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1. [2025 盐城中考]博物馆到小明家的路程为 8 km,小明回家所需时间 t(单位:h)随平均速度 v(单位:km/h)的变化而变化,则 t 与 v 的函数表达式为 （
A.$t=8v$
B.$t=\dfrac{1}{8}v$
C.$t=\dfrac{8}{v}$
D.$t=8v^2$
C
）A.$t=8v$
B.$t=\dfrac{1}{8}v$
C.$t=\dfrac{8}{v}$
D.$t=8v^2$
答案
由题意,得平均速度v(单位:km/h)与时间t(单位:h)的函数表达式为$t=\frac{8}{v}$。
解析
【分析】
这道题是实际情境下列函数表达式的问题，我们首先回忆行程问题的三个核心量：路程、速度、时间的基本关系，题目已经给出总路程是固定的8km，要求把时间t表示为速度v的函数，只需要对基础行程公式做合理变形即可：第一步先明确行程基本公式「路程=速度×时间」，第二步把已知的定值路程代入公式，第三步将式子变形，把因变量t单独放到等号左侧，就能得到对应的函数表达式，再匹配选项即可。
【解析】
解：根据行程问题的基本等量关系：
$\mathrm{路程} = \mathrm{平均速度} × \mathrm{时间}$
已知本题中博物馆到小明家的固定路程为8km，代入上述等量关系可得：
$8 = v · t$
由于平均速度v一定大于0，将等式两边同时除以v，整理得到t关于v的函数表达式：
$t=\dfrac{8}{v}$
对应选项可知本题选C。
【答案】
C
【知识点】
行程三量关系；反比例函数实际应用
【点评】
本题属于中考数学的基础送分题，考点非常直白，只需要牢记路程、速度、时间三者的换算关系即可求解，也可以通过“路程固定时速度越大耗时越短”的常识直接判断t和v成反比例关系，快速排除三个正比例类的错误选项，避免公式变形出错。
【难度系数】
0.9
这道题是实际情境下列函数表达式的问题，我们首先回忆行程问题的三个核心量：路程、速度、时间的基本关系，题目已经给出总路程是固定的8km，要求把时间t表示为速度v的函数，只需要对基础行程公式做合理变形即可：第一步先明确行程基本公式「路程=速度×时间」，第二步把已知的定值路程代入公式，第三步将式子变形，把因变量t单独放到等号左侧，就能得到对应的函数表达式，再匹配选项即可。
【解析】
解：根据行程问题的基本等量关系：
$\mathrm{路程} = \mathrm{平均速度} × \mathrm{时间}$
已知本题中博物馆到小明家的固定路程为8km，代入上述等量关系可得：
$8 = v · t$
由于平均速度v一定大于0，将等式两边同时除以v，整理得到t关于v的函数表达式：
$t=\dfrac{8}{v}$
对应选项可知本题选C。
【答案】
C
【知识点】
行程三量关系；反比例函数实际应用
【点评】
本题属于中考数学的基础送分题，考点非常直白，只需要牢记路程、速度、时间三者的换算关系即可求解，也可以通过“路程固定时速度越大耗时越短”的常识直接判断t和v成反比例关系，快速排除三个正比例类的错误选项，避免公式变形出错。
【难度系数】
0.9
2. [2024 河北中考]节能环保已成为人们的共识. 淇淇爸爸给自家用电账户充了 500 千瓦·时的电,若平均每天用电 $x$ 千瓦·时,则能使用 $y$ 天. 下列说法中,错误的是（
A.若 $x=5$, 则 $y=100$
B.若 $y=125$, 则 $x=4$
C.若 $x$ 减小,则 $y$ 也减小
D.若 $x$ 减小一半,则 $y$ 增大一倍
C
）A.若 $x=5$, 则 $y=100$
B.若 $y=125$, 则 $x=4$
C.若 $x$ 减小,则 $y$ 也减小
D.若 $x$ 减小一半,则 $y$ 增大一倍
答案
由题意,得$y=\frac{500}{x}$。若$x=5$,则$y=\frac{500}{5}=100$,选项A正确,故不符合题意。若$y=125$,则$x=\frac{500}{y}=\frac{500}{125}=4$,选项B正确,故不符合题意。$\because 500＞0$,$\therefore$若$x$减小,则$y$增大,选项C错误,故符合题意。若$x$减小一半,即$y=\frac{500}{\frac{1}{2}x}=\frac{1000}{x}$,$\therefore y$增大一倍,选项D正确,故不符合题意。
解析
【分析】
