11. 传统文化 折竹问题 （2024·淮安期末）折竹问题：今有竹高九尺，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是一根竹子原高9尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？即：如图，$AB+AC=9$ 尺，$BC=3$ 尺，则 $AC$ 的高为尺.

11. 4 [解析]由题意知,$AB+AC=9$尺,$BC=3$尺.在$\mathrm{Rt}△ABC$中,由勾股定理,得$AB^2=AC^2+BC^2$,即$(9-AC)^2=AC^2+9$,解得$AC=4$.

12. (2025·黑龙江大庆期末)如图,在数轴上,点A,B分别表示实数−1,2,过点B作$BC⊥ AB$,且$BC=2$,连接AC. 若以点A为圆心,AC长为半径画弧,交数轴正半轴于点D,则点D对应的实数是.

12. $\sqrt{13}-1$ [解析]$\because$点A,B分别表示实数$-1,2$，$\therefore AB=|2-(-1)|=|2+1|=3$.$\because BC⊥ AB$,$\therefore∠ ABC=90°$，$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，由题意可知,$AD=AC=\sqrt{13}$.$\because A$点表示的数是$-1$，设点D表示的数为$x$,$\therefore |x-(-1)|=\sqrt{13}$，$|x+1|=\sqrt{13}$,$x+1=\pm\sqrt{13}$，$x=\sqrt{13}-1$或$-\sqrt{13}-1$(不合题意,舍去)，$\therefore$点D表示的数为$\sqrt{13}-1$.归纳总结 本题主要考查了实数与数轴、勾股定理,解题关键是熟练掌握两点间的距离公式和勾股定理.

13. (2025·南京联合体期末) 与$\sqrt{20}$最接近的整数是。

13. 4 [解析]$\because\sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{20.25}$，$\therefore4＜\sqrt{20}＜4.5$,$\therefore\sqrt{20}$最接近的整数是4.

14. (2025·泰州姜堰区期末)若 $k,b$ 都是实数,且$\sqrt{k-1}+\sqrt{1-k}+b=3$,则 $k+b=$.

14. 4 [解析]根据题意,得$\begin{cases}k-1≥0,\\1-k≥0,\end{cases}$解得$k=1$,$\therefore0+0+b=3$,$\therefore b=3$，$\therefore k+b=1+3=4$.

15. 若$2a-1$和$5-a$是一个数$m$的平方根，则
$a=$，$m=$。

15. $-4$ $81$ [解析]由题意,得$2a-1+5-a=0$，解得$a=-4$,则$m=(2a-1)^2=81$.

16. (2024·陕西中考)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$E$是边$AB$上一点,连接$CE$,在$BC$的右侧作$BF// AC$,且$BF=AE$,连接$CF$.若$AC=13$,$BC=10$,则四边形$EBFC$的面积为.

16. 60 [解析]$\because AB=AC$,$\therefore∠ ABC=∠ ACB$.$\because BF// AC$,$\therefore∠ ACB=∠ CBF$，$\therefore∠ ABC=∠ CBF$,$\therefore BC$平分$∠ ABF$.如图,过点C作$CM⊥ AB$于点M,$CN⊥ BF$于点N,则$CM=CN$. $\because S_{△ ACE}=\dfrac{1}{2}AE· CM$,$S_{△ CBF}=\dfrac{1}{2}BF· CN$,且$BF=AE$,$\therefore S_{△ CBF}=S_{△ ACE}$,$\therefore$四边形$EBFC$的面积$=S_{△ CBF}+S_{△ CBE}=S_{△ ACE}+S_{△ CBE}=S_{△ CBA}$.$\because AC=13$,$\therefore AB=13$.设$AM=x$,则$BM=13-x$,由勾股定理,得$CM^2=AC^2-AM^2=BC^2-BM^2$，$\therefore13^2-x^2=10^2-(13-x)^2$,解得$x=\dfrac{119}{13}$，$\therefore CM=\sqrt{13^2-(\dfrac{119}{13})^2}=\dfrac{120}{13}$，$\therefore S_{△ CBA}=\dfrac{1}{2}AB· CM=60$，$\therefore$四边形$EBFC$的面积为60.归纳总结 本题考查角平分线的性质、三角形的面积、勾股定理,关键是由三角形的面积得到$S_{△ CBF}=S_{△ ACE}$.

