23. (2024·苏州昆山一模)如图,在$△ ABC$中,$D$为$AB$上一点,$E$为$AC$中点,连接$DE$并延长至点$F$,使得$EF=ED$,连接$CF$.
(1)求证:$CF// AB$;
(2)若$∠ A=70°$,$∠ F=35°$,$BE⊥ AC$,求$∠ BED$的度数.

23. (1)
∵E为AC中点，
∴AE=CE，
在△AED和△CEF中，$\begin{cases} AE=CE, \\ ∠AED=∠CEF, \\ DE=EF, \end{cases}$
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴∠A=∠ACF，
∴CF//AB。
(2)
∵∠A=∠ACF=70°，∠F=35°，
∴∠AED=∠CEF=180°-70°-35°=75°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BED=90°-75°=15°。

24. (2024·泰州高港区期中) 如图，$ED ⊥ AB$，$FC ⊥ AB$，垂足分别为 $D$，$C$，请从 ①$AE // BF$；②$AE=BF$；③$AC=BD$ 中选择两个作为补充条件，余下一个作为结论，并写出结论成立的证明过程. 你选的补充条件是，结论是.(填序号)

24. 补充条件选①②，结论为③。（答案不唯一）证明如下：
∵AE//BF，
∴∠A=∠B。
∵ED⊥AB，FC⊥AB，
∴∠ADE=∠FCB=90°。
在△ADE与△BCF中，$\begin{cases} ∠ADE=∠BCF, \\ ∠A=∠B, \\ AE=BF, \end{cases}$
∴△ADE≌△BCF(AAS)，
∴AD=CB，
∴AC=BD。
或补充条件是①③，结论是②或补充条件是②③，结论是①，证明略。

25. (2025·无锡锡山高级中学实验学校期中) 如图，在$△ ABC$中，以$AB$，$AC$为边向外作等腰三角形$ABD$，$△ ACE$，且$AB=AD$，$AC=AE$，$F$为$BC$中点，$∠ DAB=∠ CAE=α$。连接$DE$，$DC$，$BE$，$AF$。
(1) 证明$△ ADC≌△ ABE$；
(2) 当$DE=2AF$时，
①求$α$的大小；
②判断$△ ABC$与$△ ADE$面积之间的关系，并说明理由。

25. (1)
∵∠DAB=∠CAE=α，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠EAB，
在△DAC和△BAE中，$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠DAC=∠EAB, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△ADC≌△ABE(SAS)。
(2)①如图(1)，延长AF至G，使得GF=AF，连接BG。
∵F为BC中点，
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$AG。
在△GFB和△AFC中，$\begin{cases} GF=AF, \\ ∠BFG=∠AFC, \\ BF=CF, \end{cases}$
∴△GFB≌△AFC(SAS)，
∴AC=BG，∠1=∠G。
∵DE=2AF，
∴DE=AG。
∵AB=AD，AC=AE，
∴BG=AE，
在△ABG和△DAE中，$\begin{cases} AG=DE, \\ AB=AD, \\ BG=AE, \end{cases}$
∴△ABG≌△DAE(SSS)，
∴∠2=∠3。
∵∠3+∠BAG+∠G=180°，
∴∠2+∠BAG+∠1=180°，
即∠DAB+∠EAC=360°-(∠2+∠BAG+∠1)=180°，
∴2α=180°，则α=90°。
②△ABC与△ADE面积相等。理由如下：
如图(2)，过点C作CM⊥AB于点M，过点E作EN⊥DA交DA延长线于N，
∵α=90°，
∴△ABD和△ACE都是等腰直角三角形。
∵∠BAD+∠CAE+∠BAC+∠DAE=360°，
∴∠BAC+∠DAE=180°。
∵∠DAE+∠EAN=180°，
∴∠BAC=∠EAN，
在△ACM和△AEN中，$\begin{cases} ∠MAC=∠NAE, \\ ∠AMC=∠ANE, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△ACM≌△AEN(AAS)，
∴CM=EN。
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CM$，$S_{△ADE}=\frac{1}{2}AD·EN$，
∴$S_{△ABC}=S_{△ADE}$。