1. 如图,等边$△ ABC$中,$AD$为$BC$边上的高,点$M,N$分别在$AD,AC$上,且$AM=CN$,连接$BM$,$BN$,当$BM+BN$最小时,求$∠ MBN$的度数.

作 $CH ⊥ BC$, 使得 $CH = BC$, 连接 $NH$, $BH$.
$\because △ ABC$ 是等边三角形, $AD ⊥ BC$, $CH ⊥ BC$, $\therefore ∠ DAC = ∠ DAB = 30°$, $AD // CH$, $\therefore ∠ HCN = ∠ CAD = ∠ BAM = 30°$.
$\because AM = CN$, $AB = BC = CH$, $\therefore △ ABM ≌ △ CHN(\mathrm{SAS})$, $\therefore BM = HN$. $\because BN+HN ≥ BH$, $\therefore$ 当 $B,N,H$ 三点共线时, $BM+BN = NH+BN$ 的值最小, 如图②, 当 $B,N,H$ 三点共线时, $\because △ ABM ≌ △ CHN$, $\therefore ∠ ABM = ∠ CHB = ∠ CBH = 45°$. $\because ∠ ABD = 60°$, $\therefore ∠ DBM = 15°$, $\therefore ∠ MBN = 45° - 15° = 30°$, $\therefore$ 当 $BM+BN$ 的值最小时, $∠ MBN = 30°$.
、

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=65°$,$BD$是$AC$边上的高,点$E,F$分别在$AB,BD$上,且$AE=BF$,当$AF+CE$的值最小时,求$∠ AFD$的度数.

过A作 $AG ⊥ AC$, 使得 $AG=AB$, 连接 $GE$, $\because BD ⊥ AC$, $GA ⊥ AC$, $\therefore BD // AG$, $\therefore ∠ ABF = ∠ GAE$. 又 $\because AG = BA$, $AE = BF$, $\therefore △ AGE ≌ △ BAF(\mathrm{SAS})$, $\therefore AF = GE$, $\therefore AF+CE = GE+CE$, $\therefore$ 当 $G,E,C$ 三点共线时, $AF+CE$ 的最小值等于 $CG$ 的长, 此时 $AG=AC$, $∠ GAC=90°$, 即 $△ ACG$ 是等腰直角三角形, $\therefore ∠ G = 45° = ∠ BAF$. 又 $\because$ 在 $\mathrm{Rt} △ ABD$ 中, $∠ ABD = 90° - 65° = 25°$, $\therefore ∠ AFD = ∠ ABF + ∠ BAF = 25° + 45° = 70°$.

3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=8$,$E$,$F$为$AB$上的两个动点,且$AE=BF$,求$CE+CF$的最小值.

过点 $B$ 作 $∠ FBD = ∠ A$, 且 $BD = AC$, 连接 $DF$, $\because AE = BF$, $\therefore △ BDF ≌ △ ACE$, $\therefore DF = CE$, $\therefore CE+CF = DF+CF$, 连接 $CD$, 则 $DF+CF$ 的最小值为 $CD$ 的长. $\because ∠ ACB = 90°$, $\therefore ∠ A + ∠ ABC = 90°$, $\therefore ∠ FBD + ∠ ABC = 90°$, $\therefore ∠ CBD = 90°$. $\because AC = BD$, $\therefore △ ABC ≌ △ DCB$, $\therefore CD = AB = 8$, 即 $CE+CF$ 的最小值为 $8$.