26. 中考新考法 类比猜想 如图(1),$△ ABE$ 是等腰三角形,$AB=AE$,$∠ BAE=45°$,过点 $B$ 作$BC ⊥ AE$ 于点 $C$,在 $BC$ 上截取 $CD=CE$,连接 $AD$,$DE$,并延长 $AD$ 交 $BE$ 于点 $P$.
(1)求证:$AD=BE$;
(2)试说明 $AD$ 平分$∠ BAE$;
(3)如图(2),将$△ CDE$绕着点$C$旋转一定的角度,那么 $AD$ 与 $BE$ 的位置关系是否发生变化,说明理由.

精题详解

26. (1)
∵BC⊥AE，∠BAE=45°，
∴∠CBA=∠CAB，
∴BC=AC。
在△BCE和△ACD中，$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCE=∠ACD=90°, \\ CE=CD, \end{cases}$
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴AD=BE。
(2)
∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC=∠DAC。
∵∠BDP=∠ADC，
∴∠BPD=∠DCA=90°。
∵AB=AE，
∴AD平分∠BAE。
(3)AD与BE的位置关系不发生变化。理由如下：
如图，设AD，BC交于点F。
由(1)，得BC=AC，∠BCA=∠ECD=90°，
∴∠BCA+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠ACD=∠BCE。
又CD=CE，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴∠EBC=∠DAC。
∵∠BFP=∠AFC，
∴∠BPF=∠ACF=90°，
∴AD⊥BE。

27. 用两个全等的等边三角形$ABC$和$△ ACD$拼成四边形$ABCD$，把一个含$60^{\circ }$角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的$60^{\circ }$角的顶点与点$A$重合，两边分别与$AB$，$AC$重合，将三角尺绕点$A$按逆时针方向旋转.
(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边$BC$，$CD$相交于点$E$，$F$时(如图(1))，通过比较$BE$，$CF$的长度，你能得出什么结论？并说明理由.
(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边$BC$，$CD$的延长线相交于点$E$，$F$时(如图(2))，你在(1)中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

27. (1)BE=CF。理由如下：
∵△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠ACD=60°，AB=AC。
∵∠EAF=∠BAC=60°，
∴∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠BAE，
∴∠CAF=∠BAE。
在△ABE和△ACF中，$\begin{cases} ∠B=∠ACF, \\ AB=AC, \\ ∠BAE=∠CAF, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴BE=CF。
(2)成立。理由如下：
∵△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ADC=∠CAD=60°，AC=AD=BC=CD，
∴∠ACE=∠ADF=120°。
∵∠EAF=∠CAD=60°，
∴∠EAF-∠EAD=∠CAD-∠EAD，
∴∠CAE=∠DAF。
在△ACE和△ADF中，$\begin{cases} ∠CAE=∠DAF, \\ AC=AD, \\ ∠ACE=∠ADF, \end{cases}$
∴△ACE≌△ADF(ASA)，
∴CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD，即BE=CF。
归纳总结 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的判定方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件。