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6. 经研究,某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径$y$(单位:$\mathrm{dm}$)与其两腿迈出的步长之差$x(x＞0$,单位:$\mathrm{dm}$)成反比例关系,其图象如图所示.若此人蒙上眼睛后两腿迈出的步长之差为$0.4\ \mathrm{dm}$,则其走出的大圆圈的半径是
35
$\mathrm{dm}$.答案
设$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。由题图可知,该函数图象过点$(2,7)$,$\therefore 7=\frac{k}{2}$。$\therefore k=14$。$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{14}{x}(x＞0)$。当$x=0.4$时,$y=\frac{14}{0.4}=35$。$\therefore$ 当此人蒙上眼睛后两腿迈出的步长之差为0.4 dm时,他走出的大圆圈的半径是35 dm。
解析
【分析】
首先题目明确说明半径y和步长之差x成反比例关系，我们可以先设出反比例函数的通用形式$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。接下来观察图像，已知该函数图像经过点$(2,7)$，把这个点的坐标代入所设的表达式中，就能求出未知系数k，得到完整的函数解析式。最后将题目给出的步长之差$x=0.4\ \mathrm{dm}$代入已经求出的解析式，就可以计算出对应的半径y的数值，得到最终结果。
【解析】
解：设y关于x的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，
由题图可知该函数图象过点$(2,7)$，将$x=2$，$y=7$代入函数表达式：
$7=\frac{k}{2}$，
解得$k=14$，
因此y关于x的函数表达式为$y=\frac{14}{x}(x＞0)$。
将$x=0.4$代入解析式计算：
$y=\frac{14}{0.4}=35$。
【答案】35
【知识点】反比例函数解析式，待定系数法，反比例函数实际应用
【点评】本题是反比例函数的基础实际应用题，解题思路清晰，核心是通过图像给出的已知点用待定系数法求出函数解析式，再代入自变量数值求解对应函数值，结合实际场景x＞0的限制，不需要考虑负半轴的情况，属于常规基础题型。
【难度系数】0.9
首先题目明确说明半径y和步长之差x成反比例关系，我们可以先设出反比例函数的通用形式$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。接下来观察图像，已知该函数图像经过点$(2,7)$，把这个点的坐标代入所设的表达式中，就能求出未知系数k，得到完整的函数解析式。最后将题目给出的步长之差$x=0.4\ \mathrm{dm}$代入已经求出的解析式，就可以计算出对应的半径y的数值，得到最终结果。
【解析】
解：设y关于x的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，
由题图可知该函数图象过点$(2,7)$，将$x=2$，$y=7$代入函数表达式：
$7=\frac{k}{2}$，
解得$k=14$，
因此y关于x的函数表达式为$y=\frac{14}{x}(x＞0)$。
将$x=0.4$代入解析式计算：
$y=\frac{14}{0.4}=35$。
【答案】35
【知识点】反比例函数解析式，待定系数法，反比例函数实际应用
【点评】本题是反比例函数的基础实际应用题，解题思路清晰，核心是通过图像给出的已知点用待定系数法求出函数解析式，再代入自变量数值求解对应函数值，结合实际场景x＞0的限制，不需要考虑负半轴的情况，属于常规基础题型。
【难度系数】0.9
7. 新情境 科技创新 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,其最快移动速度$v(\mathrm{m/s})$是载重后总质量$m(\mathrm{kg})$的反比例函数.已知当一款机器狗载重后总质量为$60\ \mathrm{kg}$时,它的最快移动速度为$6\ \mathrm{m/s}$,则当其载重后总质量为$80\ \mathrm{kg}$时,它的最快移动速度为
