1. ★★★ (1)(2025·南京期末)已知$a-b=1$,则在平面直角坐标系中,点$P(a,b)$不可能出现在第象限.

1.(1)二 解析:
∵a-b=1,
∴a=b+1,当b＞0时,a=b+1＞1＞0,此时在第一象限;当-1＜b＜0时,a=b+1＞0,此时在第四象限;当b＜-1时,a=b+1＜-1+1＜0,此时在第三象限.故不可能出现在第二象限。

(2)已知点$P(a+3,2a-5)$关于原点的对称点在第二象限,则$a$的取值范围是.

1.(2)$-3＜a＜\dfrac{5}{2}$ 解析:由题意可得,点P在第四象限,$\therefore \begin{cases} a+3＞0,\\ 2a-5＜0, \end{cases}$ $\therefore -3＜a＜\dfrac{5}{2}$。

2. （2025·北京期中）在平面直角坐标系$xOy$中，对于点$P$和点$H$（点$H$的横、纵坐标相等），给出如下定义：$l_1$为过点$H(h,h)$且与$x$轴垂直的直线，$l_2$为过点$H(h,h)$且与$y$轴垂直的直线，先作点$P$关于$l_1$的对称点$E$，再作点$E$关于$l_2$的对称点$P'$，则称点$P'$是点$P$关于点$H(h,h)$的“关联点”。
例如：如图，点$G(2,1)$关于原点$O(0,0)$的“关联点”是$G'(-2,-1)$。
（1）点$(-3,1)$关于点$(-2,-2)$的关联点坐标为________；
（2）如果点$F'(1,2)$是点$F(-3,-4)$关于点$H(h,h)$的“关联点”，那么$h=\_\_\_\_\_\_$；
（3）点$A(0,4)$关于点$H(h,h)$的“关联点”为$A'$，如果$△ OAA'$是以$OA$为底的等腰三角形，求该三角形的面积；
（4）点$B(h,2)$关于点$H(h,h)$的“关联点”为$B'$，如果以$BB'$为边的等腰直角三角形只在第一象限内，直接写出$h$的取值范围。

$\gg$ 进一步挑战进阶专题:P114 专题2

2.(1)$(-1,-5)$ 解析:由题意知,$l_1$为直线$x=-2$,$l_2$为直线$y=-2$,$\therefore$ 点$(-3,1)$关于$l_1$的对称点为$(-1,1)$,点$(-1,1)$关于$l_2$的对称点为$(-1,-5)$,故答案为$(-1,-5)$。
(2)$-1$ 解析:设点$F$关于$l_1$的对称点为$E$,则$F'$与$E$关于$l_2$对称,$\therefore$ 点$E$的横坐标与$F'$的横坐标相同,为$1$.$\because$ 点$F$的横坐标为$-3$,$\therefore h=\dfrac{-3+1}{2}=-1$,故答案为$-1$。
(3)$\because △ OAA'$是以$OA$为底的等腰三角形,$\therefore A'$在$OA$的垂直平分线上,$\therefore y_{A'}=2$,设点$A$关于$l_1$的对称点为$D$,则$y_D=4$,$A'$与$D$关于$l_2$对称,$\therefore l_2$为直线$y=3$.又$A(0,4)$,$H(h,h)$,$\therefore D(2h,4)$,$A'(2h,2)$,$\therefore h=\dfrac{2+4}{2}=3$,$\therefore A'(6,2)$,$\therefore S_{△ OAA'}=\dfrac{1}{2}×4×6=12$,$\therefore △ OAA'$的面积为$12$。
(4)$h$的取值范围为$\dfrac{4}{3}＜h＜4$且$h≠2$。 解析:$\because B(h,2)$关于点$H(h,h)$的“关联点”为$B'$,$\therefore B'(h,2h-2)$,$\therefore BB'=|2h-2-2|=|2h-4|$.$\because$ 以$BB'$为边的等腰直角三角形只在第一象限内,$\therefore h＞|2h-4|$,解得$\dfrac{4}{3}＜h＜4$.当$h=2$时,不能构成三角形,$\therefore h≠2$,$\therefore \dfrac{4}{3}＜h＜4$且$h≠2$时,以$BB'$为边的等腰直角三角形只在第一象限内。