首先我们先根据题目里的总用电量、日均用电量、可用天数的数量关系，推导得到y和x的函数关系式：总电量=日均用电量×可用天数，也就是xy=500，变形得到y=500/x，这是k=500的反比例函数。接下来我们逐个验证四个选项：A选项把x=5代入关系式计算y的值，判断是否为100；B选项把y=125代入关系式计算x的值，判断是否为4；C选项结合k＞0的反比例函数的增减性，判断x变化时y的变化趋势；D选项把替换成原来的1/2的x代入新的关系式，对比新y和原y的大小关系，最终找出描述错误的选项即可。
【解析】
解：由题意可知总电量为500千瓦·时，因此日均用电量x和可用天数y满足关系：
$y=\frac{500}{x}$
1. 验证选项A：将x=5代入关系式，得$y=\frac{500}{5}=100$，A说法正确，不符合题意；
2. 验证选项B：将y=125代入关系式，变形得$x=\frac{500}{y}=\frac{500}{125}=4$，B说法正确，不符合题意；
3. 验证选项C：由于反比例函数的比例系数500＞0，且x、y在本题中均为正数，因此x减小时，y会随之增大，并非y也减小，C说法错误，符合题意；
4. 验证选项D：若x减小一半，即新的日均用电量为$\frac{1}{2}x$，代入关系式得新的可用天数$y'=\frac{500}{\frac{1}{2}x}=\frac{1000}{x}=2y$，即y增大一倍，D说法正确，不符合题意。
【答案】C
【知识点】
反比例函数概念；反比例函数性质；实际问题函数求值
【点评】
本题结合生活中用电计费的实际场景，考察反比例函数的基础应用，属于基础题，易错点是容易和正比例函数的增减性混淆，误以为两个变量同增同减，只要牢记k＞0的反比例函数在第一象限内两个变量变化趋势相反，代入计算仔细即可轻松得分。
【难度系数】0.9
首先我们先根据题目里的总用电量、日均用电量、可用天数的数量关系，推导得到y和x的函数关系式：总电量=日均用电量×可用天数，也就是xy=500，变形得到y=500/x，这是k=500的反比例函数。接下来我们逐个验证四个选项：A选项把x=5代入关系式计算y的值，判断是否为100；B选项把y=125代入关系式计算x的值，判断是否为4；C选项结合k＞0的反比例函数的增减性，判断x变化时y的变化趋势；D选项把替换成原来的1/2的x代入新的关系式，对比新y和原y的大小关系，最终找出描述错误的选项即可。
【解析】
解：由题意可知总电量为500千瓦·时，因此日均用电量x和可用天数y满足关系：
$y=\frac{500}{x}$
1. 验证选项A：将x=5代入关系式，得$y=\frac{500}{5}=100$，A说法正确，不符合题意；
2. 验证选项B：将y=125代入关系式，变形得$x=\frac{500}{y}=\frac{500}{125}=4$，B说法正确，不符合题意；
3. 验证选项C：由于反比例函数的比例系数500＞0，且x、y在本题中均为正数，因此x减小时，y会随之增大，并非y也减小，C说法错误，符合题意；
4. 验证选项D：若x减小一半，即新的日均用电量为$\frac{1}{2}x$，代入关系式得新的可用天数$y'=\frac{500}{\frac{1}{2}x}=\frac{1000}{x}=2y$，即y增大一倍，D说法正确，不符合题意。
【答案】C
【知识点】
反比例函数概念；反比例函数性质；实际问题函数求值
【点评】
本题结合生活中用电计费的实际场景，考察反比例函数的基础应用，属于基础题，易错点是容易和正比例函数的增减性混淆，误以为两个变量同增同减，只要牢记k＞0的反比例函数在第一象限内两个变量变化趋势相反，代入计算仔细即可轻松得分。
【难度系数】0.9
3. 某段视频的完整时长为 40 分钟,当以 $x$ 倍速播放时,实际播放时间 $t$(分钟)与 $x$ 的函数表达式为 $t=\dfrac{40}{x}$. 若该视频以 8 倍速播放,则实际播放时间为
5
分钟.答案
$\because$ 视频的完整时长为40分钟,当以$x$倍速播放时,实际播放时间$t$(分钟)与$x$的函数表达式为$t=\frac{40}{x}$,$\therefore$ 当$x=8$时,$t=\frac{40}{8}=5$。$\therefore$ 实际播放时间为5分钟。
解析
【分析】
这是一道已知函数表达式求对应函数值的基础题型，解题思路很清晰：首先题目已经直接给出了实际播放时间t和播放倍速x的函数关系式$t=\dfrac{40}{x}$，我们需要求8倍速也就是x=8时对应的t值，只需要将自变量x=8直接代入给定的函数表达式中，做简单的除法运算，就能算出对应的实际播放时间。
【解析】
已知实际播放时间t和播放倍速x的函数表达式为$t=\dfrac{40}{x}$，将x=8代入该表达式：
$t=\dfrac{40}{8}=5$
即可得到8倍速下的实际播放时长。
【答案】