4.5
$\mathrm{m/s}$.答案
设$v$关于$m$的函数表达式为$v=\frac{k}{m}$。$\because$ 当$m=60$时,$v=6$,$\therefore k=60×6=360$。$\therefore v$关于$m$的函数表达式为$v=\frac{360}{m}$。$\therefore$ 当$m=80$时,$v=\frac{360}{80}=4.5$。$\therefore$ 当其载重后总质量为80 kg时,它的最快移动速度为4.5 m/s。
解析
【分析】
这是一道反比例函数的实际应用问题，解题思路非常明确：第一步，题目直接说明v是m的反比例函数，我们可以先按照反比例函数的通用形式设出v关于m的函数表达式；第二步，利用题目给出的已知对应值：总质量为60kg时速度为6m/s，代入所设函数就能求出未知的比例系数k，得到完整的函数解析式；第三步，把待求的总质量80kg代入已经确定的解析式中，直接计算就能得到对应的最快移动速度的结果。
【解析】
解：设v关于m的函数表达式为$v=\frac{k}{m} \ (k≠0)$，
将$m=60$，$v=6$代入表达式，可得：
$6=\frac{k}{60}$，
计算得$k=60×6=360$，
因此v关于m的函数表达式为$v=\frac{360}{m}$，
再将$m=80$代入该表达式，得：
$v=\frac{360}{80}=4.5$
即当载重后总质量为80kg时，机器狗的最快移动速度为4.5m/s。
【答案】
4.5
【知识点】
反比例函数定义、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数实际应用
【点评】
本题结合机器狗的科技创新新情境命题，属于反比例函数的基础应用题，核心考察待定系数法的使用，解题逻辑清晰，按照“设函数-求系数-代值计算”的常规流程即可完成求解，计算难度低，大部分学生都能顺利解出。
【难度系数】
0.9
这是一道反比例函数的实际应用问题，解题思路非常明确：第一步，题目直接说明v是m的反比例函数，我们可以先按照反比例函数的通用形式设出v关于m的函数表达式；第二步，利用题目给出的已知对应值：总质量为60kg时速度为6m/s，代入所设函数就能求出未知的比例系数k，得到完整的函数解析式；第三步，把待求的总质量80kg代入已经确定的解析式中，直接计算就能得到对应的最快移动速度的结果。
【解析】
解：设v关于m的函数表达式为$v=\frac{k}{m} \ (k≠0)$，
将$m=60$，$v=6$代入表达式，可得：
$6=\frac{k}{60}$，
计算得$k=60×6=360$，
因此v关于m的函数表达式为$v=\frac{360}{m}$，
再将$m=80$代入该表达式，得：
$v=\frac{360}{80}=4.5$
即当载重后总质量为80kg时，机器狗的最快移动速度为4.5m/s。
【答案】
4.5
【知识点】
反比例函数定义、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数实际应用
【点评】
本题结合机器狗的科技创新新情境命题，属于反比例函数的基础应用题，核心考察待定系数法的使用，解题逻辑清晰，按照“设函数-求系数-代值计算”的常规流程即可完成求解，计算难度低，大部分学生都能顺利解出。
【难度系数】
0.9
8. 数形结合思想 如图所示为某公园“水上滑梯”的侧面示意图,其中 $BC$ 段可看成是反比例函数图象的一部分,矩形 $AOEB$ 为向上攀爬的梯子, $OA=5$ 米, 进口 $AB// OD$, 且 $AB=2$ 米, 出口点 $C$ 距水面的距离 $CD=1$ 米, 则点 $B,C$ 之间的水平距离 $DE$ 为
8
米.答案
以$O$为坐标原点,$OA$所在直线为$y$轴,$OD$所在直线为$x$轴,建立平面直角坐标系(图略)。$\because$ 四边形$AOEB$是矩形,$\therefore BE=OA=5$米,$AB=OE=2$米。$\therefore B(2,5)$。设$BC$所在反比例函数图象对应的函数表达式为$y=\frac{k}{x}$,$\therefore k=2×5=10$。$\therefore y=\frac{10}{x}$。$\because CD=1$米,$\therefore$ 令$y=1$,则$x=10$。$\therefore DE=10-2=8$(米)。
解析
【分析】
我们可以通过建立平面直角坐标系将实际几何问题转化为函数坐标问题来求解：
