1. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$BC=13$,$△ ABC$的面积为$30$,$BD$平分$∠ ABC$交边$AC$于点$D$,点$E,F$分别是边$BD,AB$上的动点,当$AE+EF$的值最小时,最小值为（）


A.$6$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{60}{13}$
D.$\dfrac{120}{13}$

1. C 解析:如图所示,在 BC 边上截取 BG=BF,连接 EG,过点 A 作 AH⊥BC,垂足为点 H.
∵ BD 平分 ∠ABC 交边 AC 于点 D,
∴ ∠FBE= ∠GBE.
∵ BG = BF,BE=BE,
∴ △BGE≌△BFE,
∴ EF=EG,
∴ AE+EF=AE+EG,当且仅当点 A,E,G 共线,且与 BC 垂直时,AE+EF 的值最小,即 BC 边上的垂线段 AH.
∵ BC=13,△ABC 的面积为 30,$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC· AH$,
∴ $AH=\frac{60}{13}$,
∴ 当 AE+EF 的值最小时,最小值为$\frac{60}{13}$。

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=60°$,$∠ BAC=80°$,$AD$,$CD$分别平分$∠ BAC$和$∠ ACB$,$P$是$AC$上一点,$PH ⊥ BC$,已知$AD=m$,$BC=n$,$m＜n$.当$PD+PH$取最小值时,请用含$m$,$n$的式子表示$HC$的长度.

2. 如图,作∠ACE=20°,CE 交 BA 的延长线于点 E,在 CE 上取一点 D',使 CD'=CD,连接 AD',PD',过点 D' 作 D'G⊥BC 于点 G.
∵ ∠B=60°,∠BAC=80°,
∴ ∠ACB=40°.
∵ AD,CD 分别平分 ∠BAC 和 ∠ACB,
∴ ∠DAC = 40°,∠DCA = 20°.
∵ ∠D'CA=20°,
∴ ∠DCA = ∠D'CA,
∴ ∠BCE = 60°.又
∵ AC=AC,DC = D'C,PC = PC,
∴ △DCA≌△D'CA,△DCP≌△D'CP,
∴ AD = AD' = m,∠D'AC = ∠DAC = 40°,PD = PD',
∴ PD+PH = PD'+PH ≥ D'G,即 PD+PH 的最小值为 D'G,此时 HC = GC.
∵ ∠B=60°,∠BCE=60°,
∴ △BCE 是等边三角形,
∴ CE = BC = n,∠E = 60°.
∵ ∠BAC=80°,∠D'AC=40°,
∴ ∠EAD' = 180°-∠BAC-∠D'AC=60°,
∴ △EAD'是等边三角形,
∴ ED' = AD' = m,
∴ CD' = CE-ED' = n-m. 在 Rt△D'CG 中,
∵ ∠D'CG=60°,
∴ ∠CD'G=30°,
∴ $CG=\frac{1}{2}CD'=\frac{1}{2}(n-m)$,
∴ $HC=\frac{1}{2}(n-m)$。

3. 如图,点 E 在等边$△ ABC$的边 BC 上,$BE=8$,射线$CD⊥BC$于点 C,P 是射线 CD 上一动点,F 是线段 AB 上一动点,当$EP+PF$的值最小时,$BF=10$,则 AC 的长为________.

3. 14 解析:
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ AC=BC,∠B=60°,作点 E 关于直线 CD 的对称点 G,连接 PG,FG,当点 P 在 FG 上,且 GF⊥AB 时,如图,则此时 EP+PF 的值最小.
∵ ∠B=60°,∠BFG=90°,
∴ ∠BGF=30°.
∵ BF=10,
∴ BG=2BF=20,
∴ EG=BG-BE=20-8=12.
∵ 点 E 关于直线 CD 的对称点为 G,
∴ $CE=CG=\frac{1}{2}EG=6$,
∴ AC=BC=BE+CE=8+6=14。