1. 如图，$△ ABC$是等边三角形，$D$为$BC$边上一个动点($D$与$B,C$均不重合)，$AD=AE$，$∠ DAE=60°$，连接$CE$.
(1)求证:$CE$平分$∠ ACF$；
(2)若$AB=2$，当四边形$ADCE$的周长取最小值时，求$BD$的长.

1.(1)
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ AB = AC, ∠BAC = 60°.
∵ ∠DAE=60°,
∴ ∠BAD+∠DAC = ∠CAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE,在△ABD 和△ACE 中,
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAD=∠ CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS),
∴ ∠ABD = ∠ACE.
∵ ∠ABD = ∠ACB = 60°,
∴ ∠ACF=120°.又
∵ ∠ACE=60°,
∴ ∠FCE=∠ACE=60°,
∴ CE 平分∠ACF.
(2)
∵ △ABD≌△ACE,
∴ CE = BD.
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ AB=BC=AC=2,
∴ 四边形 ADCE 的周长=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=2+2AD,根据垂线段最短,当 AD⊥BC 时,AD 的值最小,此时四边形 ADCE 的周长取最小值.
∵ AB = AC,
∴ BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×2=1.

2. 如图,已知$∠ AOB=120°$,点$D$是$∠ AOB$的平分线上的一个定点,点$E,F$分别在射线$OA$和射线$OB$上,且$∠ EDF=60°$.下列结论:①$△ DEF$是等边三角形;②四边形$DEOF$的面积是一个定值;③当$DE ⊥ OA$时,$△ DEF$的周长最小;④当$DE // OB$时,$DF$也平行于$OA$.其中正确的个数是 $(\quad)$

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

2. C 解析:过点 D 作 DM⊥OB 于点 M,DN⊥OA 于点 N,如图①所示,
∵ 点 D 是∠AOB 的平分线上的一点,
∴ DM = DN.
∵ ∠AOB = 120°, ∠DNO = ∠DMO = 90°,
∴ ∠MDN = 60°.
∵ ∠EDF = 60°,
∴ ∠EDN = ∠FDM,
∴ △DEN ≌ △DFM(ASA),
∴ DE = DF,
∴ △DEF 是等边三角形,故①正确;
∵ $S_{△ DFM}=S_{△ DEN}$,
∴ $S_{△ DFM}+S_{四边形DEOM}=S_{四边形DEOM}+S_{△ DEN}$,即$S_{四边形DEOF}=S_{四边形DMON}$.
∵ 点 D 是∠AOB 的平分线上的一个定点,
∴ 四边形 DMON 的面积是一个定值,
∴ 四边形 DEOF 的面积是一个定值,故②正确;
∵ DE⊥OA,
∴ 点 E 与点 N 重合.
∵ 垂线段最短,
∴ DE 的值最小,当 DE 最小时,△DEF 的周长最小,
∴ 当 DE⊥OA 时,DE 最小,△DEF 的周长最小,故③正确;如图②,
∵ DE//OB,
∴ ∠D = ∠DFB = 60°.
∵ ∠AOB = 120°,
∴ ∠DFB≠∠AOB,
∴ DF 与 OA 不平行,故④错误.

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,$AB=2$,$△ ABC$的面积为1.$D$是边$AB$上一动点,连接$CD$,以$CD$为直角边在$CD$左侧作等腰直角$△ CDE$,且$∠ DCE=90°$,连接$AE$,求$△ ADE$面积的最大值.

3. 如图,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F,
∵ AB=2,△ABC 的面积为1,
∴ CF = 1.
∵ ∠ACB = ∠DCE = 90°,
∴ ∠ACE = ∠BCD. 在△ACE 和△BCD 中,
$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ ACE=∠ BCD,\\ CE=CD, \end{cases}$
∴ △ACE ≌ △BCD(SAS),
∴ 四边形 AECD 的面积与△ABC 的面积相等,
∴ △ADE 的面积 = △ABC 的面积 - △CDE 的面积,即 $S_{△ ADE}=1-\frac{1}{2}CD^2$,
∴ 当 CD 取得最小值时,△ADE 的面积取得最大值.
∵ CD 取得最小值为 CF=1,
∴ $S_{△ ADE}$的最大值为$\frac{1}{2}$.