1. 首先以O为坐标原点，OA所在直线为y轴，OD所在直线为x轴建立坐标系，利用矩形AOEB的已知边长条件，直接得到点B的坐标；
2. 由于BC段是反比例函数图像，将点B代入反比例函数一般式，即可求出反比例函数的完整解析式；
3. 已知点C到水面OD的距离CD=1，说明点C的纵坐标为1，代入反比例函数解析式求出点C的横坐标；
4. 最后用点C的横坐标减去点E的横坐标（E点横坐标等于AB的长度2），即可得到B、C之间的水平距离DE的数值。
【解析】
解：以O为坐标原点，OA所在直线为y轴，OD所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。
∵ 四边形AOEB是矩形，
∴ BE=OA=5米，AB=OE=2米，
∴ 点B的坐标为(2,5)。
设BC段对应的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（k≠0），将B(2,5)代入得：
$k=2×5=10$，
因此反比例函数解析式为$y=\frac{10}{x}$。
∵ CD=1米，即点C的纵坐标为1，令y=1代入解析式：
$1=\frac{10}{x}$，解得x=10，即点C的横坐标为10。
又
∵ 点E的横坐标为2，
∴ DE = 10 - 2 = 8 米。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数，矩形性质，数形结合
【点评】
本题结合水上滑梯的生活场景，考察反比例函数的实际应用，核心是利用数形结合思想把几何长度条件转化为平面直角坐标系内的点坐标运算，题型常规基础，大部分学生都能理清思路完成求解，少数同学容易直接把求出的x=10当成DE的长度，忽略了E点本身距离y轴还有2米的距离。
【难度系数】
0.8
我们可以通过建立平面直角坐标系将实际几何问题转化为函数坐标问题来求解：
1. 首先以O为坐标原点，OA所在直线为y轴，OD所在直线为x轴建立坐标系，利用矩形AOEB的已知边长条件，直接得到点B的坐标；
2. 由于BC段是反比例函数图像，将点B代入反比例函数一般式，即可求出反比例函数的完整解析式；
3. 已知点C到水面OD的距离CD=1，说明点C的纵坐标为1，代入反比例函数解析式求出点C的横坐标；
4. 最后用点C的横坐标减去点E的横坐标（E点横坐标等于AB的长度2），即可得到B、C之间的水平距离DE的数值。
【解析】
解：以O为坐标原点，OA所在直线为y轴，OD所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。
∵ 四边形AOEB是矩形，
∴ BE=OA=5米，AB=OE=2米，
∴ 点B的坐标为(2,5)。
设BC段对应的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（k≠0），将B(2,5)代入得：
$k=2×5=10$，
因此反比例函数解析式为$y=\frac{10}{x}$。
∵ CD=1米，即点C的纵坐标为1，令y=1代入解析式：
$1=\frac{10}{x}$，解得x=10，即点C的横坐标为10。
又
∵ 点E的横坐标为2，
∴ DE = 10 - 2 = 8 米。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数，矩形性质，数形结合
【点评】
本题结合水上滑梯的生活场景，考察反比例函数的实际应用，核心是利用数形结合思想把几何长度条件转化为平面直角坐标系内的点坐标运算，题型常规基础，大部分学生都能理清思路完成求解，少数同学容易直接把求出的x=10当成DE的长度，忽略了E点本身距离y轴还有2米的距离。
【难度系数】
0.8
9. 如图,某校科技小组计划利用已有的一堵长为6 m的墙,用篱笆围一个面积为$30\ \mathrm{m}^2$的矩形科技园$ABCD$,设$AB$的长为$x\ \mathrm{m}$,$BC$的长为$y\ \mathrm{m}$.
(1) 求$y$关于$x$的函数表达式,并写出自变量$x$的取值范围.
(2) 边$AD$和$DC$的长都是整米数,若围成的矩形科技园$ABCD$三边的篱笆总长不超过20 m,求出满足条件的所有围建方案.
(1) 求$y$关于$x$的函数表达式,并写出自变量$x$的取值范围.
(2) 边$AD$和$DC$的长都是整米数,若围成的矩形科技园$ABCD$三边的篱笆总长不超过20 m,求出满足条件的所有围建方案.