5
【知识点】
函数值计算，反比例函数实际应用
【点评】
本题属于入门级的函数实际应用题，题干已经直接给出函数关系式，不需要学生自行推导函数，仅考察学生对函数自变量、因变量对应关系的基础理解，计算过程十分简单，只要明确代入的数值对应关系就不容易出错。
【难度系数】
0.9
这是一道已知函数表达式求对应函数值的基础题型，解题思路很清晰：首先题目已经直接给出了实际播放时间t和播放倍速x的函数关系式$t=\dfrac{40}{x}$，我们需要求8倍速也就是x=8时对应的t值，只需要将自变量x=8直接代入给定的函数表达式中，做简单的除法运算，就能算出对应的实际播放时间。
【解析】
已知实际播放时间t和播放倍速x的函数表达式为$t=\dfrac{40}{x}$，将x=8代入该表达式：
$t=\dfrac{40}{8}=5$
即可得到8倍速下的实际播放时长。
【答案】
5
【知识点】
函数值计算，反比例函数实际应用
【点评】
本题属于入门级的函数实际应用题，题干已经直接给出函数关系式，不需要学生自行推导函数，仅考察学生对函数自变量、因变量对应关系的基础理解，计算过程十分简单，只要明确代入的数值对应关系就不容易出错。
【难度系数】
0.9
4. 新情境 生活实际 某企业生产一种商品，经过长期市场调查发现：商品的月总产量稳定在600件，商品的月销量$Q$(件)由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价$x$(元/件)($x≤ 10$)成反比例，且可以得到如下信息：
（1）求$Q$与$x$之间的函数表达式.
（2）若生产出的商品正好销售完，求该商品的售价.
（3）当售价为多少时，月销售额最大？最大是多少？
（1）求$Q$与$x$之间的函数表达式.
（2）若生产出的商品正好销售完，求该商品的售价.
（3）当售价为多少时，月销售额最大？最大是多少？
答案
(1) 由题意,设$Q=a+\frac{k}{x}(x≤10)$。由题表可知,当$x=5$时,$Q=580$;当$x=8$时,$Q=400$。$\therefore \begin{cases}a+\frac{k}{5}=580,\\a+\frac{k}{8}=400,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=100,\\k=2400。\end{cases}$ $\therefore Q$与$x$之间的函数表达式为$Q=100+\frac{2400}{x}(x≤10)$。
(2) 令$Q=600$,则$600=100+\frac{2400}{x}$,解得$x=4.8$。$\therefore$ 售价为4.8元/件。
(3) 设月销售额为$w$元。由题意,可得$w=x(100+\frac{2400}{x})=100x+2400$。$\because 100＞0$,$\therefore w$随$x$的增大而增大。$\because x≤10$,$\therefore$ 当$x=10$时,$w$取得最大值,此时$w=100×10+2400=3400$。$\therefore$ 当售价为10元/件时,月销售额最大,最大是3400元。
(2) 令$Q=600$,则$600=100+\frac{2400}{x}$,解得$x=4.8$。$\therefore$ 售价为4.8元/件。
(3) 设月销售额为$w$元。由题意,可得$w=x(100+\frac{2400}{x})=100x+2400$。$\because 100＞0$,$\therefore w$随$x$的增大而增大。$\because x≤10$,$\therefore$ 当$x=10$时,$w$取得最大值,此时$w=100×10+2400=3400$。$\therefore$ 当售价为10元/件时,月销售额最大,最大是3400元。
解析
【分析】
首先梳理题干条件：月销量Q由固定不变的基本销售量、与售价x成反比例的浮动销售量两部分组成，因此可以先设出Q关于x的函数形式为$Q=a+\frac{k}{x}$，其中a是基本销量，k为反比例比例系数。第一步，将表格给出的两组(x,Q)数值代入所设函数，得到二元一次方程组，求解得到a和k的值，即可得到Q和x的函数表达式。第二问，商品正好全部售完说明月销量Q等于月总产量600件，将Q=600代入已求得的函数表达式，解方程即可得到对应的售价x。第三问，月销售额等于售价乘以销量，据此列出销售额w关于x的表达式，化简后根据函数的增减性，结合题目给出的$x≤10$的取值范围，即可求出销售额的最大值和对应的售价。
【解析】
（1）根据题意，设Q与x的函数形式为$Q=a+\frac{k}{x}$（其中a为基本销售量，k为非零常数，$x≤10$）。
