22. (2024·连云港海州区期中)意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理,其中图(1)的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成,图(3)的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成. 设图(1)中空白部分的面积为$S_1$,图(3)中空白部分的面积为$S_2$.
(1)请用含$a,b,c$的代数式分别表示$S_1,S_2$;
(2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理.

精题详解

22. (1)根据题意,得题图(1)中空白部分的面积为$S_1=a^2+b^2+2×\dfrac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$，题图(3)中空白部分的面积为$S_2=c^2+2×\dfrac{1}{2}ab=c^2+ab$.(2)由$S_1=S_2$,得$a^2+b^2+ab=c^2+ab$,$\therefore a^2+b^2=c^2$.

23. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°,AC=6,BC=8,D,$$E$分别是斜边$AB$和直角边$CB$上的点，把$△ ABC$沿着直线$DE$折叠，顶点$B$的对应点是$B'$.
(1)如图(1)，如果点$B'$和顶点$A$重合，求$CE$的长；
(2)如图(2)，如果点$B'$落在$AC$的中点上，求$CE$的长.

23. (1)设$CE=x$,则$BE=8-x$.由题意,得$AE=BE=8-x$，在$\mathrm{Rt}△ACE$中,由勾股定理,得$x^2+6^2=(8-x)^2$，解得$x=\dfrac{7}{4}$,即$CE$的长为$\dfrac{7}{4}$.(2)$\because$点$B'$落在$AC$的中点,$\therefore CB'=\dfrac{1}{2}AC=3$.设$CE=x$,则$BE=8-x$，由题意,得$B'E=BE=8-x$.由勾股定理,得$x^2+3^2=(8-x)^2$，解得$x=\dfrac{55}{16}$,即$CE$的长为$\dfrac{55}{16}$.归纳总结 本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题.解题的关键是灵活运用翻折变换的性质,找出图形中隐含的等量关系,借助勾股定理等几何知识来分析、判断、推理或解答.

24. (2025·盐城建湖期中)综合与实践
[问题驱动]如何验证勾股定理及探究勾股数？
[活动操作]小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形 ABEFG.

[探索新知]
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形 ABEFG 的面积,并写出得到等式 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 的过程；
(2)如果满足等式 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 的 a ,b ,c 是三个正整数,我们称 a ,b ,c 为勾股数. 已知 m,n 是正整数且 $m＞n$,证明:$2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2}$ 是勾股数；
[灵活运用]
(3)在如图所示的五边形 ABEFG 中,若 $a=4,b=8$,则空白部分的面积为；
(4)请写出任意一组含有 85 的“勾股数”：；
(5)小明在他找到的勾股数的表达式中,用$2n^{2}+4n+4$($n$ 为任意正整数)表示勾股数中的最大的一个数,则另两个数的表达式是,.

24. (1)如图,延长$GM$交$BE$于点D. 方法一:$S_{\mathrm{五边形}ABEFG}=S_{\mathrm{正方形}ABDN}+S_{\mathrm{正方形}MDEF}+S_{△ MFG}+S_{△ ANG}$$=b^2+a^2+\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$，方法二:$S_{\mathrm{五边形}ABEFG}=S_{\mathrm{正方形}ACFG}+S_{△ ABC}+S_{△ CEF}$$=c^2+\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}ab=c^2+ab$，$\therefore a^2+b^2+ab=c^2+ab$,$\therefore a^2+b^2=c^2$.(2)$\because(2mn)^2=4m^2n^2$,$(m^2-n^2)^2=m^4+n^4-2m^2n^2$，$\therefore(2mn)^2+(m^2-n^2)^2=4m^2n^2+m^4+n^4-2m^2n^2=(m^2+n^2)^2$.$\because m,n$是正整数且$m＞n$，$\therefore 2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$都是正整数，$\therefore 2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数.(3)48 [解析]$\because a=4,b=8$,$\therefore$由(1)可知,$S_{\mathrm{五边形}ABEFG}=a^2+b^2+ab=4^2+8^2+4×8=112$.又$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}×4×8=16$，$\therefore$图中空白部分的面积为$112-4×16=48$.(4)85,3612,3613(答案不唯一) [解析]不妨假设$m^2-n^2=85$,$m,n$是正整数且$m＞n$，$\therefore(m+n)(m-n)=85=1×85=5×17$，①当$\begin{cases}m+n=85,\\m-n=1\end{cases}$时,解得$\begin{cases}m=43,\\n=42,\end{cases}$$\therefore2mn=3612$,$m^2+n^2=3613$，$\therefore85,3612,3613$是一组勾股数；②当$\begin{cases}m+n=17,\\m-n=5\end{cases}$时,解得$\begin{cases}m=11,\\n=6,\end{cases}$$\therefore2mn=132$,$m^2+n^2=157$，$\therefore85,132,157$是一组勾股数.(5)$2n^2+4n$ $4n+4$ [解析]$(2n^2+4n+4)^2$$=4n^4+16n^2+16+16n^3+16n^2+32n$$=(4n^4+16n^3+16n^2)+(16n^2+32n+16)$$=(2n^2+4n)^2+(4n+4)^2$，$\therefore$另两个表达式为$2n^2+4n$,$4n+4$.