答案
(1) 由题意,得$xy=30$,$\therefore y=\frac{30}{x}$。又$\because$ 墙长为6 m,$\therefore y≤6$。$\therefore x≥5$。$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{30}{x}(x≥5)$。
(2) 由题意,得$x$,$y$均为整数,$y=\frac{30}{x}(x≥5)$,$\therefore x$的值可以为5,6,10,15,30。又$\because 2x+y≤20$,即$2x+\frac{30}{x}≤20$,$\therefore x$的值可以为5,6。$\therefore$ 共有2种围建方案,方案一:$AB$的长为5 m,$BC$的长为6 m;方案二:$AB$的长为6 m,$BC$的长为5 m。
(2) 由题意,得$x$,$y$均为整数,$y=\frac{30}{x}(x≥5)$,$\therefore x$的值可以为5,6,10,15,30。又$\because 2x+y≤20$,即$2x+\frac{30}{x}≤20$,$\therefore x$的值可以为5,6。$\therefore$ 共有2种围建方案,方案一:$AB$的长为5 m,$BC$的长为6 m;方案二:$AB$的长为6 m,$BC$的长为5 m。
解析
【分析】
第一问，首先根据矩形面积公式，已知矩形面积为30㎡，AB长为x，BC长为y，可直接得到xy=30，变形就能得到y关于x的表达式。接下来确定自变量x的取值范围，题目给出可利用的墙长仅为6m，BC边是平行于墙的边，它的长度不能超过墙的总长度，也就是y≤6，把y=30/x代入这个不等式，就能解出x≥5，得到x的取值范围。
第二问，首先AD和DC都是整米数，AD长度等于AB=x，DC长度等于BC=y，说明x和y都是正整数，结合第一问的y=30/x和x≥5，先找出所有符合条件的正整数x的候选值。再根据靠墙的AD边不需要篱笆，三边篱笆总长为2x+y，要求总长不超过20m，代入不等式逐一筛选候选的x值，就能得到所有合法的围建方案。
【解析】
(1) 由矩形面积公式，矩形ABCD面积为30 m²，可得：
$x · y = 30$
变形得到y关于x的表达式：$y=\frac{30}{x}$
因为可利用的墙长为6 m，BC边平行于墙，长度不能超过墙的长度，即$y ≤ 6$，代入$y=\frac{30}{x}$得：
$\frac{30}{x} ≤ 6$
结合边长x＞0，解得$x ≥ 5$。
因此y关于x的函数表达式为$y=\frac{30}{x}$，自变量x的取值范围是$x ≥ 5$。
(2) 由题意，AD=AB=x，DC=BC=y，AD和DC的长都是整米数，因此x、y均为正整数。
结合$y=\frac{30}{x}$且$x≥5$，可知x是30的不小于5的正整数因数，因此x的候选取值为5、6、10、15、30。
三边篱笆总长为$AB + BC + CD = 2x + y$，要求总长不超过20 m，即：
$2x + y ≤ 20$
将$y=\frac{30}{x}$代入不等式逐一验证：
当x=5时，$y=\frac{30}{5}=6$，$2×5+6=16 ≤ 20$，符合条件；
当x=6时，$y=\frac{30}{6}=5$，$2×6+5=17 ≤ 20$，符合条件；
当x=10时，$y=\frac{30}{10}=3$，$2×10+3=23＞20$，不符合条件；
当x=15时，$y=\frac{30}{15}=2$，$2×15+2=32＞20$，不符合条件；
当x=30时，$y=\frac{30}{30}=1$，$2×30+1=61＞20$，不符合条件。
最终筛选得到2组符合条件的取值，对应两种围建方案。
【答案】
(1) $y=\frac{30}{x}(x≥5)$；
(2) 共有2种围建方案：方案一：AB的长为5 m，BC的长为6 m；方案二：AB的长为6 m，BC的长为5 m。
【知识点】
反比例函数实际应用，矩形面积公式，不等式整数解