将表格中$x=5,Q=580$和$x=8,Q=400$分别代入函数，得到方程组：
$\begin{cases}a+\frac{k}{5}=580\\a+\frac{k}{8}=400\end{cases}$
两式相减得$\frac{3k}{40}=180$，解得$k=2400$，将$k=2400$代入方程解得$a=100$。
因此Q与x之间的函数表达式为$Q=100+\frac{2400}{x}(x≤10)$。
（2）商品全部售完时月销量$Q=600$，代入函数表达式：
$600=100+\frac{2400}{x}$
移项化简得$500x=2400$，解得$x=4.8$，经检验该解符合实际意义。
（3）设月销售额为w元，根据销售额=售价×销量，可得：
$w=x· Q=x(100+\frac{2400}{x})=100x+2400$
由于一次项系数$100＞0$，因此w随x的增大而增大，结合自变量取值范围$x≤10$，可知当$x=10$时，w取得最大值：
$w_{max}=100×10 + 2400=3400$。
【答案】
(1) $Q=100+\frac{2400}{x}(x≤10)$；(2) 该商品的售价为4.8元/件；(3) 当售价为10元/件时，月销售额最大，最大是3400元。
【知识点】
待定系数法求函数解析式，反比例函数应用，一次函数增减性
【点评】
本题结合商品销售的生活场景考查函数实际应用，核心是根据题干描述准确设定组合型函数模型，再通过待定系数法求解解析式。第三问化简后得到递增的一次函数，部分同学容易惯性思维当成二次函数求最值，解题时要先化简表达式，同时不能忽略题干给出的$x≤10$的自变量限制条件。
【难度系数】
0.6
首先梳理题干条件：月销量Q由固定不变的基本销售量、与售价x成反比例的浮动销售量两部分组成，因此可以先设出Q关于x的函数形式为$Q=a+\frac{k}{x}$，其中a是基本销量，k为反比例比例系数。第一步，将表格给出的两组(x,Q)数值代入所设函数，得到二元一次方程组，求解得到a和k的值，即可得到Q和x的函数表达式。第二问，商品正好全部售完说明月销量Q等于月总产量600件，将Q=600代入已求得的函数表达式，解方程即可得到对应的售价x。第三问，月销售额等于售价乘以销量，据此列出销售额w关于x的表达式，化简后根据函数的增减性，结合题目给出的$x≤10$的取值范围，即可求出销售额的最大值和对应的售价。
【解析】
（1）根据题意，设Q与x的函数形式为$Q=a+\frac{k}{x}$（其中a为基本销售量，k为非零常数，$x≤10$）。
将表格中$x=5,Q=580$和$x=8,Q=400$分别代入函数，得到方程组：
$\begin{cases}a+\frac{k}{5}=580\\a+\frac{k}{8}=400\end{cases}$
两式相减得$\frac{3k}{40}=180$，解得$k=2400$，将$k=2400$代入方程解得$a=100$。
因此Q与x之间的函数表达式为$Q=100+\frac{2400}{x}(x≤10)$。
（2）商品全部售完时月销量$Q=600$，代入函数表达式：
$600=100+\frac{2400}{x}$
移项化简得$500x=2400$，解得$x=4.8$，经检验该解符合实际意义。
（3）设月销售额为w元，根据销售额=售价×销量，可得：
$w=x· Q=x(100+\frac{2400}{x})=100x+2400$
由于一次项系数$100＞0$，因此w随x的增大而增大，结合自变量取值范围$x≤10$，可知当$x=10$时，w取得最大值：
$w_{max}=100×10 + 2400=3400$。
【答案】
(1) $Q=100+\frac{2400}{x}(x≤10)$；(2) 该商品的售价为4.8元/件；(3) 当售价为10元/件时，月销售额最大，最大是3400元。
【知识点】
待定系数法求函数解析式，反比例函数应用，一次函数增减性
【点评】
本题结合商品销售的生活场景考查函数实际应用，核心是根据题干描述准确设定组合型函数模型，再通过待定系数法求解解析式。第三问化简后得到递增的一次函数，部分同学容易惯性思维当成二次函数求最值，解题时要先化简表达式，同时不能忽略题干给出的$x≤10$的自变量限制条件。
【难度系数】
0.6
5. 某市煤气公司要在地下修建一个圆柱形煤气储存室，储存室的底面积$S(\mathrm{m}^2)$与其深度$H(\mathrm{m})$成反比例关系，$S$关于$H$的函数图象如图所示.公司原计划把储存室的底面积定为$400\ \mathrm{m}^2$，当施工队按计划挖掘到地下$15\ \mathrm{m}$时，公司临时改变计划，把储存室的深度减少$10\ \mathrm{m}$，相应地，储存室的底面积应（