17. 为了比较$\sqrt{5}+1$与$\sqrt{10}$的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中$∠ C=90°,BC=$3,点$D$在$BC$上且$BD=AC=1$.通过计算可得$\sqrt{5}+1\_\_\_\_\_\_\sqrt{10}$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)

17. $＞$ [解析]$\because∠ C=90°,BC=3,BD=AC=1$，$\therefore CD=2$,$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ADC$中,$AD=\sqrt{CD^2+AC^2}=\sqrt{5}$，在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{10}$.$\therefore BD+AD=\sqrt{5}+1$.在$△ ABD$中,$AD+BD＞AB$,$\therefore\sqrt{5}+1＞\sqrt{10}$.归纳总结 本题主要考查了实数的大小比较、三角形三边关系以及勾股定理的运用,解题时注意:三角形任意两边之和大于第三边.

18. 如图，已知在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=8$，$BC=10$，$P$为边$BC$上的一个动点，连接$AP$，$DE ⊥ AP$，分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$，垂足为$M$，点$N$为$DE$的中点，若四边形$ADPE$的面积为$18$，则$AN$的最大值为.

18. $\dfrac{15}{4}$ [解析]$\because$在$△ ABC$中,$AB=6$,$AC=8$,$BC=10$，$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$，$\therefore△ ABC$为直角三角形,且$∠ BAC=90°$.$\because N$为$DE$的中点,$\therefore AN=\dfrac{1}{2}DE$.$\because$四边形$ADPE$的面积为18,$DE⊥ AP$，$\therefore\dfrac{1}{2}DE· AP=18$,即$AN· AP=18$，$\therefore$当$AP$取最小值时,$AN$有最大值，故当$AP⊥ BC$时,$AP$值最小,最小值为$\dfrac{6×8}{10}=\dfrac{24}{5}$，此时$AN=18÷\dfrac{24}{5}=\dfrac{15}{4}$.

三、解答题
19. (2024·滨州中考)计算:$2^{-1}+(-2)×(-\dfrac{1}{2})-\sqrt{\dfrac{9}{4}}.$

19. 原式$=\dfrac{1}{2}+1-\dfrac{3}{2}=0$.

20. 在如图所示的数轴上画出表示下列各数的点，并用“$＜$”号将这些数按从小到大的顺序连接起来.
$-|-3.5|,1\frac{1}{2},0,-(-2\frac{1}{2}),+(-1),(-2)^2.$

20. $-|-3.5|=-3.5$,$-(-2\dfrac{1}{2})=2\dfrac{1}{2}$,$+(-1)=-1$,$(-2)^2=4$,在数轴上画出表示各数的点如图所示:$\therefore -|-3.5|＜+(-1)＜0＜1\dfrac{1}{2}＜-(-2\dfrac{1}{2})＜(-2)^2$.

21. (2025·徐州期末) 如图, 在长方形 $ABCD$ 中,
$AB=4,AD=5,E$ 为 $BC$ 上的点. 将 $△ ABE$沿 $AE$ 折叠, 使点 $B$ 落在长方形内的点 $F$处. 连接 $DF$, 已知 $DF=3$.
(1)求证:$△ ADF$ 为直角三角形;
(2)求线段 $BE$ 的长.

21. (1)$\because$将$△ ABE$沿$AE$折叠,使点$B$落在长方形内的点$F$处,$AB=4$,$\therefore AB=AF=4$，在$△ ADF$中,$AD=5$,$DF=3$,且$3^2+4^2=5^2$，$\therefore FD^2+AF^2=AD^2$,$\therefore△ ADF$是直角三角形.(2)由(1)知,$∠ AFD=90°$.设$BE=x$,则$EF=x$，根据折叠可知,$∠ AFE=∠ B=90°$.$\because∠ AFD=90°$,$\therefore∠ DFE=180°$，$\therefore D,F,E$三点在同一条直线上,$\therefore DE=3+x$，$CE=5-x$,$DC=AB=4$，在$\mathrm{Rt}△DCE$中,根据勾股定理,得$DE^2=DC^2+EC^2$，$\therefore(3+x)^2=4^2+(5-x)^2$,解得$x=2$.故$BE$的长为2.