【点评】
本题是反比例函数在实际围建场景的典型应用题，核心易错点是容易忽略墙的长度限制，错误将自变量x的范围写为x＞0，第二问需要结合整数条件和篱笆总长约束逐一筛选候选值，重点考察学生对实际问题隐含约束条件的分析能力。
【难度系数】
0.6
第一问，首先根据矩形面积公式，已知矩形面积为30㎡，AB长为x，BC长为y，可直接得到xy=30，变形就能得到y关于x的表达式。接下来确定自变量x的取值范围，题目给出可利用的墙长仅为6m，BC边是平行于墙的边，它的长度不能超过墙的总长度，也就是y≤6，把y=30/x代入这个不等式，就能解出x≥5，得到x的取值范围。
第二问，首先AD和DC都是整米数，AD长度等于AB=x，DC长度等于BC=y，说明x和y都是正整数，结合第一问的y=30/x和x≥5，先找出所有符合条件的正整数x的候选值。再根据靠墙的AD边不需要篱笆，三边篱笆总长为2x+y，要求总长不超过20m，代入不等式逐一筛选候选的x值，就能得到所有合法的围建方案。
【解析】
(1) 由矩形面积公式，矩形ABCD面积为30 m²，可得：
$x · y = 30$
变形得到y关于x的表达式：$y=\frac{30}{x}$
因为可利用的墙长为6 m，BC边平行于墙，长度不能超过墙的长度，即$y ≤ 6$，代入$y=\frac{30}{x}$得：
$\frac{30}{x} ≤ 6$
结合边长x＞0，解得$x ≥ 5$。
因此y关于x的函数表达式为$y=\frac{30}{x}$，自变量x的取值范围是$x ≥ 5$。
(2) 由题意，AD=AB=x，DC=BC=y，AD和DC的长都是整米数，因此x、y均为正整数。
结合$y=\frac{30}{x}$且$x≥5$，可知x是30的不小于5的正整数因数，因此x的候选取值为5、6、10、15、30。
三边篱笆总长为$AB + BC + CD = 2x + y$，要求总长不超过20 m，即：
$2x + y ≤ 20$
将$y=\frac{30}{x}$代入不等式逐一验证：
当x=5时，$y=\frac{30}{5}=6$，$2×5+6=16 ≤ 20$，符合条件；
当x=6时，$y=\frac{30}{6}=5$，$2×6+5=17 ≤ 20$，符合条件；
当x=10时，$y=\frac{30}{10}=3$，$2×10+3=23＞20$，不符合条件；
当x=15时，$y=\frac{30}{15}=2$，$2×15+2=32＞20$，不符合条件；
当x=30时，$y=\frac{30}{30}=1$，$2×30+1=61＞20$，不符合条件。
最终筛选得到2组符合条件的取值，对应两种围建方案。
【答案】
(1) $y=\frac{30}{x}(x≥5)$；
(2) 共有2种围建方案：方案一：AB的长为5 m，BC的长为6 m；方案二：AB的长为6 m，BC的长为5 m。
【知识点】
反比例函数实际应用，矩形面积公式，不等式整数解
【点评】
本题是反比例函数在实际围建场景的典型应用题，核心易错点是容易忽略墙的长度限制，错误将自变量x的范围写为x＞0，第二问需要结合整数条件和篱笆总长约束逐一筛选候选值，重点考察学生对实际问题隐含约束条件的分析能力。
【难度系数】
0.6
10. ${}^{\ast}$通过研究发现:中学生在数学课上听课的注意力指标 $y$ 随时间 $x$(min)变化的函数图象如图所示. 当 $0 ≤ x ＜ 10$ 和 $10 ≤ x ＜ 20$ 时,图象是线段; 当 $20 ≤ x ≤ 45$ 时,图象是反比例函数图象的一部分. 注意力指标达到 36 为认真听讲.
(1) 求点 $A$ 对应的注意力指标值.
(2) 李老师在一节课上讲一道数学综合题需要 17 min,他能否通过适当安排,使学生在认真听讲的状态下听完这道数学综合题的讲解? 请说明理由.
(1) 求点 $A$ 对应的注意力指标值.
(2) 李老师在一节课上讲一道数学综合题需要 17 min,他能否通过适当安排,使学生在认真听讲的状态下听完这道数学综合题的讲解? 请说明理由.
