1. :: |教材变式 如图,某大学建立分校,校本部与分校隔着两条平行的小河,$l_{1}// l_{2}$表示小河甲,$l_{3}// l_{4}$表示小河乙,A 为校本部大门,B 为分校大门,为方便人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.请你设计一条路线,使 A,B 两点间来往的路程最短.

作$AA' ⊥$河岸,$BB' ⊥$河岸,方向是对着小河,使$AA'=$小河甲宽度,$BB'=$小河乙宽度,连接$A'B'$,交$l_2$于点$D$,交$l_3$于点$E$,过点$D$作$DC ⊥ l_1$,过点$E$作$EF ⊥ l_4$,垂足分别为$C,F$,连接$AC,BF$.$\because AA' ⊥ l_1$,$DC ⊥ l_1$,$AA' = CD$,$\therefore$ 四边形$AA'DC$是平行四边形,$\therefore AC+CD = AA'+A'D$.同理可得,$BF+EF = BB'+B'E$,$\therefore$ 最短路径为$AC+CD+DE+EF+BF = AA'+A'B'+BB'$.

2. (1)如图,一条笔直的河流$ l $的同侧有$ A,B $两个村庄,要把$ A $处的产品运往$ B $处.按计划要先到河岸$ M $处接一批货物,然后一起运往$ B $处,要使总路程最短,点$ M $应选在河流$ l $的什么位置?
(2)在(1)的条件下,若在河岸$ M $处接货后,需沿河岸行$ a $千米至$ N $处,再将货物运送至$ B $处,要使总路程最短,$ M,N $两点应选在河流$ l $的什么位置?

(1)如图①所示,根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”,以$ l $为对称轴,作点$ A $的对称点$ A' $,连接$ A'B $,与$ l $的交点即为所求点$ M $.
(2)如图②所示.作法:①过点$ A $作$ AE // l $,在$ AE $上截取$ AA' = a $;②作点$ B $关于直线$ l $的对称点$ B' $,连接$ A'B' $交直线$ l $于点$ N $;③过点$ A $作$ AM // A'B' $,交直线$ l $于点$ M $,则点$ M,N $即为所求.

3. 如图，$∠ MON=15°$，四边形$ABCD$的顶点$A$在$∠ MON$的内部，$B$，$C$两点在$OM$上（点$C$在点$B$，$O$之间），且$BC=2$，点$D$在$ON$上，当$CD⊥ OM$时，四边形$ABCD$的周长最小，则此时$AD$的长度是________.

$\gg$进一步挑战进阶专题：P55 专题38~P59 专题42

4 解析:如图①,分别作点$ A $关于直线$ OM,ON $的对称点$ A_1,A_2 $,连接$ BA_1,DA_2 $,过点$ A_1 $作$ A_1A_3 ⊥ CD $且交$ DC $延长线于点$ A_3 $,可知$ AQ=A_1Q=A_3C $,$AB＞AQ$,当$ A,B,A_1 $共线时,$AB$最短,此时$ A_3C=AB $.$\because $ 四边形$ ABCD $的周长$ = AB+BC+CD+AD=A_3C+CD+DA_2+BC=A_3C+CD+DA_2+2 $,$\therefore $ 当$ A_3,C,D,A_2 $四点共线时,四边形$ ABCD $的周长最小(如图②),作$ AH ⊥ CD $于点$ H $.$\because ∠ MON=15° $,$CD ⊥ OM$,$\therefore ∠ ODC=90° -15° =75° $,$\therefore ∠ FDA_2=∠ ODC=∠ ADF=75° $,$\therefore ∠ ADH=180° -75° -75° =30° $.在$ \mathrm{Rt}△ ADH $中,$ AD=2AH=2BC=4 $.