A.减少$100\ \mathrm{m}^2$
B.增加$100\ \mathrm{m}^2$
C.减少$200\ \mathrm{m}^2$
D.增加$200\ \mathrm{m}^2$
D
）A.减少$100\ \mathrm{m}^2$
B.增加$100\ \mathrm{m}^2$
C.减少$200\ \mathrm{m}^2$
D.增加$200\ \mathrm{m}^2$
答案
设$S$关于$H$的函数表达式为$S=\frac{k}{H}(k≠0)$。$\because$ 当$H=30$时,$S=400$,$\therefore k=12000$。$\therefore S$关于$H$的函数表达式为$S=\frac{12000}{H}$。当深度减少10 m,即$H=30-10=20$时,$S=\frac{12000}{20}=600$,$\therefore$ 储存室的底面积应增加$600-400=200(\mathrm{m}^2)$。
解析
【分析】
首先题目明确储存室底面积S和深度H成反比例关系，我们先回忆反比例函数的通用形式，第一步先设出对应的函数解析式。接着从给出的图像中提取已知点：当深度H=30m时，底面积S=400m²，把这个点代入反比例解析式就能求出比例系数k，这里k的实际意义是圆柱形储存室的固定总容积。接下来根据题意，原计划总深度是30m，改变计划后总深度减少10m，得到新的总深度为20m，将新深度代入已求出的反比例函数，算出对应的新底面积，最后对比原底面积400m²，得到底面积的变化量，即可选出正确答案。
【解析】
解：① 设S关于H的反比例函数表达式为$S=\frac{k}{H} \ (k≠0)$，
由图像可知当$H=30$时，$S=400$，将其代入解析式：
$400=\frac{k}{30}$，解得$k=400×30=12000$，
因此S关于H的函数表达式为$S=\frac{12000}{H}$。
② 改变计划后储存室的总深度为：$H=30-10=20\ \mathrm{m}$，
将$H=20$代入函数表达式，得新的底面积：
$S=\frac{12000}{20}=600\ \mathrm{m}^2$。
③ 计算底面积变化量：$600-400=200\ \mathrm{m}^2$，即储存室的底面积应增加$200\ \mathrm{m}^2$。
因此本题选D。
【答案】D
【知识点】反比例函数应用，圆柱体积计算
【点评】本题是反比例函数在实际工程场景的典型应用题，核心是抓住储存室容积固定的隐含条件，理解反比例比例系数k的实际含义；解题时需要注意区分“挖掘到15m时调整方案”和“总深度减少10m”的条件，避免误算新的深度，整体侧重考察学生对反比例函数实际意义的理解和基础代入计算能力。
【难度系数】
0.7
首先题目明确储存室底面积S和深度H成反比例关系，我们先回忆反比例函数的通用形式，第一步先设出对应的函数解析式。接着从给出的图像中提取已知点：当深度H=30m时，底面积S=400m²，把这个点代入反比例解析式就能求出比例系数k，这里k的实际意义是圆柱形储存室的固定总容积。接下来根据题意，原计划总深度是30m，改变计划后总深度减少10m，得到新的总深度为20m，将新深度代入已求出的反比例函数，算出对应的新底面积，最后对比原底面积400m²，得到底面积的变化量，即可选出正确答案。
【解析】
解：① 设S关于H的反比例函数表达式为$S=\frac{k}{H} \ (k≠0)$，
由图像可知当$H=30$时，$S=400$，将其代入解析式：
$400=\frac{k}{30}$，解得$k=400×30=12000$，
因此S关于H的函数表达式为$S=\frac{12000}{H}$。
② 改变计划后储存室的总深度为：$H=30-10=20\ \mathrm{m}$，
将$H=20$代入函数表达式，得新的底面积：
$S=\frac{12000}{20}=600\ \mathrm{m}^2$。
③ 计算底面积变化量：$600-400=200\ \mathrm{m}^2$，即储存室的底面积应增加$200\ \mathrm{m}^2$。
因此本题选D。
【答案】D
【知识点】反比例函数应用，圆柱体积计算
【点评】本题是反比例函数在实际工程场景的典型应用题，核心是抓住储存室容积固定的隐含条件，理解反比例比例系数k的实际含义；解题时需要注意区分“挖掘到15m时调整方案”和“总深度减少10m”的条件，避免误算新的深度，整体侧重考察学生对反比例函数实际意义的理解和基础代入计算能力。
【难度系数】
0.7