答案
(1) 设当$20≤ x≤45$时,图象对应的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。把$C(20,45)$代入,得$45=\frac{k}{20}$,解得$k=900$。$\therefore y=\frac{900}{x}(20≤ x≤45)$。当$x=45$时,$y=20$。$\therefore$ 点$D$的坐标为$(45,20)$。$\therefore$ 易得点$A$的坐标为$(0,20)$,即点$A$对应的注意力指标值为20。
(2) 李老师能通过适当安排,使学生在认真听讲的状态下听完这道数学综合题的讲解。理由:设当$0≤ x＜10$时,线段$AB$对应的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$。把$A(0,20)$,$B(10,45)$代入,得$\begin{cases}20=n,\\45=10m+n,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=\frac{5}{2},\\n=20。\end{cases}$ $\therefore$ 线段$AB$对应的函数表达式为$y=\frac{5}{2}x+20(0≤ x＜10)$。当$y≥36$时,$\frac{5}{2}x+20≥36$,解得$x≥\frac{32}{5}$。由(1),得当$20≤ x≤45$时,图象对应的函数表达式为$y=\frac{900}{x}$。当$y=36$时,$x=25$。$\because 900＞0$,$\therefore$ 当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小。$\therefore$ 当$y≥36$时,$x≤25$。$\therefore$ 当$\frac{32}{5}≤ x≤25$时,注意力指标都不低于36。$\because$ 注意力指标达到36为认真听讲,$\therefore$ 认真听讲的时间为$25-\frac{32}{5}=\frac{93}{5}(\min)$。$\because \frac{93}{5}＞17$,$\therefore$ 李老师能通过适当安排,使学生在认真听讲的状态下听完这道数学综合题的讲解。
(2) 李老师能通过适当安排,使学生在认真听讲的状态下听完这道数学综合题的讲解。理由:设当$0≤ x＜10$时,线段$AB$对应的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$。把$A(0,20)$,$B(10,45)$代入,得$\begin{cases}20=n,\\45=10m+n,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=\frac{5}{2},\\n=20。\end{cases}$ $\therefore$ 线段$AB$对应的函数表达式为$y=\frac{5}{2}x+20(0≤ x＜10)$。当$y≥36$时,$\frac{5}{2}x+20≥36$,解得$x≥\frac{32}{5}$。由(1),得当$20≤ x≤45$时,图象对应的函数表达式为$y=\frac{900}{x}$。当$y=36$时,$x=25$。$\because 900＞0$,$\therefore$ 当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小。$\therefore$ 当$y≥36$时,$x≤25$。$\therefore$ 当$\frac{32}{5}≤ x≤25$时,注意力指标都不低于36。$\because$ 注意力指标达到36为认真听讲,$\therefore$ 认真听讲的时间为$25-\frac{32}{5}=\frac{93}{5}(\min)$。$\because \frac{93}{5}＞17$,$\therefore$ 李老师能通过适当安排,使学生在认真听讲的状态下听完这道数学综合题的讲解。
解析
【分析】
这是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：
1. 第一问求点A的指标值：观察图像可知20≤x≤45的部分是反比例函数，已知点C(20,45)，可以先求出该段反比例函数的解析式，代入x=45得到点D的纵坐标，由图中点A和点D纵坐标相等，即可直接得到点A对应的指标值。
2. 第二问判断能否在认真状态下听完17分钟的题：先求出0≤x＜10段上升线段对应的一次函数解析式，分别在上升段和反比例下降段计算出y≥36对应的x的取值范围，两个边界的差值就是总符合认真听讲要求的时长，将该时长和17min对比，若大于17则说明可以安排。
【解析】
(1) 设当$20≤ x≤ 45$时，反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将点$C(20,45)$代入表达式得：$45=\frac{k}{20}$，解得$k=900$，因此该段函数为$y=\frac{900}{x}\ (20≤ x≤45)$。
