,3)$,则$△ ABC$关于直线$l$的$m$倍镜像“接收距离”的最小值是________.
(3)点$D(-4,-3)$,$E(-2,-3)$,线段$DE$关于直线$l$的$m$倍镜像“接收距离”小于线段$AB$关于直线$l$的$m$倍镜像“接收距离”,求$m$的取值范围(直接写出结果即可).
$\gg$ 根据诊断结果,请完成对应的练习

4.(1)①3 解析:设线段 AB 关于直线 l 的 1 倍镜像的线段为 A'B',A'(-1,2),B'(-3,2),
∴ 点 B'与 y 轴距离最大,为 3,故答案为 3.
②$\dfrac{3}{2}≤ m≤\dfrac{5}{2}$ 解析:点 A 和 B 关于直线 x=m 的对称点为 A'(2m-3,2),B'(2m-5,2),
∵ 线段 AB 关于直线 l 的 m 倍镜像“接收距离”是 2,
∴ $\begin{cases}|2m-3|≤2,\\|2m-5|≤2,\end{cases}$
∴ $\dfrac{3}{2}≤ m≤\dfrac{5}{2}$,故答案为$\dfrac{3}{2}≤ m≤\dfrac{5}{2}$.
(2)4 解析:如图①,
∵ A(3,2),B(5,2),C(-3,3),
∴ B,C 横向距离是 8,
∴ B,C 关于直线 l 的 m 倍镜像 B',C'的横向距离也是 8,
∴ △ABC 关于直线 l 的 m 倍镜像“接收距离”的最小值是 4.故答案为 4.

(3)$m＜\dfrac{1}{4}$. 解析:如图②,点 A 和 B 关于直线 x=m 的对称点为 A'(2m-3,2),B'(2m-5,2),线段 DE 关于直线 l 的 m 倍镜像的线段是 D'E',则 D'(2m+4,-3),E'(2m+2,-3),当线段 DE 关于直线 l 的 m 倍镜像“接收距离”等于线段 AB 关于直线 l 的 m 倍镜像“接收距离”时,$(2m-5)+(2m+4)=0$,
∴ $m=\dfrac{1}{4}$,
∴ 当线段 DE 关于直线 l 的 m 倍镜像“接收距离”小于线段 AB 关于直线 l 的 m 倍镜像“接收距离”时,$m＜\dfrac{1}{4}$.