1. (2025·镇江丹徒区期中) 在下列实数中: $\sqrt[3]{8},0,$
$\sqrt{16},-3.141\ 5,π ,-\dfrac{22}{7},0.314\ 114\ 111\ 4···$
（每两个4之间1的个数依次加1)无理数的个数是().

A.1
B.2
C.3
D.4

1. B [解析]$\sqrt[3]{8}=2,\sqrt{16}=4,$是整数,属于有理数,无理数有π,0.3141141114…(每两个4之间1的个数依次加1),共有2个.故选B.

2. $(-6)^{2}$的平方根是().

A.$\pm6$
B.$6$
C.$-6$
D.$\pm\sqrt{6}$

2. A [解析]$(-6)^2=36$,36的平方根是$\pm6$.故选A.

3. (2025·常州期中) 如图，$△ ABD$ 和 $△ BCD$ 都是边长为2的等边三角形，点$E,F$分别在边$AB$，$AD$上，将$△ AEF$沿直线$EF$折叠，点$A$恰好落在边$BC$的中点$G$处，则$AF$的长度是().

A.1
B.$\dfrac{7}{4}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{5}{3}$

3. B [解析]如图,连接DG，$\because△ABD$和$△BCD$都是边长为2的等边三角形，$\therefore AB=AD=BD=BC=CD$，$\therefore$四边形ABCD是菱形，$\therefore AD// BC$.$\because△BCD$都是边长为2的等边三角形,G为BC的中点，$\therefore DG⊥ BC,CG=1$，在$\mathrm{Rt}△CDG$中,$DG=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.根据翻折变换可知,$AF=FG$.$\because AD// BC,DG⊥ BC,\therefore DG⊥ AD$，在$\mathrm{Rt}△DFG$中,设$FG=m$,则$DF=2-m$，$\therefore DF^2+DG^2=FG^2$,即$(2-m)^2+(\sqrt{3})^2=m^2$，解得$m=\dfrac{7}{4}$.故选B.

4. (2024·镇江句容期中)将一根 24 cm 的筷子置于底面直径为 12 cm,高为 5 cm 的圆柱形水杯中,如图,设筷子露在杯子外面的长度为 $h$ cm,则$h$ 的取值范围是().

A.$h≤ 19$
B.$11≤ h≤ 19$
C.$12≤ h≤ 19$
D.$13≤ h≤ 19$

4. B [解析]如图,当筷子的底端在D点时,筷子露在杯子外面的长度最长，此时$h=24-5=19$；当筷子的底端在A点时,筷子露在杯子外面的长度最短，在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AD=12\ \mathrm{cm},BD=5\ \mathrm{cm}$，$\therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13(\mathrm{cm})$，此时$h=24-13=11$，$\therefore h$的取值范围是$11≤ h≤19$.故选B.

5. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7 m,顶端距离地面2.4 m. 如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2 m,则小巷的宽度为().

A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m

5. C [解析]如图,在$\mathrm{Rt}△ACB$中,$∠ ACB=90°,BC=0.7\ \mathrm{m},AC=2.4\ \mathrm{m}$，$\therefore AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{0.7^2+2.4^2}=2.5(\mathrm{m})$.在$\mathrm{Rt}△A'BD$中,$∠ A'DB=90°,A'D=2\ \mathrm{m}$，$A'B=AB=2.5\ \mathrm{m}$，$\therefore BD=\sqrt{A'B^2-A'D^2}=\sqrt{2.5^2-2^2}=1.5(\mathrm{m})$. $\therefore CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(\mathrm{m})$.故选C.

6. (2025·宿迁宿城区期中) 如图，$△ ABC$ 的顶点都在边长为 1 的正方形网格的格点上，$CD ⊥ AB$于点$D$，则$CD$的长是().

A.$\dfrac{19}{5}$
B.$4$
C.$\dfrac{17}{5}$
D.$\dfrac{21}{5}$

6. A [解析]如图,由勾股定理,得$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$. $\because S_{△ ABC}=S_{\mathrm{长方形}CGHK}-S_{△ CKA}-S_{△ ABH}-S_{△ CBG}=20-\dfrac{5}{2}-6-2=\dfrac{19}{2}$,$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· CD$，$\therefore \dfrac{1}{2}×5CD=\dfrac{19}{2}$，$\therefore CD=\dfrac{19}{5}$.故选A.

7. (2025·镇江期中) 如图, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°, AB = 10\ \mathrm{cm}, AC = 6\ \mathrm{cm}$, 动点 $P$ 从点 $B$ 出发, 沿射线 $BC$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动, 设运动的时间为 $t$ 秒, 若 $△ ABP$ 是等腰三角形时, 则$t$ 的值为().


A.10
B.16
C.10 或 16
D.10 或 16 或 $\dfrac{25}{4}$

7. D [解析]$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠ ACB=90°,AB=10\ \mathrm{cm},AC=6\ \mathrm{cm}$,由勾股定理,得$BC=\sqrt{10^2-6^2}=8(\mathrm{cm})$.$\because$动点$P$从点$B$出发,沿射线$BC$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,运动的时间为$t$秒,$\therefore BP=t\ \mathrm{cm}$.①当$PB=PA$时,如图(1)所示:$\because BP=t\ \mathrm{cm}$,$\therefore PC=(8-t)\ \mathrm{cm}$，$\therefore 6^2+(8-t)^2=t^2$,解得$t=\dfrac{25}{4}$；②当$BA=PB$时,如图(2)所示:$\because AB=10\ \mathrm{cm}$,$\therefore BP=t=10\ \mathrm{cm}$,解得$t=10$；③当$AB=AP$时,如图(3)所示:$\because AC⊥ BP$,$\therefore BC=CP=8\ \mathrm{cm}$，$\therefore BP=BC+CP=16\ \mathrm{cm}$,$\therefore t=16\ \mathrm{cm}$.综上所述,当$t$的值分别为$\dfrac{25}{4},10,16$时,$△ ABP$为等腰三角形.故选D.

8. 任何实数$a$，可用$[a]$表示不超过$a$的最大整数，如$[4]=4$，$[\sqrt{3}]=1$。现对72进行如下操作：$72\xrightarrow{\mathrm{第一次}}[\sqrt{72}]=8\xrightarrow{\mathrm{第二次}}[\sqrt{8}]=2\xrightarrow{\mathrm{第三次}}[\sqrt{2}]=1$，这样对72只需进行3次操作即可变为1。类似地，将81变为1需要操作的次数是()。

A.2
B.3
C.4
D.5

8. B [解析]$81\xrightarrow{\mathrm{第一次}}[\sqrt{81}]=9\xrightarrow{\mathrm{第二次}}[\sqrt{9}]=3\xrightarrow{\mathrm{第三次}}[\sqrt{3}]=1$.故对81只需进行3次操作后即可变为1.故选B.

二、填空题
9. 边长为 2 的正三角形的面积是.

9. $\sqrt{3}$ [解析]如图,过点A作$AD⊥ BC$于点D. $\because AB=AC=BC=2$，$\therefore BD=CD=\dfrac{1}{2}BC=1$.在$\mathrm{Rt}△ABD$中,根据勾股定理,得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{3}$，则$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AD=\sqrt{3}$.

10. 如图,每个小正方形的边长为 1,A,B,C 是小正方形的顶点,则$∠ ABC$的度数为.

10. $45°$ [解析]如图,连接AC. 根据勾股定理,得$AC=BC=\sqrt{5},AB=\sqrt{10}$. $\because (\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=(\sqrt{10})^2$,$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$.$\therefore△ ABC$是等腰直角三角形.$\therefore∠ ABC=45°$.