将$x=45$代入上述函数，得$y=\frac{900}{45}=20$，即点D的坐标为$(45,20)$。
由图像可知点A和点D的纵坐标相等，点A在x=0处，因此点A的坐标为$(0,20)$。
(2) 设当$0≤ x＜10$时，线段AB对应的一次函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$。
将$A(0,20)$、$B(10,45)$代入表达式得方程组：
$\begin{cases}20=n\\45=10m+n\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{5}{2}\\n=20\end{cases}$，因此该段函数为$y=\frac{5}{2}x+20\ (0≤ x＜10)$。
令$y≥36$，代入得$\frac{5}{2}x+20≥36$，解得$x≥\frac{32}{5}$。
再对反比例段$y=\frac{900}{x}$，令$y≥36$，结合$x＞0$得$900≥36x$，解得$x≤25$。
因此满足注意力指标≥36的x取值范围是$\frac{32}{5}≤ x≤25$，对应的总时长为$25-\frac{32}{5}=\frac{93}{5}=18.6\ \mathrm{min}$。
因为$18.6＞17$，说明符合认真听讲要求的总时长超过17分钟，因此可以合理安排讲解时间，让学生全程在认真状态下听完题目。
【答案】
(1) 点A对应的注意力指标值为20；
(2) 李老师能通过适当安排，使学生在认真听讲的状态下听完这道数学综合题的讲解，理由如上。
【知识点】
反比例函数解析式求解，一次函数解析式求解，分段函数实际应用
【点评】
本题结合课堂注意力的真实场景考察分段函数的应用，解题核心是先利用已知点求出各分段的函数解析式，再通过不等式计算出符合要求的时间区间长度，和所需时长对比即可得到结论，解题时需要注意不同分段的定义域范围，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
这是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：
1. 第一问求点A的指标值：观察图像可知20≤x≤45的部分是反比例函数，已知点C(20,45)，可以先求出该段反比例函数的解析式，代入x=45得到点D的纵坐标，由图中点A和点D纵坐标相等，即可直接得到点A对应的指标值。
2. 第二问判断能否在认真状态下听完17分钟的题：先求出0≤x＜10段上升线段对应的一次函数解析式，分别在上升段和反比例下降段计算出y≥36对应的x的取值范围，两个边界的差值就是总符合认真听讲要求的时长，将该时长和17min对比，若大于17则说明可以安排。
【解析】
(1) 设当$20≤ x≤ 45$时，反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将点$C(20,45)$代入表达式得：$45=\frac{k}{20}$，解得$k=900$，因此该段函数为$y=\frac{900}{x}\ (20≤ x≤45)$。
将$x=45$代入上述函数，得$y=\frac{900}{45}=20$，即点D的坐标为$(45,20)$。
由图像可知点A和点D的纵坐标相等，点A在x=0处，因此点A的坐标为$(0,20)$。
(2) 设当$0≤ x＜10$时，线段AB对应的一次函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$。
将$A(0,20)$、$B(10,45)$代入表达式得方程组：
$\begin{cases}20=n\\45=10m+n\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{5}{2}\\n=20\end{cases}$，因此该段函数为$y=\frac{5}{2}x+20\ (0≤ x＜10)$。
令$y≥36$，代入得$\frac{5}{2}x+20≥36$，解得$x≥\frac{32}{5}$。
再对反比例段$y=\frac{900}{x}$，令$y≥36$，结合$x＞0$得$900≥36x$，解得$x≤25$。
因此满足注意力指标≥36的x取值范围是$\frac{32}{5}≤ x≤25$，对应的总时长为$25-\frac{32}{5}=\frac{93}{5}=18.6\ \mathrm{min}$。
因为$18.6＞17$，说明符合认真听讲要求的总时长超过17分钟，因此可以合理安排讲解时间，让学生全程在认真状态下听完题目。
【答案】
(1) 点A对应的注意力指标值为20；
(2) 李老师能通过适当安排，使学生在认真听讲的状态下听完这道数学综合题的讲解，理由如上。
【知识点】
反比例函数解析式求解，一次函数解析式求解，分段函数实际应用
【点评】
本题结合课堂注意力的真实场景考察分段函数的应用，解题核心是先利用已知点求出各分段的函数解析式，再通过不等式计算出符合要求的时间区间长度，和所需时长对比即可得到结论，解题时需要注意不同分段的定义域范围，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
